人教A版高中数学选修2-2作业：第1章导数及其应用1.3.3 课后

第一章 1.3 1.3.3
一、选择题
1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( A ) A ．等于0
B ．大于0
C ．小于0
D ．以上都有可能
解析 ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数，∴y ′＝0，故选A ． 2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( C ) A ．最大值为13，最小值为3
4
B ．最大值为1，最小值为－4
C ．最大值为13，最小值为1
D ．最大值为－1，最小值为－7
解析 f ′(x )＝2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1
2，
当x <1
2
时，f (x )是减函数，
所以f (－3)>f (0)．而f (－3)＝13，f (0)＝1.
所以函数在[－3,0]上的最大值为13，最小值为1，故选C ． 3．函数y ＝ln x
x 的最大值为( A )
A ．e －
1
B ．e
C ．e 2
D ．103
解析 令y ′＝1－ln x x 2
＝0，解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0.所以y ＝ln x
x 的极大值为1e .因为y ＝ln x x 在其定义域内只有一个极值，所以y max ＝1
e
.
4．函数f (θ)＝sin θcos 2θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π
2的最大值是( A ) A ．23
9
B ．
3
9
C ．29
D ．
22
解析 ∵f (θ)＝sin θcos 2θ＝sin θ－sin 3θ， ∴f ′(θ)＝(sin θ－sin 3θ)′＝cos θ－3sin 2θcos θ， 令f ′(θ)＝0，即cos θ－3sin 2θcos θ＝0， ∵0<θ<π
2
，∴cos θ>0，
∴sin 2θ＝13，∴sin θ＝33，cos 2θ＝2
3
，
易知f (θ)在sin θ＝
3
3
处取得极大值，也是最大值， 故函数f (θ)的最大值是
33×23＝239
. 5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( B ) A ．[0,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,1)
D ．⎝⎛⎭
⎫0，1
2 解析 f ′(x )＝3x 2－3a ，
①若a ≤0，可得f ′(x )≥0，f (x )在(0,1)内单调递增，f (x )在x ＝0处取得最小值，显然不可能．
②若a ＞0，f ′(x )＝0解得x ＝±a .当x ＞a 时，f (x )为增函数，当0＜x ＜a 时，f (x )为减函数，故f (x )在x ＝a 处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应在(0,1)内，符合要求．
综上所述，a 的取值范围为(0,1)，故选B ． 6．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出下列命题： (1)f (x )是增函数，无最值； (2)f (x )是减函数，无最值；
(3)f (x )的递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； (4)f (0)＝0是最大值，f (2)＝－4是最小值． 其中正确的有( A ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析 f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0；令f ′(x )＝3x 2－6x <0，得0<x <2，所以函数f (x )在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，当x ＝0和x ＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4，但在整个定义域上无最值．
二、填空题
7．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为__π
6__. 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x . 令1－2sin x ＝0且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得x ＝π6
. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
6时，y ′＞0，函数y ＝x ＋2cos x 单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，y ′＜0，函数y ＝x ＋2cos x 单调递减； 所以当x ＝π
6
时取得最大值．
8．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是__57__.
解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，f (－3)＝a ，f (－2)＝4＋a ，f (0)＝a ，f (3)＝54＋a ，∵f (x )在[－3,3]上有最小值3，∴a ＝3，∴f (x )在[－3,3]上的最大值是f (3)＝54＋a ＝57.
9．已知函数f (x )＝x 3＋x 对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是__⎝
⎛⎭⎫－2，23__. 解析 函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是奇函数且为增函数，又f (mx －2)＋f (x )<0，所以f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，所以mx －2<－x 在m ∈[－2,2]上恒成立，
即(m ＋1)x －2<0在m ∈[－2,2]上恒成立．
令g (m )＝(m ＋1)x －2，只需⎩⎪⎨⎪⎧
g (－2)<0，g (2)<0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
(－2＋1)x －2<0，(2＋1)x －2<0，解得－2<x <2
3.
所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，2
3. 三、解答题
10．求函数f (x )＝x 3－3x 在⎣⎡⎦⎤－3，3
2上的最大值和最小值． 解析 f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.
又因为f (－3)＝－18，f (－1)＝2，f (1)＝－2， f ⎝⎛⎭⎫32＝－9
8
， 所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－18， 当x ＝－1时，f (x )max ＝2.
11．已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b .若f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，试求a ，b 的值．
解析 f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．
(1)当a ＞0时，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.
所以，当x ＝0时，f (x )取最大值f (0)＝b ＝3.
又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＞f (2)， 即当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2. (2)当a ＜0时，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.
所以，当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝b ＝－29. 又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29，f (2)＞f (－1)， 即当x ＝2时，f (x )取最大值f (2)＝－16a －29＝3， 得a ＝－2.
综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 12．已知函数f (x )＝ax －2
x
－3ln x ，其中a 为常数．
(1)若函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭
⎫2
3，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线与直线x ＋y －2＝0垂直，
求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤32，3上的值域； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析 (1)函数f (x )＝ax －2x －3ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋2x 2－3
x .
由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫23＝1，即a ＋2⎝⎛⎭⎫232－3
2
3＝1，解得a ＝1， 所以f (x )＝x －2x －3ln x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤32，3， 所以f ′(x )＝(x －1)(x －2)
x 2
.
由f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝1(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表．
所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤32，3上的值域为⎣⎡⎦⎤1－3ln 2，7
3－3ln 3. (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2
x 2
，
由题意得ax 2－3x ＋2≤0在[1，＋∞]上恒成立． 设h (x )＝ax 2－3x ＋2，
①当a ＝0时，令h (x )＝－3x ＋2≤0，则x ≥2
3，显然成立；
②当a <0时，h (x )在[1，＋∞)上单调递减， 所以h (x )＝ax 2－3x ＋2在x ＝1处取得最大值， 令h (1)＝a ·12－3×1＋2≤0，得a ≤1，所以此时a <0； ③当a >0时，显然不成立．
综上可得，实数a 的取值范围是(－∞，0]．
由Ruize收集整理。

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