向量组 的秩

0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵 行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列 向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向 量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n
1 1 2 1
求向量组
1
2 3
,
2
0 0
,
3
2 3
,
4
2 3
的秩和它的一个极大无关组。
解
设1,2 ,3,4构成矩阵 (1,2 ,3,4 ) 。对A 施以
初等行变换,化A 为行阶梯形矩阵
1
2 3
1 0 0
2 1
1
22 33
r22r1 r3 3r1
x1 x2
3x3 2x3
4 x4 3x4
令自由未知数 x3 c1, x4 c2，得通解
x1 3 4
x2 x3 x4
c1
2 1 0
c2
3 0 1
把上式记作 x = c11 c22 ，则
S x c11 c22 c1,c2 R
可以得出
如果对列向量组 1,2 , ,n 组成的矩阵A施以初等行 变换得到矩阵B，B 的列向量组为1, 2 , , n ,则矩阵A 与矩
阵B 的列向量组有相同的线性关系。
对矩阵A 施以初等行变换得到矩阵B,则存在可逆矩阵P,使PA=B,即
P(1,2 , ,n ) (P1, P2 , , Pn ) (1, 2, , n )
即S 能由向量组1,2 线性表示。又因1,2的四个分量显然不成比 例,故 1,2 线性无关.因此根据最大无关组的等价定义知, 1,2 是S 的极
大无关组,从而R(S) 2。
线性代数
线性代数
向量组的秩
定义1 设1,2 , ,r
是向量组A 的部分组, 如果满足:
(1) 1,2 , ,r 线性无关;
(2)从向量组A 中任意取一个向量(如 还有的话)加入该部分组,此含有r+1个 向量的向量组必线性相关,则称向量
组1,2 , ,r 为向量组A 的极大线性
无关组,简称极大无关组。
(1)向量组与它的极 大无关组等价。
可得i = Pi(i 1, 2, , n) 。假设向量组1,2 ,
间的线性关系可表示为
k11 k22 knn 0
,n 的向量
(1.1)
等式两边左乘矩阵P,得
k1P1 k2 P2 kn Pn 0
即
k11 k22 knn 0
(1.2)
式(1.1)与式(1.2)说明向量组 相同的线性关系。
的全体解构成的向量组为S，求S 的秩。
解 先解方程,为此把系数矩阵A 化成行最简形:
1 2 1 2
1 2 1 2

2 1
3 1
0 1 5 7
r22r1 r3 r1
0 0
1 3
2 6
3 9
1 0 3 4
r1 2 r2
r32r2 r2 ( 1)
0 0
1 0
2 0
03
得
因为向量组1,2 , 组1,2 , ,s 及1, 2 ,
得s=t。
,s与向量组 1, 2 , , t 等价,且向量 , t都线性无关,由3.2节定理6的推论2
定义2 向量组1,2 , ,n的极大无关组中所
含向量的个数称为该向量组的秩,记为
R(1,2 , ,n ) 。
若将向量组组成一个矩阵,那么矩阵的秩与该向量组的 秩实际是相等的。
(1)A 中有r 个向量 1,2 , ,r 线性无关; (2)任取 A，α 能由1,2 , ,r 线性表示， 则1,2 , ,r是向量组A 的一个极大无关组,数r 即是向量组A 的秩。
推论
例2 证明:如果向量组A 能由向量组B 线性表示,那么向量组A 的秩小于等 于向量组B 的秩。 证
设向量组A 的一个极大无关组为1,2 , ,r，向量组B 的秩为s，
(2)向量组的任意两 个极大无关组等价, 且所含向量的个数 相等。
证 (1)设向量组A 有极大无关组 1,2 , ,s 。由定义1,向量 组A 中的任一向量γ 与向量组 1,2 , ,s 组成的s+1个向 量线性相关.而 1,2 , ,s 线性无关,由3.2节定理5,向量γ 可由向量组 1,2 , ,s 线性表示,即向量组A 可由向量 组 1,2 , ,s线性表示.又向量组1,2 , ,s是向量组A 的一个部分组,向量组 1,2 , ,s 当然能由向量组A 线 性表示。所以向量组A 与它的极大无关组 1,2 , ,s
解 在上一节中,已证明了n 维单位坐标向量构成的向量组
E : e1, e2 , , en
是线性无关的,又根据线性相关的定理,知Rn 中的任意n+1个向量都 线性相关,因此向量组E 是Rn 的一个极大无关组,且Rn的秩等于n。
显然, Rn的极大无关组很多,任何n 个线性无关的n 维向量都是 Rn 的极大无关组。
只要证r ≤ s。
因为向量组A 能由向量组B 线性表示,而向量组A 的极大无关
组1,2, ,得r 能出由向:等量价组向A 线量性组表的示,秩所以必向相量等组A。的极大无关组
1,2 , ,r 能由向量组B 线性表示.再由3.2节定理6的推论1,可得
r ≤ s。
例3 全体n 维向量构成的向量组记作Rn，求Rn 的一个极大无关组及 Rn 的秩。