11.1(2)直线的方程(点法向式方程)

11.1（2）直线的方程（点法向式方程）
一、教学内容分析
本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式. 本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.
二、教学目标设计
在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.
三、教学重点与难点
直线的点法向式方程以及一般式方程；
理解直线点法向式方程以及一般式方程的推导.
四、教学过程
一、复习上一堂课的教学内容
二、讲授新课 点法向式方程
1、概念引入
从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的．
2、概念形成
直线的点法向式方程
在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.
直线的点法向式方程的推导
设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅n PQ ，即：00()()0
a x x
b y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，
根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.
我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.
3、概念深化 从上面的推导看，法向量n 是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.
若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -.
4、例题解析
例1 已知点()()4321
，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→
--AB 是直线l 的法向量，
所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x
[说明]关键在于找点和法向量！
例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求
（1）BC 边所在直线方程；
（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.
解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量BC ＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为
5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为BC ＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，
所以高AD 所在直线的点法向式方程为
0)6(5)1(7=-+-y x
例3已知在∆ABC 中，∠BAC 为直角，点B 、C 的坐标分别是 (4,2)、(2,8)，且d =(3,2)与AC 边平行。

求∆ABC 的两条直角边所在的直线方程.
三、巩固练习
课本第8页 练习11.1（2）
课本第9页 练习11.1（3）
1、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求（1）直线AD 与直线CD 的方程；（2）D 点坐标.
2、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程.
四、课堂小结
１.直线的点法向式方程的推导；
２．直线的点方向式方程、点法向式方程互相之间的联系.
３、确定直线方程的几个要素
五、课后作业
习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4 习题11.1 A 组8
补充作业：
1、直线320x y -+=的单位法向量是___________.
2、直线l 的方程为2370x y -+=，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________.
3、过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.
4、若直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值.
5、已知点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：
（1）过点P 且与l 平行的直线方程；（2）过点P 且与l 垂直的直线方程.
6、正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.
7、已知,,A B C 的坐标分别为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，问过这三点的直线l 是否存在？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.
六、教学设计说明
在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程. 通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.。