山东省潍坊市八级上期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年山东省潍坊市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题．（本题共12个小题，在每小题所列四个选项中，只有一个选项符合题意，把符合题意的选项写在答题卡中）
1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．如图，△ABC≌△DCB，点A与点D，点B与点C对应，如果AC=6cm，AB=3cm，那么DC的长为( )
A．3cm B．5cm C．6cm D．无法确定
3．点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是( )
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）
4．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明
△ABC≌△DEF( )
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
5．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是( )
A．28°B．31°C．39°D．42°
6．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )
7．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有( ) A．8条B．9条C．10条D．11条
8．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
9．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是( )
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( )
A．45°B．54°C．40°D．50°
11．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( )
12．如图，已知在△ABC中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③△BPR≌△CPS；④BP=CP中( )
A．全部正确 B．仅①②正确C．仅①正确D．仅①④正确
二、填空题．（每题4分，共24分．请把答案填写在答题卡中的相应横线上）
13．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为__________．
14．一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为4cm和5cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是__________．
15．如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是__________．
16．已知AD为△ABC的中线，AB=5cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，则AC=__________．
17．如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且AE=AD，则∠EDC=__________．
18．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D=__________度．
三、解答题．（填写在答案卡中）
19．如图，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．
20．已知：如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFD的度数．
21．如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
22．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°．（1）求∠1的度数；
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
23．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C（2，1），（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标．（2）求△ABC的面积．
24．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，（1）求证：DE=DF．
（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．
25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一
点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：△BCE≌△CAM．
2015-2016学年山东省潍坊市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题．（本题共12个小题，在每小题所列四个选项中，只有一个选项符合题意，把符合题意的选项写在答题卡中）
1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形直接回答即可．
【解答】解：A、不能沿某条直线对折后直线两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；
B、不能沿某条直线对折后直线两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；
C、不能沿某条直线对折后直线两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，牢记轴对称图形的定义是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．
2．如图，△ABC≌△DCB，点A与点D，点B与点C对应，如果AC=6cm，AB=3cm，那么DC的长为( )
A．3cm B．5cm C．6cm D．无法确定
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出DC=AB，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴DC=AB，
∵AB=3cm，
∴DC=3cm，
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
3．点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是( )
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】应用题．
【分析】根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：∵点P与点P′关于x轴对称，已知点P（﹣2，1），
∴P′的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选B．
【点评】本题主要考查了坐标平面内两个点关于x轴对称的特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，难度适中．
4．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明
△ABC≌△DEF( )
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．
【解答】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
5．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是( )
A．28°B．31°C．39°D．42°
【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角．
【专题】计算题．
【分析】根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE=∠ABD+∠A，代入即可求出答案．
【解答】解：∵∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD=70°，
∴∠ABD=110°，
∵∠AD E=∠ABD+∠A，∠ADE=149°，
∴∠A=39°．
故选C．
【点评】本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．
6．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )
A．25 B．25或32 C．32 D．19
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：①当6为底时，其它两边都为13，
6、13、13可以构成三角形，
周长为32；
②当6为腰时，
其它两边为6和13，
∵6+6＜13，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有32．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有( ) A．8条B．9条C．10条D．11条
【考点】多边形的对角线；多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数，再利用公式（n﹣3）代入数据计算即可．
【解答】解：∵多边形的每个内角都等于150°，
∴多边形的每个外角都等于180°﹣150°=30°，
∴边数n=360°÷30°=12，
∴对角线条数=12﹣3=9．
故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角与对角线的性质，求出边数是解题的关键，另外熟记从多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数公式也很重要．
8．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于( )
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE=AE=6cm，求出∠EAB=∠B=15°，求出∠EAC，求出∠AEC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，
∴∠BAC=90°﹣15°=75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，
∴BE=AE=6cm，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠EAC=75°﹣15°=60°，
∵∠C=90°，
∴∠AEC=30°，
∴AC=AE=6cm=3cm，
故选D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠AEC的度数和AF=BF是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
9．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是( )
A．B．C．D．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．
故选B．
【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
10．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( )
A．45°B．54°C．40°D．50°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．
【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
11．如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据全等三角形的判定定理，可以推出①②③为条件，④为结论，依据是“SAS”；
①②④为条件，③为结论，依据是“SSS”．
【解答】解：当①②③为条件，④为结论时：
∵∠A′CA=∠B′CB，
∴∠A′CB′=∠ACB，
∵BC=B′C，AC=A′C，
∴△A′CB′≌△ACB，
∴AB=A′B′，
当①②④为条件，③为结论时：
∵BC=B′C，AC=A′C，AB=A′B′
∴△A′CB′≌△ACB，
∴∠A′CB′=∠ACB，
∴∠A′CA=∠B′CB．
故选B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定定理，关键在于熟练掌握全等三角形的判定定理．
12．如图，已知在△ABC中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③△BPR≌△CPS；④BP=CP中( )
A．全部正确 B．仅①②正确C．仅①正确D．仅①④正确
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据∠1=∠2即可求得QP∥AB，即可解题．
【解答】解：∵在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS，（HL）
∴∠AR=AS，①正确，
∠BAP=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AB，②正确，
∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③④错误；
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证RT△APR≌RT△APS是解题的关键．
二、填空题．（每题4分，共24分．请把答案填写在答题卡中的相应横线上）
13．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为80°．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的内角和列式计算即可得解．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠A=40°，
∴∠4=180°﹣∠A﹣∠3=80°，
∴∠2=∠4=80°；
故答案为：80°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为4cm和5cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是1＜x＜9．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系，则第三根木条的取值范围是大于两边之差1，而小于两边之和9．
【解答】解：由三角形三边关系定理得5﹣4＜x＜5+4，
即1＜x＜9．
即x的取值范围是1＜x＜9．
故答案为：1＜x＜9．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．
15．如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是10.5．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再求出△BCD的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．已知AD为△ABC的中线，AB=5cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，则AC=3cm．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的三边关系，和中线定理作答．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=2（cm），
∴AC=AB﹣2=5﹣2=3cm．
【点评】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．三角形的周长即三角形的三边和，C=a+b+c．
17．如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，E为AC边上的一点，且AE=AD，则∠EDC=15°．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°，再由AD⊥BC得出∠CAD的度数，根据AE=AD求出∠ADE的度数，由∠EDC=∠ADC﹣∠ADE即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE==75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
18．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D=25度．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出
∠A=2∠D，最后代入求出即可．
【解答】解：∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE﹣∠DBC），∠D=∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵∠A=50°，
∴∠D=25°．
故答案为：25．
【点评】此题考查三角形内角和定理以及角平分线性质的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D．
三、解答题．（填写在答案卡中）
19．如图，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先利用平行线的性质得到∠B=∠DCE，再根据“SAS”可判断△ABC≌△DCE，然后根据全等的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC和△DCE中
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．已知：如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFD的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；
（2）在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）在△ACD中，∵∠A=62°，∠ACD=35°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=62°+35°=97°；
（2）在△BDF中，∠BFD=180°﹣∠ABE﹣∠BDF=180°﹣20°﹣97°=63°．
故答案为：（1）97°，（2）63°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
21．如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由BF=CE可得EF=CB，再有条件∠ABC=∠DEF不能证明△ABC≌△D EF；可以加上条件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：不能；
选择条件：①AB=DE；
∵BF=CE，
∴BF+BE=CE+BE，
即EF=CB，
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°．
（1）求∠1的度数；
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1；
（2）根据AD∥BC得到∠GFE=∠FEC，根据翻折不变性得到∠GEF=∠GFE，由等角对等边得到GE=GF．
【解答】（1）解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°﹣64°×2=52°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠BEG=52°．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∴△EFG是等腰三角形．
【点评】此题考查了翻折变换，利用翻折不变性和平行线的性质进行分析是解答此类题目的关键．
23．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C（2，1），
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）用△ABC所在的矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
A′（﹣4，6），B′（﹣5，2），C′（﹣2，1）；
（2）S△ABC=3×5﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×5
=6.5．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
24．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
（1）求证：DE=DF．
（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接AD，易证△ACD≌△ABD，根据全等三角形对应角相等的性质可得
∠EAD=∠FAD，根据角平分线的性质，即可解答；
（2）由△ACD≌△ABD（已证），得到DC=DB，所以点D在线段BC的垂直平分线上．又AB=AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上，即可解答．
【解答】解：（1）如图，连接AD．
在△ACD和△ABD中，
∴△ACD≌△ABD（SSS）．
∴∠FAD=∠EAD，
即AD平分∠EAF．
又∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
（2）∵△ACD≌△ABD（已证）．
∴DC=DB，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
又∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质、垂直平分线的性质，解决本题的关键是证明△ACD≌△ABD．
25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一
点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：△BCE≌△CAM．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）先证出∠ACE=∠CBG，再由ASA证明△ACE≌△CBG，得出对应边相等即可；
（2）先证出∠CEB=∠CMA，再由AAS证明△BCE≌△ACM．
【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．
∴∠CAE=∠BCG．
又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB．
∴AE=CG．
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．
∴∠CMA=∠BEC．
又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中
∴∠BCE≌△CAM（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．。