概率论与数理统计 林文浩 第二章习题

检验次数不少于4次的概率为
24．某电子元件厂生产一批电子管，电子管的寿命 （以小时计）具有如下的概率密度 。寿命高于2000小时，介于1250~2000小时，以及低于1250小时的电子管分别是一等品，二等品和次等品。用一只一等品或二等品或次等品装配的收音机，成为合格品的概率依次为0.9，0.8和0.5。试求：
解由题设 的所有可能取值为3，4，5，而由古典概型可得
， ，
所以 的分布列为
3
4
5
且
8．袋中有四个红球，两个白球，今从中逐个取球，共取5次，在下列两种情况下求取得红球数 的分布列：（1）每次取出的球，观其顔色后又放回袋中；（2）每次取出的球不放回袋中。
解（1） ，由二项分布概率公式可得
故 的分布律为
解由古典概型知
， ，
所以X的分布列为
X
-3
1
2
P
3．随机变量 的分布函数为 求：（1）系数 ；（2） 的概率密度 ；（3） 。
解 为连续型随机变量，其分布函数为连续函数，故有
于是当 时， ；
当 时， ，
；
当 时， ；
当 时，
故 ；
当 时， 。
所以所求概率密度为
而
4．连续地掷一颗骰子，直到出现最大点数6为止，用 表示掷骰子的次数，求 的概率分布，并求 。
经计算得
， ， ，
21．某厂生产的螺栓中次品占1%，该厂将10只螺栓装成一包出售，并保证当某包内的次品数多于一只即可退货，假定每出售一包获利 元，；退货一包亏本 元。求：
（1）螺栓被退货的比例多大？
（2）该厂每生产一包螺栓（获利数额）的分布列。
解已知螺栓次品占1%，即每只螺栓为次品的概率为 。“将10只螺栓装成一包”可看成“从生产的螺栓中随机地取10只装成一包”。因此若设 {一包螺栓中的次品数}，由于螺栓个体之间是相互独立的，则 ，并且有
（1） ；（2） ；（3） 。
解（1）因为
所以
（2）因为
所以
（3）因为
所以
27．若 ，求下列各随机变量的概率密度：
（1） ；（2） ；（3） 。
解已知 服从标准正态分布，其概率密度为
（1）因为
故当 时，
而当 时，
所以
（2）因为
故当 时，
而当 时，
所以
（3）因为
故当 时，
而当 时，
所以
28．若连续型随机变量 的概率密度
16．设顾客在某银行窗口等待服务的时间 （以分钟计）服从指数分布，其概率密度为 。某顾客在窗口等候服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月到该银行5次，以 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 的分布列，并求 。
解该顾客每次到银行未等到服务而离开窗口的概率为
于是 ，故 的分布列为
而
17．设电源电压 服从正态分布 ，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（1） 不超过200伏；（2） 在200~240伏之间；（3） 超过240伏。
B组
1．现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件。从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。
解设所取3件产品中所含一等品数为X，则X可能的取值为0，1，2，3
由古典概型知
， ，
，
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
2．一个口袋中有六个球，在这六个球上分别标有 的数字，从这口袋中任取一个球，求取得的球上标明的数字X的分布列和分布函数。
解设 {掷一次骰子出现点数6}，则 ，于是 为几何分布即 ，其分布为
而
5．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数 的分布列。
解由题设 的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得
即
， ，
，
而由全概率公式得
所以 的分布列为
1
2
3
4
5
求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什么？
解设 { 不超过200伏}， { 在200~240伏之间}， { 超过240伏}， {电子元件损坏}，则 构成一完备事件组，且据已知有
， ，
及
于是由全概率公式，可得电子元件损坏的概率
而由贝叶斯公式可得
解乘客在前后两辆公共汽车到站的间隔8分钟的区间 内到达汽车站的任一时刻是一随机变量，设该随机变量为 ，则 （均匀分布），即 的密度函数为
而所求概率为
。
13．设电池寿命（单位：小时）是一个随机变量，它服从正态分布 。（1）求这种电池寿命在250小时以上的概率；（2）求一个数 ，使电池寿命在区间 内取值的概率不小于0.9。
解设该随机变量为
（1）所求概率为
因为 ，所以
（2）依题设，要求数 满足
因为
于是
，或
由 ，查标准正态分布表（即附表2），得 ，所以取
或
14．工厂生产某高级电子元件，其寿命 （以年计）服从指数分布， 的概率密度为 ，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电子元件盈利100元，调换一个需花费300元，试解答以下各题。
所以当电子元件损坏时，该电子元件处于 超过240伏的状况时的可能性最大。
18．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内利润的概率分布。
习题二一维随机变量及其分布
A组
一、填空题
5．三个大小相同的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目 的分布律为。
解此系古典概型问题。 的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有
，
，
。
（说明：每个球都有机会盒子投入三个盒子中的任何一个内，且机会是均等的，于是三个球投入三个盒子内的各种情形共有 种。当 ，即不出现空盒子时，可视第一个球可投入三个盒子中的任何一个内，第二个球可投入另外两个盒子中的任何一个内，而第三个球只能投入剩下的最后一个盒子内，故含 的情形只有 种。类似的，可得 ， ）
（2）用这批钢珠中任一个装配成合格笔尖的概率。
解因为 是 的线性函数，所以 也服从正态分布，设 ，则
于是 ，而 的分布密度则为
设 {任取一个钢珠装配成合格笔尖}，则所求概率为 。因为已知有
， ，
且
所以
23．在5件产品中，正品占2件，次品占3件。今从中一件一件地取出来检验，检验完不放回，直到把三件次品都找到为止。记 为3件次品都找到时已经做的检验次数。求：
螺栓被退货的比例即每包螺栓被退货的概率，依题设就是
其次，设 {每生产一包螺栓的获利数额}，依题设有 或 ，所求分布列为
22．装配成圆珠笔尖的小钢珠的重量 服从正态分布 ，而钢珠直径 是 的线性函数 。已知用直径小于 、介于 和 之间，以及大于 的钢珠装配成合格珠笔尖的概率分别为 和 ，试求：
（1）随机变量 的分布密度；
（1）所求概率分别为
（2）应用全概率公式，所求概率为
（3） 的分布列为
， ，
25．测量某工件的随机误差 ，求在100次独立测量中至少3次测量误差绝对值大于19.6的概率。
解设 表示100次独立测量中事件 发生的次数。因为一次测量中
所以 ，于是所求的概率为
26．若连续型随机变量 具有概率密度 ，求下列各随机变量的概率密度：
解设 {机器在一周内发生故障的次数}， {一部机器在一周内的利润}，则 ，并且有
依题设 的取值（单位：万元）与 的关系如下表：
0
1
2
10
5
0
于是
，
，
，
故所求概率分布为
05ຫໍສະໝຸດ 1019．设随机变量 服从参数为 的指数分布，即 ，证明： 在区间（0，1）上服从均匀分布。
证明已知
则
于是
1）若 即 时，恒有 ，因此这时有
。
求随机变量 的概率密度。
解因为
所以
29．设随机变量 具有以下分布列
0 2 3
求：（1） ；（2） 的分布列。
解（1）
3 5
（2）
0 4 9
， ， ， ， ，
（2）从六个球中不放回地逐个取球5次，最后袋中剩下或红或白一球，因此 的所有可能取值为3，4。由古典概型按组合算法可得 的分布律为
，
若按排列算法，则有
，
9．从一批含有7件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品，设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情况下分别求出直到取得正品时抽取产品数 的分布列：
而当 时，有
2）若 ，则有 ，从而
3）若 ，则有 ，从而
所以
即 在区间（0，1）上服从均匀分布。
20．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的分布列。
解由题设可知 ，且 的所有可能的取值为0，1，2，3。依二项概率公式 的分布列为
（1）从该批产品任取一只电子管是一等品，二等品或次等品件的概率；
（2）从该批产品任取一只装配成合格收音机的概率；
（3）假设销售一只一等品或二等品，厂家可获利6元或4元，销售一只次品，厂家亏损3元，求厂家销售任取的一只电子管可获的利润的分布列。
解设 分别表示任取一只电子管是一等品，二等品或次等品的事件， 表示任取一只电子管装配成合格收音机的事件， 表示销售任取的一只电子管可获的利润
所以 的分布列为
15．设人的某项特征（如左手执笔等）由一对基因 （显性）和 （隐性）决定，而且有 基因（纯显性）和 基因（混合性）的人，都显露该特性。设一对夫妇两人都是混合性，且每个孩子从父（母）亲的两个基因中继承某一个是等可能的，则该夫妇所生三个孩子中至多有两个显露该特征的概率是多少？