江苏省泰州姜堰中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试题

江苏省泰州市姜堰中学2019届高三（上）期中
数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
【答案】
【解析】
根据交集的定义易知A、B两个集合共有的元素是-1,2，所以答案为
【此处有视频，请去附件查看】
2.已知复数其中i是虚数单位，则复数z的实部为______．
【答案】1
【分析】
根据复数除法法则计算.
【详解】，
故答案为1．
【点睛】本题考查复数的运算，掌握复数的运算法则是解题关键，本题是基础题.
3.________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的运算公式得到结果.
【详解】根据题干得到
故答案为：.
【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.
4.命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
把结论中“＞”改为“≤”，同时把“存在”改为“对任意”。

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定是：“，
”．
故答案为，．
【点睛】命题的否定只要把命题中的结论改为相反的结论，同时题中的存在量词与相应的全称量词互换即得，注意与否命题的区别.
5.已知向量，且，则______．
【答案】2
【解析】
由向量平行的坐标运算列出关于的方程，解之即得.
【详解】∵；
；
解得．
故答案为2．
【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，即若，则.
6.已知角的终边经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的定义求得，再用诱导公式计算.
【详解】角的终边经过点，则，
故答案为．
【点睛】本题考查三角函数的定义与诱导公式，设角终边过点，则（），.
7.函数f（x）=lnx+x的图象在x=1处的切线方程为___．
【答案】2x﹣y﹣1=0
【解析】
【分析】
求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程.
【详解】函数f（x）=lnx+x的导数为，
可得函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=2，
切点为（1，1），
可得切线的方程为y﹣1=2（x﹣1）；即2x﹣y﹣1=0．
故答案为：2x﹣y﹣1=0．
【点睛】本题考查利用导数求切线的方程，是基本题．
8.奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由奇函数的定义可得，然后利用增函数的性质解得函数不等式.
【详解】根据题意，为R上的奇函数，且，则，且
又由是R上的增函数，若，则有，
则有，
解可得：，
即不等式的解集为；
故答案为．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，解题时可利用奇偶性把不等式化为的形式，然后利用单调性得出（或），再解之可得.
9.在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与圆O：相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
引入右焦点，由中位线定理得，从而得，结合椭圆的定义和勾股定理可求得. 【详解】
取椭圆的左焦点，连接，
直线FP与圆O：相切于点Q，
若Q恰为线段FP的中点，
可得，，由椭圆的定义可得，
在直角三角形中，可得：，
即，可得，
可得，故答案为3．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，属于中等题.在问题中涉及到椭圆上的点到一个焦点的距离时，经常利用椭圆的定义与它到另一焦点的距离联系在一起，或转化为点互相应准线的距离.
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
由可求得，注意到，其中2是函数的最大值，由此可得，最后代入计算得.
【详解】函数的部分图象如图所示，，．
，，函数，，
故答案为．
【点睛】本题考查函数的图象与性质，已知函数的图象时常常与“五点法”联系，即利用“五点”与函数的周期，最值等建立关系.
11.已知a为正常数，，若，，，则实数a的取值范
围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
“若，，”，说明函数在定义域内不是单调函数，因此结合单调函数的性质可得出关于的不等式关系.
【详解】a为正常数，，
若，，，
可得在R上不单调，当时，递增，
由可得恒成立，
则时递增，但，
解得，故答案为．
【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题时除要考虑分段函数中两段的单调性外，一般还要考虑两段的最值之间的大小关系，从而才能把问题考虑全面，得出正确结论.
12.已知，函数，若存在极小值点m，且，，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的知识求得极小值点，再由求得，再计算即可．
【详解】，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
的极小值点，
．
由，得，
，解得．
．
故答案为．
【点睛】本题考查导数与函数的极值，求极值的一般步骤是：一求导函数，二解方程，三确定导函数的符号，最终可得结论．当在左侧为负，右侧为正时，是极小值点，当在左侧为正，右侧为负时，是极大值点．
13.已知圆O：，定点，过A点的直线l与圆O相交于B、C两点，B、C两
点均在x轴上方，如图，若OC平分，则直线l的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题关键是求出交点的坐标，由三角形内角平分线定理可得，从而有，于是可设，由向量坐标运算求得点坐标，再把两点坐标代入圆的方程可求得点坐标，从而得直线斜率．
【详解】由OC平分知，，
设点，点，
则，
即，
由向量相等解得，；
又，
，
，；
由解得，，
点；
直线l的斜率为．
故答案为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，解题时要抓住事物的本质，要求直线斜率，就是要求得直线上两点的坐标，已知A点坐标，因此还要求得两点之一坐标，可利用这两点在圆上，因此想法其中一点的坐标用另一点表示出来的一，代入圆方程联立方程组后可解得．本题还考查学生的计算能力，属于中等题．
14.如图，在ABC中，，，CD与BE交于点P，，，，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
选取向量为基底，把用基底表示出来，然后计算它们的数量积即可．注意在求时，可设，再利用三点共线的条件求得，从而表示出．
【详解】设．
．
，P，C三点共线，，解得．
，，．
解得
故答案为．
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取两个不共线向量为基底，其他向量都用基底表示并运算．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知，，，若．
求的值；
求的值．
【答案】（1）．（2）
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积的坐标运算得，结合平方公式及的范围可求得的值；
（2）由二倍角公式求得，再结合两角差的余弦公式求值．
【详解】，，，，，
若，，，．
由可得，，
．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查同角间的三角函数关系式、二倍角公式、两角差的余弦公式，解题时只要根据已知及求值式确定先用哪个公式即可．本题属于基础题．
16.已知函数，定义域为．
证明：；
若在上的值域为，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先证明函数在上是增函数，再由基本不等式得，从而由单调性得证结论；
（2）由函数单调性知，从而是方程的两个不等正根，由二次方程根的分布结论可得．
【详解】证明：任取，，且，则
．
函数在上是增函数．
，
．
由知在上单调递增，
，
，n是，即的两个不等的正根，
在上有两个不等的根，
，解得，
实数a的取值范围是．
【点睛】本题第一个考点是证明函数不等式，函数不等式的证明一常用方法之一就是利用函数的单调性，这是我们必须掌握的函数的性质与方法；第二个考点是函数的值域问题，实质是转化为二次方程根的分布问题，本题可用韦达定理及判别式得出相应条件．
17.已知圆C：，直线：与：交于点M，
直线与圆C交于A、B两点，直线与圆C交于D，E两点，若M为弦AB的中点，且
．
当时，求圆C的方程；
当时，求圆C的方程．
【答案】（1）
（2）圆C的方程为
或．
【解析】
【分析】
（1），则M就是圆心C，联立两直线方程可求得M点坐标，从而得圆方程；
（2）由可得，取中点F，由得M是FD中点，即，由圆中的弦长公式求得弦长，在中由勾股定理可求得．
【详解】联立，：，解得，
当时，点M既是AB的中点，又是DE的中点，
所以点M与圆心C重合，即，，
所以圆C的方程为：；
因为M为AB的中点，所以，所以，所以，
取DE的中点F，因为，可得，
因为，，
由，
因为，
所以，
即有，
解得，
可得，
即有圆C的方程为
或．
【点睛】本题考查求圆的标准方程，关键是求出圆心坐标．本题中注意圆的弦的性质，一是弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直，二是弦长可利用勾股定理求解，即求出圆心到弦所在直线距离，则弦长为（是圆半径）．
18.某亲子公园拟建议广告牌，将边长为米的正方形ABCD和边长为1米的正方形AEFG
在A点处焊接，AM、AN、GM、DN均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM、DN垂直于地面于M点和N点，且GM、DN、MN长度相等不计焊接点大小
若时，求焊接点A离地面距离；
若记，求加强钢管AN最长为多少？
【答案】（1）米；（2）加强钢管AN最长为3米．
【解析】
【分析】
（1），可用勾股定理求得，再由直角三角形面积公式求得斜边上的高，从而可得A点到地面的距离；
（2）在中用余弦定理表示出，设，由正弦定理用表示出，在中用余弦定理表示出，并代入，最终把表示为的函数，最后由三角函数的性质可得最值．
【详解】当时，
求焊接点A离GD的距离，
所以：点A离地面的距离为米；
在中，由于，
利用余弦定理：，
所以：，
设，
在中，利用余弦定理：，
所以：，
在中，由正弦定理得：，
所以：，
代入式得，其中；
所以当时，最大，最大值为；
所以加强钢管AN最长为3米．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，解题关键是建立函数关系式，为此必须确定选用哪个公式计算，正弦定理与余弦定理是解题的关键与基础．
19.已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，
短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ 的中点
求椭圆C的标准方程；
直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：
为定值；
若，求直线AR的斜率的取值范围．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）由准线方程得，由等边三角形得，联立解得，结合求得，得椭圆标准方程；
（2）设直线PB方程为，与椭圆方程联立可解得交点P的坐标，同时求得点M，F的坐标，计算即得；
（3）由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程求得P点坐标，把换成，可得Q点坐标，计算直线斜率表示为的函数，
可结合换元法和基本不等式求得此函数的函数值的范围．
【详解】椭圆的一条准线方程是，可得，
短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，
解得，，，
即有椭圆方程为；
证明：由，，
设直线PB的方程为，
联立椭圆方程，
可得，
解得或，
即有，
，，
则，
即为定值；
由，可得，即，
设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，
解得或，
即有，
将t换为可得，
则R的坐标为，
即有直线AR的斜率
，
可令，则，
则，
当时，，
当且仅当时上式取得等号，
同样当时，，
时，，，
则AR的斜率范围为
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定值问题，解题方法是按要求进行计算，即设出直线方程，求出交点坐标，计算直线斜率等等，计算过程中定值随之而定．在求取值范围时，一般要建立一个函数关系式，利用函数的知识或不等式的性质求得取值范围，这里函数中自变量可以是直线的斜率，也可能是图中的角等等．
20.已知函数．
若，，试证明：当时，；
若对任意，均有两个极值点，
试求b应满足的条件；
当时，证明：．
【答案】（1）见解析（2），.见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导数，求出其最小值，由最小值大于0，从而证明出结论．
（2）首先＝0有两个不等的实根，再用导数研究的性质，求导，利用
的正负确定的单调性及最小值点，在时，计算出，由零点存在定理可得存在两个零点，即有两个极值点；当时，可取，此时没有零点极值点；
由知，，为的两个实数根，由于，可判断出两零点一正一负，即
，且在递减，为证题中不等式，先做一些准备工作，下面先证，只需证明，注意到得，从而
，下面再用导数的知识证明；由函数单调性得，问题转化为只需证明，
即证明，这再用导数加以证明．
【详解】证明：，，，
，，
令，解得．
可得：时，函数取得极小值即最小值，
，
函数在当时单调递增，．
当时，．
，．
设，则，
，，，，
故在递减，在递增，
故至多有2个零点；
当时，，，
，且，又，
由可知，
是R上的连续函数，
在，上各有1个零点，，
此时，，为函数的2个不同的极值点，
故符合题意；
当时，取，则在递减，在递增，故，
故时，，
故函数递增，没有极值点，不合题意，
综上，当时，对任意，均有2个极值点；
由知，，为的两个实数根，
，，在递减，
下面先证，只需证明，
得，
，
设，，
则，
故在递减，
，，，
又，时，，
在递减，，
问题转化为只需证明，
即证明，
设函数，，
则，
设，则，
在递增，
，即，
在递增，，
当时，，
则，
，
．
【点睛】本题考查用导数研究函数的性质：单调性与极值，证明函数不等式．用导数证明不等式，一般是用导数研究函数的单调性，得出函数的最值，从而证得不等式成立．这属于难题，解题时常常用到问题的转化，把不等式的问题转化为求函数的最值．。