2020~2021学年北京市第四中学初一第一学期期中数学试卷(无答案)

数学试卷
班级__________学号__________姓名__________成绩__________
考⽣须知
1．本试卷共8⻚，A 卷26道题，B 卷4道题，共30道题，满分120分.考试时间100分钟.
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3．答案⼀律填写在答题纸上，在试卷上作答⽆效.4．考试结束后，将试卷和答题纸⼀并交回.
A 卷（满分100分）
⼀、选择题（每⼩题3分，共30分）
1.2020年北京故宫迎来了600岁⽣⽇，
系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅⼒.据不完全统计，今年“⼗⼀”双节期间故宫累计接待观众约为240000⼈次.将240000⽤科学记数法可表示为()A. B. C. D.2．-5的倒数是() A.
B.-5
C.
D.
3．下列各式结果为负数的是()
A ．
B ．
C ．
D ．
4.下⾯计算正确的是()
A ．
B ．
C ．
D ．5.下列各式去括号正确的是()
A. B.C. D.
6.有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若a 与c 互为相反数，则
三个数中绝对值最⼤的数是()
A.a
B.b
C.c
D.⽆法确定7.下列对使⽤四舍五⼊法得到的近似数描述正确的是()
A ．近似数5.1万精确到⼗分位
B ．2.709的近似数是3
C ．0.154精确到⼗分位为0.1
D ．近似数
精确到千位
8．如果=8，=5，且，那么的值是()
A.3或13
B.13或-13
C.3或-3
D.-3或-13
9.关于x的⽅程是⼀元⼀次⽅程，则m的值是()
A．B．C．或D．
10.规定：，.
例如，.
下列结论中：
①若，则；
②若，则；
③能使成⽴的x的值不存在；
④式⼦的最⼩值是7．
其中正确的所有结论是()
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④⼆、填空题（每⼩题2分，共20分）
11.如果⽔位升⾼3m时⽔位变化记作+3m，那么⽔位下降3m时⽔位变化
记作______m.
12．⽐较⼤⼩：（填“＞”、“＜”或“＝”）.
13.如图所示，⼤陆上最⾼处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲⻄部名为死
海的湖，两处⾼度相差是⽶.
第13题图
14.若，则的值为.
15.下⾯的框图表示解⽅程
的流程，其中
第3步的依据是______________.
16.如图，若开始输⼊的x 的值为正数，最后输出的结果为51，则满⾜条件的x 的值为.（三个答案正确2分，对⼀个1分）
17.甲⼄丙三个商店都在销售同⼀种排球，⽽且每个球的标价都是25元.但三个店的促销⽅式不⼀样：甲店的促销⽅式是每买⼗送⼆，⼄店的促销⽅式是优惠16%，丙店的优惠⽅式是买球每满100元可返现⾦15元.学校准备买60个这种排球.你认为到家商店买⽐较省钱，这时实际只需要付元.（每空1分）18.已知数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的
结果为
.
19.我国古代《易经》⼀书中记载，远古时期，⼈们通过在绳⼦上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，⼀位⺟亲在从右到左依次排列的绳⼦上打结，满七进⼀，⽤来记录孩⼦⾃出⽣后的天数，由图可知，孩⼦⾃出⽣后的天数是
天.
20.如下数表是由从1开始的连续⾃然数组成，观察规律并完成各题的解答．
1
23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536
…………………………………
(1)表中第9⾏第7个数是________________；1分
c
a
b
输⼊x
计算5x +1的值
>30
输出结果
是
否
(2)2020是表中第_________⾏第_________个数.两空同时对1分
北京四中2020—2021学年度第⼀学期期中测验初⼀年级（数学学科）第4⻚共8⻚
三、解答题（共50分）
21.计算（每⼩题4分，共16分）
（1）去括号正确2分，结果正确2分
（2）乘除运算正确2分，结果正确2分
（3）除法正确1分，分配律正确2分，结果正确1分（4）中括号前2分，后1分，结果1分22.化简（每⼩题4分，共8分）
（1）（2）
同类项合结合对2分，合并对2分去括号2分，结果2分
23.解⽅程（每⼩题5分，共10分）
（1）（2）
移项2分，合并2分，结果1分去分⺟1分，去括号1分，移项1分，合
并1分，系数化为11分
24.先化简，再求值（本题5分）
求代数式的值，其中．
化简对3分，求值2分（代⼊1分，结果1分）
25.（本题5分）
对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与.我们
规定：✦.例如：✦.
根据上述规定解决下列问题：
(1)有理数对✦；1分
(2)若有理数对✦,则；2分
(3)当满⾜等式✦的是整数时，求整数的值.
2分（4个全对2分，有两个以上对1分，只要有错就扣1分）
北京四中2020—2021学年度第⼀学期期中测验初⼀年级（数学学科）第5⻚共8⻚26.（本题6分）在数轴上，表示数a的点到原点的距离.如果数轴上两个点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为：，这是绝对值的⼏何意义.已知如图，点A在数轴上对应的数为-3，点B对应的数为2.
（1）求线段AB的⻓；2分
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且是⽅程的解，在数轴上是否存在点M，使MA+MB=AB+BC?若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；2分
（3）若点N是数轴上在点A左侧的⼀点，线段BN的中点为点Q，点P为线段AN的三等分点且靠近于点N，当点N在点A左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．2分
备⽤图
B 卷（满分20分）
1.（本题4分）
（1）桌⼦上有5只杯⼝朝上的茶杯，每次翻转3
只，经过m 次翻转可使这5只杯⼦的杯⼝全部朝下，则m 的最⼩值为_________．2分
（2）桌⼦上有11只杯⼝朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n 次翻转可使这11只杯⼦的杯⼝全部朝下，则n 的最⼩值为_________．2分
2.（本题6分）如下表，从左向右依次在每个⼩格⼦中都填⼊⼀个有理数，使得其中任意四个相邻⼩格⼦中所填数之和都等于15.已知第3个数为7，第5个数为
，第16个数为2，第78个数为
，则m 的值为
，第2021个数
为_____．（每空3分）
3.（本题4分）天坛中的数学⼀瞥（每空2分）
天坛始建于明朝永乐⼗⼋年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五⾕丰登之场所.中和韶乐在中国古代的发⽣、发展、沉寂、经历了历代传承.随着对中国传统⽂化重新认识，中和韶乐逐渐复苏.⾃从2004年9⽉天坛神乐署修复完成，中和韶乐⼜⼀
次展现在世⼈⾯前.中和韶乐主要是宫、商、⻆、徴、⽻五声⾳阶的运⽤，在确定这五⾳的时候，中国古代最初由三分损益计算⽽来，从最初的⼀个⾳三分损⼀⽽得到第⼆个⾳，由第⼆个⾳三分益⼀得到第三个⾳，如此计算，得到宫商⻆徴⽻五声⾳阶。

例如：假设能发出第⼀个基准⾳的乐器的⻓度为81，那么能发出第⼆个基准⾳的乐器的⻓度为
，能发出第三个基准⾳的乐器的⻓度
为…，(也就是依次先减少三分之⼀，后增加三分之⼀).那么第五
个基准⾳的乐器的⻓度为
.假设能发出第⼀个基准⾳的乐器的⻓度
为，那么能发出第四个基准⾳的乐器的⻓度是32，则a 的值是___________.
7
4.（本题6分）阅读材料：
你知道“⼆维码”吗？它是⼀种编码，通过表示1和0的⿊⽩⼩⽅块排列成图案传递信息.⼆维码⼴泛应⽤于我们⽣活，“扫⼀扫”成为⼈们的习惯动作.
你知道⼆维码究竟是怎样⽣成的吗？你想亲⾃制作⼀个⼆维码吗？⾸先来了解⼀个定义：定义符号“”表示⼀种运算叫做“异或”运算，即当时，；当
时，.
下⾯就让我们试着为“BHSF ”制作⼀个⼆维码吧！【步骤⼀】
查表可得字⺟“B ”的⼋位⼆进制编码为01000010，“H ”为01001000，“S ”为
01010011，
“F ”为01000110.【步骤⼆】
将每个字⺟的编码按照⼀定的顺序排布在⽅格内，例如字⺟“S ”的编码排布如下图第⼀个表格.然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进⾏“⽅格⼀⼀对应”的“异或”运算（如下图第三个表格），并将结果中1的位置填涂⿊⾊，0的位置填涂⽩⾊（如下图第四个表格）.
解决问题：
（1）请根据上⾯的定义将表格补充完整.
两个空都对1分
（2）仿照上⾯【步骤⼆】，完成“F ”的编码排布、运算及⼆维码填涂.
2分2分1分
“BHSF ”⼆维码的其余部分已⽣成，你可以将获得的结果填涂在对应的空⽩位置.⼀个完整的⼆维码就⼤功告成啦，试着扫⼀扫它吧！
00010101
1
草稿纸
主编 宫尚宝 王海山 编者 车宏路
曹太星 熊炎林 李
优
罗兴国 万
杰
邓高清 程
伟
姚
琛
胡觅阳 贺志远 林
杰
黄拾樵 王清科 郑
趣
邱景焰 储
旭 许
欢
丁张军
朱春荣
强大的编辑队伍
课堂同步|试题精选|热点问题|专题突破
中考热点问题
◆中考方向 (15)
◆母子相似的基本模型 (15)
【题型1】求线段长或面积 (15)
【题型2】求带系数的线段和的最值 (29)
【题型3】在二次函数中求与角度有关的点的坐标 (32)
【题型4】母子相似的综合型问题 (32)
【同步练习】 (37)
专题三一线三等角问题 (43)
◆中考方向 (43)
◆一线三等角的图形结构 (43)
◆一线三等角的解题策略 (43)
【题型1】求线段长 (44)
【题型2】求线段比值 (46)
【题型3】求面积 (46)
【题型4】求线段最值 (47)
【题型5】在二次函数中求与角度有关的点的坐标 (48)
【题型6】一线三等角的综合型问题 (50)
【同步练习】 (55)
专题四线段倒数和问题 (61)
◆中考方向 (61)
【题型1】三角形内接正方形型 (61)
【题型2】三平行线型 (61)
【题型3】两平行线型 (62)
【题型4】中线型 (63)
【题型5】三角形内角平分线型 (64)
【题型6】三角形内外角平分线型 (66)
【题型7】与二次函数性质有关型 (67)
【同步练习】 (68)
专题五几何最值问题 (73)
◆中考方向 (73)
【题型1】与三角形三边关系有关的最值问题 (73)
【题型2】与斜垂关系有关的最值问题 (79)
【题型3】带系数的直线型线段和的最值问题 (83)
【题型4】带系数的圆弧型线段和的最值问题 (84)
【题型5】与辅助圆有关的最值问题 (85)
【题型6】定角定高面积最小、周长最小问题 (87)
【题型7】定边定角面积最大、周长最大问题 (88)
【题型8】与配方有关的最值问题 (89)
【同步练习】 (91)
专题六反比例函数重要性质问题 (99)
◆中考方向 (99)
【性质1】平行性质 (99)
【性质2】等线段性质 (100)
【性质3】等角性质 (102)
【同步练习】 (104)
专题七圆的综合题 (111)
◆中考方向 (111)
◆解题策略 (111)
专题八新定义问题 (149)
◆中考方向 (149)
◆新定义问题的基本类型 (149)
◆新定义问题的解题策略 (149)
【题型1】新定义小题 (149)
【题型2】新定义大题 (152)
【同步练习】 (162)
有人问，为啥没有《二次函数》呢？
《二次函数》单独成册
（尚未印刷，印刷学渣会第一时间发布）
中考数学热点问题前言
数学题目千千万，我们到底应该用有限的时间和精力去做哪些题？
很多城市中考题历来没有抄袭和重复，盲目刷历年的中考题永远也跟不上中考的脚步！
《中考数学热点问题》一书是以最新课改精神为依据，以现行初中教材为蓝本，是教师和初三学生在进行系统学习或高效复习，突破各地热点问题，挑战中考高分甚至满分的最佳用书。

它旨在帮助教师和考生科学准确地把握中考命题规律，注重对模型、题型归纳，能有效帮助学生达到跳出题海，举一反三，触类旁通，达到快速提升解题水平的目的。

本书分为八章，各章内容大多从中考方向，基本模型，常见题型，同步练习四个板块组成，常见题型，同步练习中，我们给出了提示或详细的解答过程，方便同学们独立思考后核对答案或百思不得其解时看看提示再独立思考。

本书具有以下特点：
一、本书系统研究中考八大热点问题，每章中的中考方向介绍了热点问题的考察方式及所涉及的知识点；基本模型归纳此问题的常见形式及各种变式，让学生在较短时间内梳理知识脉络，形成知识结构，掌握模型结构；常见题型是从考察的不同角度配备了相应的题目，供读者有针对性的训练，力求通过练习，掌握本章的核心内容；同步练习配备了不同层次和类型的题型，力求充分体现选题的层次和梯度，帮助学生更好更快地巩固新知，掌握技能，体会数学思想，积累解题经验。

二、本书严苛考量每一道试题，力求选取的每一个练习题目具有典型性和代表性。

题目既有中考经典真题、真题改编，更有很多原创题，让考生迎着中考有
针对性地进行训练，这绝对是一本特别适用于中考的好资料。

为了便于读者独立思考，我们将所有题目与解答分开，并作了适当留白，解答另附成册。

由于时间仓促和水平有限，书中不当之处在所难免，真心希望大家在使用过程中提出宝贵意见和建议，以便我们修订。

王海山
2020年于北京
中
考热
点
问题试读（无答案）中
考
热
点问题参考答案（详解版另成
一
册
）
专题一 旋转相似问题
◆ 中考方向
旋转相似问题是中考的常考题型，主要出现在选择、填空压轴题和解答题． 旋转相似基本模型 如图，若△ABC ∽△ADE ，则△ABD ∽△ACE （有一对旋转相似，必然产生另一对旋转相似） 你可以尝试证明一下哦！
旋转相似的特点：两对相似三角形有公共顶点
旋转相似是三角形相似常见的基本图形之一，有的题目图形中已经有旋转相似，有的则没有，此时就需要添加辅助线来构造旋转相似．
【题型1】求线段长度或证明垂直
1．如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°，∠PBC ＝60°，∠P AC ＝30°，AP ＝3，AC ＝8，则AB 的长为___________．
2．如图，△ABC ∽△DEF ，AB ＝AC ，DE ＝DF ，点O 是底边BC 、EF 的中点，连接AD 、CF ，求证：AD ⊥CF ．
3．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，D 是AB 的中点，连接CD ，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在线段CD 上，则点B 到直线AB'
的距离为___________．
A B C O E
D F A B C
B ′
C ′
D
A B C
D E A P B C
中
考热
点
问题试读（无答案）中
考热
点问题参考答案（详解版另成
一
册
）
专题三 一线三等角问题
◆ 中考方向
一线三等角问题主要出现在选择、填空压轴题及解答题，在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、
等腰直角三角形、矩形、正方形中尤为常见，涉及到证明和计算． ◆ 一线三等角的图形结构
一线三等角（也叫K 型全等或K 型相似）是一个常见的模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直
线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角，如下图．一般是相似问题，当对应边相等时就变成全等问题．全等问题比较简单，本专题主要讲述相似问题．
当中间的三角形与左右两个三角形相似时，有两种情况，一种是中点型，另一种是平行型，如下图．
◆ 一线三等角的解题策略
1．如果图中有一线三等角，那么先推导相似，再进行证明和计算．
2．如果图中只有一线两等角或一个角，那么先作辅助线构造一线三等角，推导相似，再进行证明和计算．
C A B P D
C
C
A B P A B
P D D
C D
A B P A B P A
B
P C D C D 锐角 直角 钝角 锐角 直角 钝角
同侧 异侧 C
D A B P A B
P A B P C D D C
锐角 直角 钝角 D D D P P P A B C B A A C
B 锐角 直角 钝角
中
考热
点
问题试读（无答案）中
考热
点问题参考答案（详解版另成
一
册
）
【题型2】与斜垂关系有关的最值问题
这类最值问题与斜线段和垂线段的大小关系有关，可通过构造辅助线（连接线段、作垂线等），利用斜线段或折线段大于等于垂线段来解决．有时需要作两条垂线段． 1．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝1，点P 是边AB 上一动点，PQ ⊥PC 交BC 于点Q ，则线段QC 长的最小值为____________．
2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且CF ＝2AE ，连接EF ，将四边形ABFE 沿EF 翻折，点A 、B 的对应点分别为A'、B'，则点C 到直线B'F 的距离的最大值为___________．
3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AC 的中点，BD ＝3，则△ABC 的面积的最大值为___________．
4．如图，Rt △DEF 的直角边EF 经过正方形ABCD 的顶点A ，∠DEF ＝90°，tan ∠F ＝
3
4
，若AB ＝4，则点
F 到AB 的距离的最大值为___________．
A B C Q P A D E A ′
B C F B ′ A B C D
E
A
D
B C
F
中
考热
点
问题试读（无答案）中
考热
点问题参考答案（详解版另成
一
册
40．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，点F 是CD 延长线上一点，连接AF 交
⊙O 于点G
，连接CG ． （1）求证：∠ACG ＝∠F ；
（2）若∠BAC ＝30°，∠GCF ＝15°，求
CG
CF
的值； （3）连接DG ，若
AC
AF
＝
13
15
，tan ∠ACG ＝
4
3
，CG ＝7，求DG 的长．
41．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，交⊙O 于点E ，将△ABC 沿AC 翻折
得到△AFC ，连接EF ，且EF ∥AC ．
（1）判断EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BD ＝BC ，求cos ∠BEF 的值；
（3）在（2）的条件下，当AB ＝7时，求⊙O 的半径．
备用图
F
中
考热
点
问题试读（无答案）中
考热
点问题参考答案（详解版另成
一
册
）
【题型2】新定义大题
1．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，满足AC 2＝AB ·AD ，四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是亮线． （1）以下说法正确的是___________（填写序号）
①正方形不可能是闪亮四边形； ②矩形中存在闪亮四边形；
③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60°．
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝9，AB ＝12，CD ＝20，四边形ABCD
是否为闪亮四边形，如果是，哪一条线段是亮线？如果不是，请说明理由；
（3）如图3，在闪亮四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠D ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC 是唯一亮线，请
直接写出线段AD 的长．
A
B
D
C A
D
B
C
A
D
B
C 图1
图2
图3
答 案
专题一 旋转相似问题
【题型1】求线段长度或证明垂直 1．103
3
提示：作∠APD ＝90°，∠P AD ＝60°，则AD ＝2AP ＝6，△P AD ∽△PBC ∴CD ＝
6
2＋8
2
＝10，△P AB ∽△PDC
∴AB ＝
3
3
CD ＝103
3
2．证明：连接AO 、DO ，设AD 、CF 相交于点P ∵AB ＝AC ，DE ＝DF ，点O 是底边BC 、EF 的中点 ∴∠AOC ＝∠DOF ＝90°，∴∠
∵△ABC ∽△DEF
，∴AO
DO
＝
BC
EF
∴△AOD ∽△COF ，∴∠OAP ＝∠∴∠APC ＝∠AOC ＝90°，∴AD ⊥ 3．85
5
提示：连接BB'，作BE ⊥AB'
于E
由题意，∠CAC'＝∠BAB'，AC ＝∴∠ABB'＝∠ACC'＝∠DCA ，△由AB ＝2AD 得BB'＝2AC ＝4
BE ＝BB'·sin ∠BB'E ＝BB'·sin ∠ 4．42
3
提示：连接BB'
∵∠DAE ＝90°，B'E ⊥AB ，∠DEB ＝∠DEB' ∴90°＋∠ADE ＝90°＋∠AED
∴∠ADE ＝∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ＝4 ∴BE ＝2，BB'＝2 2
∵BE ＝B'E ，∠BEB'＝90°，∴∠ABB'＝45°＝∠ADF 又∵∠DAF ＝∠BAB'，∴△ADF ∽△ABB' ∴
DF
AD
＝
BB' AB ，∴DF 4
＝
22 6 ，∴DF ＝
42
3
A P
B
C
D
D
C
A
B
B ′
E F
购买事宜
方案一：1本《中考热点问题》60元；
方案二：1套《中考热点问题》+参考答案110元；
您根据具体购买情况，扫码输入支付金额，并将支付截图以及购买情况发给王学渣(QQ:3038130631)，同时提供收货人姓名+电话+详细收货地址（最迟次日发中通快递），购买量大请联系王学渣。