直线与平面垂直
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B A M C
D
练习
6.如图，在空间四边形ABCP中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, 若AE ⊥ PB,AF ⊥ PC 求证：EF⊥PB
P
E
F
A
B
C
V
A
.
D
C
B
练习
4.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满
足MA=MC,求证: AC 平面 BDM
M
D
C
O
A B
练习5、四棱锥P-ABCD 的底面是矩形, PA⊥平面 AC， 且有AD=2, AB= 3 , 确定点M在线段 BC上 2 什么位置时PM ⊥MD。
P
答：点M距离点B为
1 3 或 时。 2 2
直线L和平面互相垂直，记作： L .
O
L
α
直线垂直平面的术语：
• 记作： L ⊥α 。
α
L
P
• 直线 L 叫做平面α 的垂线。
• 平面α 叫做直线 L 的垂面。 • 直线 L 和平面α 的交点P叫做垂足。
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
a 符号语言： b
ab
简述为：线面垂直 线线垂直
二、填空题： 2 、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面。
mα nα m∩n=B l⊥ m l⊥n
l ⊥α
L m n
例１、已知：正方体中，AC是面对角线，
常用结论（1）
P
l l
P
α
从平面外一点引这个平面的垂线，这 个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平 面的距离。
例题3、 有一根旗杆AB 高 8m，它的顶 端 A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子， 并把它的下端放在地面上的两点 C , D (和 旗杆脚不在同一直线上),如果这两点都和 旗杆脚 B的距离是 6m,那么旗杆就和地面 垂直，为什么?
BD/.
是与AC 异面的体对角线。求证：AC⊥BD/.
证明： 连接BD ∵正方体 ABCD A BC D D C ∴ DD ⊥平面ABCD ∴ DD ⊥AC B ∵AC、BD 为对角线 A ∴AC⊥BD ∵ DD ∩BD=D D C ∴AC⊥平面 D DB B A ∴AC⊥ BD
练习１、
（1）如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平 面？为什么？ （2）如果一条直线垂直于一个三角形的两 边，能否断定这条直线和三角形的第三条边 垂直？为什么？
（1）垂直！
（2）能断定垂直！
（3）判断下列命题的真假：
①若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α。 ②若a⊥α，b⊂α，则a⊥b。
《空间中的垂直关系》
直线垂直平面
一.直线与直线垂直定义 如果两条直线相交于一点或经 过平移后相交于一点,并且交角为直 角(90°),则称这两条直线互相垂直. (1)两条直线垂直,有相交于一点的垂直; (2) 两条直线垂直还可以异面直线垂直; (就是不相交的垂直)
二．直线垂直平面 1. 直线垂直平面的定义： 如果直线( AB)和一个平面(α)相交于点O, 并且和这个平面内过点(O)的任何直线都垂直, 那么就说这条直线和这个平面垂直。
③若a⊥α，a⊥b，则b//α。
④线段AB的垂直平分面内任意一点到A、B的
距离均相等。
⑤若a垂直于平面α内的无数条直线，则a⊥α。 ⑥若a⊥α于A，AB⊥a，则AB⊂α。 ⑦若a//α，b⊥a，则b⊥α。
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
A
α
C
B
D
练习2.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
A E H B D
源自文库
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
32.如图, 在三棱锥 V ABC 中, VA VC , AB BC
求证 VB AC
a / /b 符号语言： a
图形语言：
b
a b
O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
a 符号语言： b
图形语言：
如果两条直线同时垂直于一个平面， 那么这两条直线平行．
a // b
a b
O
简述为：线面垂直 线线平行
例题2、设 是任意平面，点p是空间任一点。 则：过p有且只有一条直线 l与 垂直。
D
练习
6.如图，在空间四边形ABCP中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, 若AE ⊥ PB,AF ⊥ PC 求证：EF⊥PB
P
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F
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练习
4.如图, M是菱形ABCD所在平面外一点,满
足MA=MC,求证: AC 平面 BDM
M
D
C
O
A B
练习5、四棱锥P-ABCD 的底面是矩形, PA⊥平面 AC， 且有AD=2, AB= 3 , 确定点M在线段 BC上 2 什么位置时PM ⊥MD。
P
答：点M距离点B为
1 3 或 时。 2 2
直线L和平面互相垂直，记作： L .
O
L
α
直线垂直平面的术语：
• 记作： L ⊥α 。
α
L
P
• 直线 L 叫做平面α 的垂线。
• 平面α 叫做直线 L 的垂面。 • 直线 L 和平面α 的交点P叫做垂足。
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
a 符号语言： b
ab
简述为：线面垂直 线线垂直
二、填空题： 2 、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面。
mα nα m∩n=B l⊥ m l⊥n
l ⊥α
L m n
例１、已知：正方体中，AC是面对角线，
常用结论（1）
P
l l
P
α
从平面外一点引这个平面的垂线，这 个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平 面的距离。
例题3、 有一根旗杆AB 高 8m，它的顶 端 A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子， 并把它的下端放在地面上的两点 C , D (和 旗杆脚不在同一直线上),如果这两点都和 旗杆脚 B的距离是 6m,那么旗杆就和地面 垂直，为什么?
BD/.
是与AC 异面的体对角线。求证：AC⊥BD/.
证明： 连接BD ∵正方体 ABCD A BC D D C ∴ DD ⊥平面ABCD ∴ DD ⊥AC B ∵AC、BD 为对角线 A ∴AC⊥BD ∵ DD ∩BD=D D C ∴AC⊥平面 D DB B A ∴AC⊥ BD
练习１、
（1）如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平 面？为什么？ （2）如果一条直线垂直于一个三角形的两 边，能否断定这条直线和三角形的第三条边 垂直？为什么？
（1）垂直！
（2）能断定垂直！
（3）判断下列命题的真假：
①若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α。 ②若a⊥α，b⊂α，则a⊥b。
《空间中的垂直关系》
直线垂直平面
一.直线与直线垂直定义 如果两条直线相交于一点或经 过平移后相交于一点,并且交角为直 角(90°),则称这两条直线互相垂直. (1)两条直线垂直,有相交于一点的垂直; (2) 两条直线垂直还可以异面直线垂直; (就是不相交的垂直)
二．直线垂直平面 1. 直线垂直平面的定义： 如果直线( AB)和一个平面(α)相交于点O, 并且和这个平面内过点(O)的任何直线都垂直, 那么就说这条直线和这个平面垂直。
③若a⊥α，a⊥b，则b//α。
④线段AB的垂直平分面内任意一点到A、B的
距离均相等。
⑤若a垂直于平面α内的无数条直线，则a⊥α。 ⑥若a⊥α于A，AB⊥a，则AB⊂α。 ⑦若a//α，b⊥a，则b⊥α。
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
A
α
C
B
D
练习2.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
A E H B D
源自文库
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
32.如图, 在三棱锥 V ABC 中, VA VC , AB BC
求证 VB AC
a / /b 符号语言： a
图形语言：
b
a b
O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
a 符号语言： b
图形语言：
如果两条直线同时垂直于一个平面， 那么这两条直线平行．
a // b
a b
O
简述为：线面垂直 线线平行
例题2、设 是任意平面，点p是空间任一点。 则：过p有且只有一条直线 l与 垂直。