6——第十三课 三角函数的性质

第十三课时 三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是 ，分别记作：
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是
其中正弦函数y=sinx ，x ∈R
①当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值
②当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值
而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R
①当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值 .
②当且仅当 ，k ∈Z 时，取得最 值 .
(3)周期性
由⎩⎨⎧=+=+x
k x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z)
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是 函数, (k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是
(4)奇偶性
正弦函数是 函数，余弦函数是 函数.
(5)单调性
从y ＝sinx ，x ∈［－π2 ，3π2
］的图象上可看出： 当x ∈［－π2 ，π2
］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1. 当x ∈［π2 ，3π2
］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.
(1)y ＝cosx ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R.
解：
［例2］求下列函数的定义域：
(1)y ＝1＋1sinx
(2)y ＝cosx 解：
［例3］求下列函数的单调递增区间：
①y ＝cos(2x ＋
π6 )；②y ＝3sin(π3 －x 2
)
Ⅲ.课堂练习
课本P33 1～7
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题. Ⅴ.课后作业
课本P46 习题 2、3、4
课后练习：
1．给出下列命题：
①y＝sinx在第一象限是增函数；
②α是锐角，则y＝sin(α＋π
4
)的值域是［－1，1］；
③y＝sin｜x｜的周期是2π；
④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；
其中正确的命题的序号是_____.
评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.
2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lg(sinx－
3
2
) (2)y＝22cos3x－1
分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.
评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.
4.比较下列各组数的大小：
(1)sin195°与cos170°;
(2)cos 3
2
，sin
1
10
，－cos
7
4
(3)sin(sin 3π
8
)，sin(
3π
8
).
分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.。