光学教案第五章i

光学
第5章
光的衍射
( z ) A exp i(kz 0 ) 复振幅
( p, t ) A cos (t kr0 0 )
k r0 r k 复振幅 其中
( p)=A exp i (k r 0 ) k r kx x k y y kz z k k k k
ikr
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光的衍射
• 5. 3 衍射分类 菲涅耳衍射
S
光源—障碍物—接收 屏 距离均为有限远。 光源
E A
B
障碍物
接收屏
E A
S
夫琅和费衍射
光源—障碍物—接收屏 距离有一个或均为无限远。 光源 （物理上的无穷远：平行光束）
B
障碍物
接收屏
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光的衍射
• 1 伴轴近似
( x, y ) 1 E i r
2、一般情况下，上述积分相当复杂。只有当S对通过P点波面的法线具有旋转对 称性时，才能积出结果。此时，可用代数加法或矢量加法来代替积分； 3、借助积分式可定量描述光波通过障碍物时发生衍射现象的主要特征。
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光的衍射
5.菲涅尔-基尔霍夫积分公式
( P) 1 E Q e F dS E i r S 1 F (1 cos( )) 2
eikr 1 E ( x0 , y0 ) (1 cos( )) dS r 2 S
cos( ) 1, r z z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 1 z2 ( x x0 ) ( y y0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ] ... z[1 2z2 8z 4

d
远场衍射斑： x f sin ff
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光的衍射
§6 夫琅禾费单缝衍射
光学 如图示原理图：平行光束垂 直入射，光强均匀。设在缝 平面时初相为0，整个缝所 dx 发次波在θ=0方向上的总振 b x ‘波面上的一 幅为A0，取BB 平行于缝的窄带dx，则dx所 发出的球面次波的振动可表 示为：
-π π 2π 3π
b sin k k 即 : sin k k b 其中, k 1,2,3,
u
1.43
3、次最大位置 其位置由③式，即超越 方程u=tgu决定，可用图 示法解此方程。
I
2.46
-π
0
π
2π 3π
u
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两条曲线在如下位置处相交, 即方程的解为: u0 u 1.43 u 2.46 u 3.47
2 2 x 2 y 2 z
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光的衍射
发散球面波的复振幅 a ( p )= exp i (kr 0 ) r 其中 r= x y z
2 2 2 12

则复振幅为： ( p )= a
x
2
y z
2
2 12

ik x 2 y 2 z 2 1 2 exp

d
远场衍射斑： x f sin ff
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光的衍射
正弦衍射光栅 t ( x0 ) t 0 t1 cos(2fx 0 ) 1 1 E透射 ( x0 ) A[ cos(2fx 0 )] 2 2 A A e i 2fx0 e i 2fx0 ( ) 2 2 2 sin cos f
~ A0 dx , 复振幅dE e b
L2
i
2

x sin
B
dx
'
MD

P0
b
N
x
B

P
F
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b sin sin b ~ A sin u AP dE A0 0 0 b u sin
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光的衍射
由惠 菲原理可得沿方向传播的所有次波在P点叠加的合振幅为
说明各次波到达P0点时，光程、位相均相同，振动相互加强， 形成最大值。
光学 2、最小值（暗条纹）位置
由② 式有 : uk k 0, 但 sin uk 0, sin 2 uk 所以, 光强 I P I 0 0 2 uk 暗条纹 :
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y
2.46
光的衍射
y u
y tgu
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2、四个假设：
①波面是一等相面。→光源S上所有面元ds具有相同位相（令其为0） ②次波源ds 在P点的振幅与 r 成反比。→ 次波是球面波 ③次波源ds 在P点的振幅正比于其面积且与倾角θ有关，随 θ的增大而减小。 ④次波源ds 在P点的位相由光程Δ=nr 决定， →

2


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光的衍射
1、主最大（中央亮条纹）
由①式得 : sin 0 0 0 0 对应于光屏上P0点, 称为中央主最大值位置, 此时光强 : I P0 I 0 lim
sin u0 0 u0 0
sin 2 u0 I 0 A02 2 u0
0 型 0
3、表达式：
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K dE C cosk r t dS r 其中 : C 比例系数; K 倾斜因子 : 随增大而缓慢减小的函数 k 2

波数
K A cosk r t dS r
若dS上振幅按函数A 分布,则 : dE C
在P点的合振动为: E dE C K A cosk r t dS r S S
复数形式为:
K A i kr t E C e dS r S
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4、讨论
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光的衍射
1、积分表达式是次波假设与杨氏干涉原理（相干叠加）的有机结合—物理意义；
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§5 光的衍射
• 5. 1光的衍射现象 1)、机械波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现 象。如声波、水波的衍射。
2)、电磁波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。 如无线电波（电视、广播）的衍射。
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光的衍射
3)、光波的衍射
A
S
宽 缝 窄
E
直线传播 细 丝 ●
2 2 2
( x, y ) e E E ( x0 , y0 )e i z S
ikz
ik [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ] 2z
dx0 dy0
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• 3 夫琅禾费衍射
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( x x0 ) ( y y0 ) ] ... r z[1 2 4 2z 8z x 2 y 2 xx0 yy0 z 2z z
E ( x0 , y0 )e
S
ik [ xx0 yy0 ] z
dx0 dy0
x y fx , fy z z E ( f x , f y ) C F [t ( x0 , y0 )]
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光的衍射
E 透射 ( x 0 , y 0 ) ~ 屏函数(复振幅透射率)： t ( x 0 , y 0 ) E 入射 ( x 0 , y 0 ) 薄透镜：E 透射 ( x 0 , y 0 ) Ae E 入射 ( x 0 , y 0 ) A P106 例题5.3
B'
MD
N
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L2

光的衍射

P0
P F
B
A0 dx dE0 cost b
由惠—菲原理可知： BB‘上所有窄带发出的次波在屏上叠加，就形 成了衍射花样。 现取一束与原入射方向成θ角（称为衍射角）的光束，并作辅 助平面BD垂直于衍射方向，则BD面上任一点到P点的光程相 等（透镜的等光射
M , B两点沿方向到P点的光程差 MN x sin A0 dx 2 又 : N点的振动表达式为 dE cos x sin t b A0 dx 复数式为: dE e b
2 i x sin t

b 令u sin
sin u sin cu u
sin 2 u 2 P点光强为 I P AP A02 2 I 0 sin c 2u 其中 : I 0 A02 u
B
dx
'
L2
MD

P0
b
N
x
B

P F
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光的衍射
由于障碍物为狭缝，所有具有相同衍射角的点构成一条平行于狭 缝的直线，形成同一级条纹，所以，在光屏上P点实为一条平行于 狭缝的直线状条纹。对所有的衍射方向，在光屏上就形成了一组 平行于狭缝的、明暗相间的直线状条纹，其光强由上式决定。
B
dx
'
L2
MD
N

P0
b
x
B

P F
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光的衍射
sin 2 u 由 I P I0 可知 : 不同的对应着不同的观察点, 也对应着不同的光强值. 2 u dI P d sin 2 u 2 sin u u cos u sin u 当: 0 时, I P 取得极值, 即 : 2 0 3 u du du u b ① sin 0 0 u0 0 sin u 0 uk k b sin k ② 时取得极值. k tgu u ③