届文科数学立体几何大题训练

2017届文科数学立体几何大题训练
1. 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．
（Ⅰ）求证：DM //平面APC ；
（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；
（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积．
2. 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；
（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．
3. 如图，四棱柱P ABCD -中， .//,,AB PAD AB CD PD AD F ⊥=平面是DC 上的点且1
,2
DF AB PH =为PAD ∆中AD 边上的高.
（Ⅰ）求证：//AB 平面PDC ； （Ⅱ）求证：PH BC ⊥；
（Ⅲ）线段PB 上是否存在点E ，使EF ⊥平面PAB ？说明理由.
4. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中
点。

（1）若，求证：平面；
（2）点在线段
上，
，试确定
的值，使；
F A
B
D P
C
H
5. ．如图，
是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ⑴ 求证：平面平面；
⑵ 求四棱锥的体积.
6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，90ABC BCD ∠=∠=，
PA PD DC CB a ====，2AB a =，E 是PB 中点，H 是AD 中点.
（Ⅰ）求证：//EC 平面APD ；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积. E ABCD AD F CD 2
43
AB AE AD ===ABE ∆BE PBE ∆PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC -P
B
C
D F
E
B
C D A
F
E
(1)
(2)
7. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90BAC ∠=°，O 为BC 中点．
（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求异面直线BS 与AC 所成角的大小．
8. 如图，已知AB 平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，，且F 是CD 的中点．
（Ⅰ）求证AF ∥平面BCE ；
（Ⅱ）设AB =1，求多面体ABCDE 的体积． ⊥2AD DE AB ==O
S
B
A
C
9.如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ⑴ 求证：平面平面； ⑵ 求四棱锥的体积.
10. 右图为一组合体，其底面
为正方形，平面，，且
（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求四棱锥
的体积；
（Ⅲ）求该组合体的表面积． E ABCD AD F CD 2
43
AB AE AD ===ABE ∆BE PBE ∆PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC -ABCD PD ⊥ABCD //EC PD 22PD AD EC ===//BE PDA B CEPD -
P
B
C
E
D F
E
(1)
(2)
11. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，
为 的中点，已知， （Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在上求一点，使平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
12. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 中点． （Ⅰ）求证：1AA BC ⊥；
（Ⅱ）当侧棱1AA 和底面成45角时， 求11A BB C C V - （Ⅲ）若D 为侧棱1AA 上一点，当
为何值时，11BD A C ⊥．
S ABCD -ABCD SBC ⊥ABCD E SD 45222ABC AB BC ∠===，， 3.SB SC ==SA BC ⊥BC F //EC SAF D EAC -32DA
D
A 1
13. 如图，已知三棱锥，，为中点，为中
点，且是正三角形，．
（1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积．
14．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=25，PD=42，E 是PD 的中点 (1)求证：AE ⊥平面PCD ；
(2)若F 是线段BC 的中点，求三棱锥F-ACE 的体积。

ABC P -
90=∠ACB D AB CB ,20,4==AB M PB PDB ∆PC PA ⊥PAC ⊥ABC BCD M -D
P
M
C
B
A
15. 如图，在正四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，侧棱6=PA ,E 为BC
的中点，F 是侧棱PD 上的一动点。

（1）证明：BF AC ⊥；
（2）当直线ACF PE 平面//时，求三棱锥
ACD F -的体积.
16. 如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，90,
ACB ∠=122AC AA BC ===，D 为1AA 的中点.
（I ）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （II ）求1C 到平面1B CD 的距离．
17.如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB 的中点． 求证：（1）；
（2）求三棱锥的体积.
18. 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD=60︒
，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA=2.
（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；
（2）求PC 与平面PAB 所成角的余弦值。

111A B C ABC -11AA C C ⊥11AA C C 160A AC ∠=11A C EC ABC ⊥平面1A EFC - A
B
F
C
C 1
E A 1
B 1
第18题图
19. 如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，
160A AC ∠=，E 、F 分别是11A C 、AB 的中点．
求证：（1）EF ∥平面11BB C C ； （2）平面CEF ⊥平面ABC
20.已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、
AD 上的动点，且
)10(,<<==λλAD
AF
AC AE （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
A
1
E F
E
D
B
A
C。