2023-2024学年河北省唐县高一上册11月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年河北省唐县高一上册11月月考数学试题
一、单选题
1．设集合{2,5},{3,5,7}A B ==，则A B ⋃=（）
A ．{2,3,5}
B ．{2,3,7}
C ．{2,3,5,7}
D ．{5}
【正确答案】C
【分析】根据并集概念求解即可.
【详解】因为{2,5},{3,5,7}A B ==，所以{}2,3,5,7A B = .故选：C
2．命题“20220,20220x x ∃>-<”的否定是（）
A ．20220,20220x x ∃>-≥
B ．20220,20220x x ∀≤-≥
C ．20220,20220x x ∀>-≥
D ．20220,20220
x x ∀≤-<【正确答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“20220,20220x x ∃>-<”为存在量词命题，其否定为.20220,20220x x ∀>-≥故选：C
3．p ：四边形ABCD 为矩形，q ：四边形ABCD 对角线相等，则p 是q 的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
【正确答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：根据矩形的性质知p q ⇒；等腰梯形对角线也相等，所以q 推不出p ，
所以p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．
4．若{}
2
1,22a a a ∈+-，则实数a 的值为（
）A ．1B ．2
-C ．0
D ．1或2
-
【正确答案】C
【分析】依题意可得1a =或222a a a +-=，求出a 的值，再检验是否符合集合元素的互异性，即可得解.
【详解】解：因为{}
2
1,22a a a ∈+-，
所以1a =或222a a a +-=，
由222a a a +-=，解得1a =或2a =-，
当1a =时2221a a +-=，不满足集合元素的互异性，故舍去，所以2a =-.故选：B
5．已知函数(),()f x g x 的对应关系如下表，则[(1)]f g =（）
x
1
-0123()f x 2
1
3
2
-()
g x 321-2-0
A ．0
B ．2
C ．2-
D ．1
【正确答案】B
【分析】根据复合函数求值的方法分步求解即可．【详解】解：(1)1g =-，
()()112f g f ∴=-=⎡⎤⎣⎦．
故选：B ．
6．已知函数()f x 的定义域为[0,4]2
）
A ．[1,4]-
B ．[1,2]
-C ．(1,4]
-D ．(1,2]
-【正确答案】D
【分析】若函数()f x 的定义域为A ，则复合函数(())f g x 有意义要满足()g x A ∈.
【详解】因为函数()f x 的定义域为[0,4]，2
f x 20410x x ⎧≤≤⎨+>⎩
，解得(1,2]x ∈-，
故选：D
7．已知函数22,2
()1,2x x x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A ．0a >
B ．1
02
a <<
C ．102
a <≤
D ．12
a ≥
【正确答案】C
【分析】根据分段函数单调性列方程组即可求解.
【详解】由题知：函数22,2
()1,2x x x f x ax x ⎧-≥=⎨-<⎩在R 上单调递增，
所以0
210
a a >⎧⎨-≤⎩，
解得102
a <≤，故选：C.
8．若命题“x ∀∈R ，都有2410mx x +-≠”为假命题，则实数m 的取值范围为（）
A ．40m -<<
B ．0m >
C ．4m ≥-
D ．40
m -≤≤【正确答案】C
【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m 的范围即可．【详解】解：由题意得R x ∃∈，使得2410mx x +-=，当0m =，1
4x =
符合题意；当0m ≠，只要1640m ∆=+≥即可，解得4m ≥-，综上：4m ≥-．故选：C ．
二、多选题
9．设函数21,()21,ax x a
f x x ax x a
-<⎧=⎨-+≥⎩，当()f x 为增函数时，实数a 的值可能是（）
A ．2
B ．1
-C ．1
2
D ．1
【正确答案】CD
【分析】由题知222121a a a -≤-+，且0a >，进而解不等式即可得01a <≤,再结合选项即可得答案.
【详解】 解：当x a <时，()1f x ax =-为增函数，则0a >，当x a ≥时，()()2
22211f x x ax x a a =-+=-+-为增函数，故()f x 为增函数，则222121a a a -≤-+，且0a >，解得01a <≤，所以，实数a 的值可能是(]0,1内的任意实数.故选：CD.
10．某校学习兴趣小组通过研究发现：形如ax b
y cx d
+=
+（0ac ≠，,b d 不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换而得到，则对函数2
1
x y x +=-的图象及性质，下列表述正确的是（
）
A ．图象上点的纵坐标不可能为1
B ．图象关于点()1,1成中心对称
C ．图象与x 轴无交点
D ．函数在区间()1,+∞上单调递减【正确答案】ABD 【分析】化简21
x y x +=-得到311y x =+-，结合反比例函数3
y x =的性质可得到结果.
【详解】21331111
x x y x x x +-+=
==+---，则函数21x y x +=-的图象可由的3
y x =图象先向右平移
一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，∴2
1
x y x +=
-图象上点的纵坐标不可能为1，A 正确；图象关于点()1,1成中心对称，B 正确；图象与x 轴的交点为()2,0-，C 不正确；函数在区间()1,+∞上单调递减,D 正确..故选：ABD ．
11．已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）
A ．2xy 的最大值为
14
B ．224x y +的最小值为1
2
C ．()x x y +的最大值为14
D ．
1
y x y
+
的最小值为1+【正确答案】ABD
【详解】因为,x y 是正数，且21x y +=，
所以不等式可知2x y +≥
，即1≥124
xy ≤，当且仅当1
22x y ==
，即11,42
x y ==取得等号，所以2xy 的最大值为
1
4
，所以A 正确;因为,x y 是正数，且21x y +=，所以1
0,012
x y <<
<<，且12y x =-，所以2222244(12)841x y x x x x +=+-=-+，当14x =
时224x y +有最小值为1118411642
⨯-⨯+=，所以B 正确;由以上知1
0,012
x y <<
<<，且12y x =-，所以()(12)(1)x x y x x x x x +=+-=-，
因为(1)x x +-≥1(1)4
x x -≤，当且仅当1x x =-即1=
2
x 时取等号，因为10,
2x <<所以等号不成立，即1
(1)4
x x -<，所以C 错误;
因为
122111y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥=，
当且仅当
2,y x y x y ==
，即2+=1
x y y ⎧⎪⎨⎪⎩
，
解得=121
x y ⎧-
⎪⎨
⎪⎩
时等号成立，即11y x y +≥，
所以
1
y x y
+
的最小值为1+，所以D 正确.故选:ABD.
12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805～1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄
利克雷定义了一个“奇怪的函数”1,()0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨
∈⎩
其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（）
A ．对任意x R ∈，都有()()0
f x f x -+=B ．对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=C ．若a<0，1b >，则有{}{}
()()x f x a x f x b >=<D ．存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33,C x f x ，使ABC 为等腰直角三角形【正确答案】BC
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】解：对于A 选项，当x ∈Q ，则Q x -∈，此时()()1120f x f x +-=+=≠，故A 选项错误；
对于B 选项，当任意1Q x ∈时，存在2Q x ∈，则12Q x x +∈，故()()1211f x x f x +==；当任意1R x Q ∈ð时，存在2Q x ∈，则12R Q x x +∈ð，故()()1210f x x f x +==，故对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=成立，故B 选项正确；
对于C 选项，根据题意得函数()f x 的值域为{}0,1，当a<0，1b >时，
{}{}(),()x f x a R x f x b R >=<=，故C 选项正确；
对于D 选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也②直角顶点A在1
应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；
y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的③直角顶点A在x轴上，斜边在1
横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；
y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也④直角顶点A在x轴上，斜边不在1
应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC 为等腰直角三角形，故选项D 错误．故选：BC.
本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上；直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上；直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上；直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上四种情况讨论求解.
三、填空题
13．“23x <<”是“2650x x -+<”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【正确答案】充分不必要
【分析】首先解一元二次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由2650x x -+<，即()()510x x --<，解得15x <<，因为()
2,3()1,5，
所以由23x <<推得出2650x x -+<，即充分性成立；由2650x x -+<推不出23x <<，即必要性不成立；所以“23x <<”是“2650x x -+<”的充分不必要条件；故充分不必要
14．已知12,1,,1,22α⎧⎫
∈--⎨⎬⎩⎭
，若函数y x α=在()0,∞+上y 随x 增大而减小，且图像关于y 轴
对称，则α=_______【正确答案】2
-
【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出α的值.
【详解】若函数()f x x α
=在()0,∞+上递减，则0α<.
当2α=-时，函数()2
f x x -=为偶函数，合乎题意；
当1α=-时，函数()1
f x x -=为奇函数，不合乎题意.
综上所述，2α=-.故答案为.2
-15．函数()53
1f x x ax =-+在区间[]5,5-上有()5f m =，则()f m -=___________.
【正确答案】3
-【分析】令()()1g x f x =-，由奇偶性定义可知()g x 为奇函数，由()()g m g m -=-可构造方程求得结果.
【详解】令()()53
1g x f x x ax =-=-，
()()()()3
553g x x a x x ax g x -=---=-+=- ，
()g x ∴为定义在[]5,5-上的奇函数，
又()()1514g m f m =-=-=，()()()14g m f m g m ∴-=--=-=-，()3f m ∴-=-.故答案为.3
-16．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，满足对1x ∀，[)20,x ∈+∞，其中12x x ≠，都有
()()()1211220x x x f x x f x -->⎡⎤⎣⎦，且()23f =，则不等式()6xf x >的解集为________（写成
集合或区间的形式）
【正确答案】(,2)(2,)
-∞-+∞ 【分析】根据题意构造()()F x xf x =，判定函数()()F x xf x =的单调性和奇偶性，利用赋值法得到(2)(2)2(2)6F F f -===，再通过单调性和奇偶性求得不等式的解集.【详解】解：因为121122()[()()]0x x x f x x f x -->，所以当12x x <时，1122()()x f x x f x <，令()()F x xf x =，
则()()F x xf x =在[0,)+∞上单调递增，
又因为()f x 为定义在R 上的奇函数,所以()()()()F x xf x xf x F x -=--==，所以()F x 是偶函数，且在(,0)-∞上单调递减，因为(2)3f =，
所以(2)(2)2(2)6F F f -===，
()6xf x >等价于0
()6(2)x F x F >⎧⎨>=⎩或()()
062x F x F <⎧⎨>=-⎩，
所以2x >或<2x -，
即不等式()6xf x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞ .故答案为.(,2)(2,)
-∞-+∞ 四、解答题
17．（1）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？（2）根据定义证明函数1
y x x
=+
在区间()1,+∞上单调递增.【正确答案】（1）应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，解不等式()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦即得解；
（2）利用函数单调性的定义证明.
【详解】（1）设这批削笔器的销售价格定为()15x x 元/个，
由题意得()30152400x x ⎡⎤--⨯⋅>⎣⎦，即2302000,
x x -+<方程230200x x -+=的两个实数根为1210,20x x ==，
2302000x x ∴-+<解集为{1020}x
x <<∣，又15,1520x x ≥∴≤< ，
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），
才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.
（2）证明：()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，有
()()()21121212121212121
2121211111x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由()12,1,x x ∈+∞，得121,1x x >>.所以12121,10x x x x >->.
又由12x x <，得120x x -<.于是
()12121210x x x x x x --<，即12y y <.所以，函数1y x x
=+在区间()1,+∞上单调递增.18．已知命题2120p x x a ∀≤≤-≥：，，命题22R +2+2+=0q x x ax a a ∃∈：，.
(1)若命题p 的否定为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若命题p 为真命题，命题q 为假命题，求实数a 的取值范围.
【正确答案】(1)(1,)
+∞(2)(0,1]
【分析】（1）先求出p ⌝，然后利用其为真命题，求出a 的取值范围即可；
（2）由（1）可知，命题p 为真命题时a 的取值范围，然后再求解q 为真命题时a 的取值范围，从而得到q ⌝为真命题时a 的取值范围，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，当12x ≤≤时，214x ≤≤，
p ⌝：存在12x ≤≤，20x a -<为真命题，则1a >，
所以实数a 的取值范围是(1,)+∞；
（2）由（1）可知，命题p 为真命题时，1a ≤，
命题q 为真命题时，2244(2)0a a a ∆=-+≥，解得0a ≤，
所以q ⌝为真命题时，0a >，
所以1>0a a ≤⎧⎨⎩
，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围为(0，1]．
19
．已知函数()f x =A ，集合={1<<1+}B x a x a -.
(1)当=2a 时，求R A B ⋂（）ð；
(2)若B A ⊆，求a 的取值范围.
【正确答案】(1){3<1x x -≤-或}
34x ≤≤(2){3}a
a ≤｜【分析】（1）求出定义域，得到{-34}A x
x =<≤｜，进而计算出R B ð及()R A B ⋂ð；（2）分B =∅与B ≠∅，列出不等式，求出a 的取值范围.
【详解】（1
）要使函数()f x =40+3>0x x -≥⎧⎨⎩，解得：34x -<≤，所以集合{-34}A x x =<≤｜.2a = ，∴{}{}=1<<1+=1<<3B x a x a x x --，∴{=1R B x x ≤-ð或}3x ≥，∴{=3<1R A B x x ⋂-≤-ð或}34x ≤≤；
（2）B A ⊆，
①当B =∅时，11a a -≥+，即0a ≤，满足题意；
②当B ≠∅时，由B A ⊆，得1<1+131+4a a a a --≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩
，解得：03a <≤，
综上所述：a 的取值范围为{}3a a ≤.
20．已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．
(1)求常数a 的值；
(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围．
【正确答案】(1)1
a =(2)[]
4,4-【分析】（1）由题意可得－1和3是方程()21460a x x +--=的解，将=1x -代入方程中可
求出a 的值；
（2）由240x mx ++≥的解集为R ，可得0∆≤，从而可求出m 的取值范围
【详解】（1）因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．
所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，
把=1x -代入方程解得1a =．经验证满足题意
（2）若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ，所以2160m ∆=-≤，
解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．
21．已知函数()22
1x f x x =+，(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值.(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
是定值(3)求1112(1)(2)(3)(2021)232021f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值.【正确答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)2021
【分析】（1）将2x =，12代入()f x 的解析式，求解即可；
（2）由()f x 的解析式，化简1()(f x f x
+，即可证明；（3）利用（2）中的结论，将所求式子进行重新组合，即可得到答案．
【详解】（1）解：因为2
2()1
x f x x =+，所以()2
2221124122122155112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
；（2）证明：2222222221111()1111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定值；（3）解：由（2）可知，1()(1f x f x +=，()22111112
f ==+，
所以1112(1)(2)(3)(2021)232021f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()11111(2)(3)(2021)232021f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋯++⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦⎣
⎦120212021=⨯=．22．设函数y =mx 2-mx -1.
(1)若对任意x ∈R ，使得y <0成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于任意x ∈[1，3]，y <-m +5恒成立，求实数m 的取值范围.
【正确答案】(1)（-4，0](2)6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭【分析】（1）由mx 2-mx -1<0，对任意x ∈R 恒成立，利用判别式法求解；
（2）由当x ∈[1，3]时，y <-m +5恒成立，转化为261
m x x <-+，对x ∈[1，3]时恒成立求解.【详解】（1）解：要使mx 2-mx -1<0，对任意x ∈R 恒成立，
若m =0，显然一1<0，满足题意；
若m ≠0，则20Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩
，解得-4<m <0
综上，-4<m ≤0，即m 的取值范围是（-4，0].
（2）当x ∈[1，3]时，y <-m +5恒成立，
即当x ∈[1，3]时，m （x 2-x +1）-6<0成立.因为2
2131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，且()2160m x x -+-<，所以261
m x x <
-+，因为函数1226611324y x x x ==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在[]1,3上的最小值为67，所以只需67
m <即可，即实数m 的取值范围为6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。