相似精选习题专题训练

相似精选习题专题训练
一、利用相似证明线段相等
1、在等腰ΔABC中，AB=AC，分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC、BE，DC与AB彼岸相交于点M，BE于AC边相交于点N。

（1）如图1，若DE∥BC，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明。

（2）如图2，若DE与BC不平行，在（1）中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明。

2、如图，以RtΔABC的直角边AC、BC为边向外作正方形ACEF和正方形BHGC，连接AH、BF分别交BC、AC于K、L。

求证：CL=CK
3、已知点E、F分别在矩形ABCD的边AB、AD上，EF∥BD，EC、FC分别交BD于点H、G，求证：BG=DH。

4、如图，分别以ΔABC的AC和BC为边，在ΔABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点。

（1）求证：点P到边AB的距离等于AB的一半。

（2）若EF∥AB，求证：CA=CB
5、已知ΔABC中，∠ACB=900，分别过A、B两点作经过点C的直线的垂线，垂足分别为D、E。

在线段DE上取一点F，使∠EBF=∠ABC。

（1）如图1，当AC=BC时，写出图中所有与CD相等的线段，并选取一条给出证明；
（2）如图2，当AC≠BC时，在（1）中与CD相等线段中找出一条仍然与CD相等的线段，并给出证明。

6、D为RtΔABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE、CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD 交DE的延长线于点F，连接AF。

（1）如图1，若AC=BC，求证：AF⊥AB
（2）如图2，若AC≠BC，当D在AB上运动时，求证：AF⊥AB
7、如图1，ΔABC和ΔDEF均为等边三角形，BC和EF的中点均为O点
（1）将ΔDEF绕点O旋转到图2的位置时，试判断AD与CF的位置关系，并证明你的结论；（2）如图3，将ΔDEF绕点O旋转一周，若OD与AC只有一个交点，且AB=4，求ΔCOF的面积。

中，E、F分别是AB、CD上的点，若CE∥AF，求证：DE∥BF;
8、（1）如图1，在ABCD
（2）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD上的点，若CE∥AF，求证：DE ∥BF。

9、已知∠ABC=900
，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足
PQ AD
PC AB
=
（如图1所示） （1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图1中，连接AP ，当AD=
3
2
，且点Q 在线段AB 上时，设B 、Q 之间的距离为x ，APO PBC S y S ∆∆=，
求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当AD<AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小。

求比值及计算
1、如图所示，已知ΔABC ，延长BC 到D 点，使CD=BC ，取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E 。

（1）求
AE
AC
的值；（2）若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长。

2、如图，在ΔABC 中，AM 和BN 相交于点D ，BM=tMC ，点D 为AM 的中点。

（1）当t=1时，
BD
BN = （2）当t=3时，求AN
AC
的值；
（3）连接CD ，当t= 时，有2BDM DNC S S ∆∆=成立。

3、如图1，已知等边ΔABC ，D 为AC 边上一动点，CD=nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD=600，AM 交BC 于点E 。

（1）若n=1，则
BE
CE
= ，BM DM = ;
（2）若n=2，求证：BM=6DM;
（3）如图2，当n= 时，M 为BD 中点。

4、梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=3AB ，N 是边AD 上的一点，NC 与对角线BD 交于O 点。

（1）如图1，当点N 与点A 重合时，
BO
DO = （2）如图2，当点N 是AD 的中点时，求BO
DO 的值
（3）如图3，当点O 是BD 的中点时，AN
ND
=
5、如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一动点（点E 不与端点C 、D 重合），AE 的垂直平分线FP 交AD 于F ，交CB 于G 点，交AB 的延长线于点P ，H 为垂足。

（1）当
13DE CD =，则
AF
AD = （2）当12DE CD =时，求
FH
HG 、BP AB 的值 （3）当______DE CD =时，
BP AB =9
8
6、如图1，在Rt ΔABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于G 点，EF ⊥BE 交AB 于F 点，若AC=mBC ，CE=nEA （m 、n 为实数）。

试探究EF 与EG 的数量关系。

（1）如图2，当m=1，n=1时，EF 与EG 的数量关系是
（2）如图3，当m=1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是 （3）如图1，当m 、n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是
直角三角形与求比的综合
1、如图1，在RtΔABC中，∠ACB=900，AC=BC,D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD于点F，交AB于点E。

（1）若n=1，则DF
CF
= ,
BD
AF
=
（2）如图2，若n=2，求BE
AE
的值
（3）当n= 时，
2
5 BE
AE
=
2、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP于E，并延长交BD于F。

（1）如图1，若P为AB的中点，则BF
DF
= ；
BF
AC
=
（2）如图2，若
1
2
AP
BP
=时，求证：AC=4BF
（3）如图3，若P在BA的延长线上，当BF
AC
= 时，
1
3
AP
AB
=
3、如图1，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点，BC=nBE ，DO ⊥AE 于点O ，CO 的延长线交AB 于点F 。

（1）当n=2时，DO= AO ；OE= AO ； （2）如图2，当n=3时，求证：
11=
18
AFCD ABCD
S S 四边形正方形 （3）当n= 时，F 是AB 的5等分点。

4、如图1，已知正方形ABCD ，F 是DC 边上一动点，DC=nDF ，AE ⊥AF 交CB 的延长线于E ，连接EF 交AB 于G 。

（1）若n=2，则
AG
BG
= ,AGF EGB S S ∆∆=
（2）如图2，若n=3，求证：AG=5GB
（3）当n= 时，AG=6GB.
5、E 是矩形ABCD 边CB 上的动点（不包括端点），作∠AEF=900，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ，设BC=m ，AB=n 。

（1）若m=n （如图1）求证：AE=EF （2）若m=tn （t ＞1）时（如图2），试问在BC 边上是否存在点E ，使EF=（t+1）AE 成立？若存在，请求出BE 的值（用含m 、n 、t 的代数式表示）；若不存在，请说明理由； （3）若m ≠n ，试问边BC 上是否存在点E ，使EF=AE ？请写出你的结论： 。

（只填“存在”或“不存在”，不用证明）
6、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ，交CD 于F ，作CG ∥AE ，交BF 于G 。

（1）求证：CG=BH （2）2
FC BF GF =∙ (3)22FC GF
AB GB
=。