河南省安阳县二中高二数学《弦切角的性质》学案

弦切角的性质
班级姓名学号
学习目标:
1.理解弦切角的概念；
2.掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；
3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法.
教学重点和难点
弦切角定理及其应用是重点；弦切角定理的证明是难点.
教学过程：
一、创设情境，以旧探新
1.提问：什么样的角是圆周角?
2.圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.(图7-132)
思考：这时∠BAE还是圆周角吗?为什么?
归纳总结出弦切角的特点：
(1)顶点在圆周上； (2)一边与圆相交； (3)一边与圆相切.
3. 弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
4.判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由： (图7-133)
由此发现，弦切角可分为三类：
(1)圆心在角的外部； (2)圆心在角的一边上；
(3)圆心在角的内部.
二、观察联想、发现规律
1.当弦切角一边通过圆心时，(如图7-135)
(1)弦切角∠CAB是多少度?为什么?
(2)∠CAB所夹弧所对的圆周角∠D是多少度?为什么?
(3)此时，弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系?
观察图形，不难发现，此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.
2.以A为端点.旋转AC边，使弦切角增大或减小，观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系，猜想：弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图7-134)
三、类比联想，尝试论证
1.回忆联想：
(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?
2.前面证明了特殊情况，下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况. 讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。

如图7-136(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC.
如图7-136(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ，连结PQ，
则∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC.你能写出完整的证明过程吗？
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.
3.看书并思考：课本上关于定理的证明与我们现在的证明方
法有何异同?
四、巩固知识、初步应用
p）如图7-139，已知AB是⊙O的直
例1（课本33
径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D.
求证：AC平分∠BAD.
思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相
似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B.(图7-139)
证明：(学生自己完成证明)
思路二:连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠1＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论.(图7-140)
思路三:过C 作CF⊥AB，交⊙O 于F ，连结AF.由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理
有∠2＝∠1，于是∠2＝∠3，进而可证明结论成立.(图7-141)
[课堂练习]:
1.如图7-142，AB 为⊙O 的直径，直线EF 切⊙O 于C ，若∠BAC＝56°，
则∠ECA＝ 度. (口答)
2.AB 切⊙O 于A 点，圆周被AC 所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切
角∠BAC＝ .
3.已知：经过⊙O 上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C.
求证：∠ATC＝∠TBC.② 2
CT ＝CA CB
五、归纳小结
① 在证明弦切角定理时，我们是从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从
而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程，逐步学会用运动变化的观
点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.
②学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦
切角进行分类和如何进行分类. ③弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.
六．反馈练习
练习1 直线AB 和圆相切于点P ，PC ，PD 为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所
夹的弧.(图7-137)
练习2 如图7-138，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若AB＝AC，那么∠DAB 和∠EAC是否相等?为什么? 分析，由于AB和AC分别是两个弦切角∠DAB和∠EAC所夹的弧，而AB和AC.连结B，C，易证∠B＝∠C.于是得到∠DAB＝∠EAC.
推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等.。