基本不等式及实际应用

最小值 2 P .
（2）如果和x+y是定值S，那么当 x=y时积xy有最 大值
1 2 S 4
. 即“一正、二定、三相等”,这三
个条件缺一不可.
思维活动：
4 1函数y x 4 x 0的值域 ______
（2）已知 x 0, y 0,且 x 5 y 20, 求 2
情境二：运输
兴 趣 是 最 好 的 老 师
进货结束后装车运回。所购大米需装6辆 卡车，途径一座长为100米的大桥，假设 卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出 于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小 v 于 5 m（卡车长忽略不计），则全部卡车 安全过桥最快需多少时间？
2
解：设卡车全部安全过桥共需t 秒,
该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每
天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原
价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设矩形的长、宽各为 x , ym，由题意可得
2 x y 36且 x 0, y 0 。矩形的面积为 xym
答：当底面的长与宽均 为4米时，用纸最少
例4、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养
路消化酶，汽油消化酶约为0.9万元，年维修消化酶第一年是0.2万元，以 后逐年递增0.2万元，则这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？ 解：设使用 年平均费用最少，汽车的平均费用为 y万元。则： 0.2 0.2 x x 万元。 汽车使用 年总的维修费用是
例3 某工厂要建造长方形无盖贮水池，其容积为 4800 m 3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150 元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设底面的长为为x m,宽为y m，水池总造 价为z元根据题意，有
240000 720( x y )
2
由
xy
x y ( x 0, y 0)得 xy 2
81，当且仅当
x y 9 时等号成立。
练习
1：一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18米，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积 是多少？ 变式练习：（1）若墙的长度为15米呢？ （2）若墙的长度为12米呢？
4800 z 150 120 (2 3x 2 3 y ) 3
由容积为4800 m ，可得
3
3 xy 4800
因此 xy 1600
由基本不等式与不等式的性质，可得
z 240000 720( x y )
240000 720 2 xy
即 z 240000 720 2 1600
x
10 xy的最大值___
5 1 (3) y x ( x 2)的最小值 _____ 2 x 1 4 x 2 的最小值_____ （4）求函数 y x x2 x2 2 x 1 0 x 2 的最大值_____ （5）求函数 y x2
例1：用篱笆围城一个面积为100平方米 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是 多少？
为y2，则
1 y2 = (3x2-3x+300)+200×1.8×0.85 x
300 = +3x+303(x≥25). ［10分］ x 300 ∵y2′=- 2 +3, x ∴当x≥25时，y2′>0，即函数y2在［25,+∞）上
是增函数， ∴当x=25时，y2取得最小值为390. 而390<417. ∴该厂可以接受此优惠条件. ［14分］
解 设底面的长与宽分别为a m,b m. a 0, b 0 因为体积 2 等于32 m 3 高为c=2m所以底面积为16 m ， 即
ab 16
s 2 ab 2bc 2 ac 32 4( a b )
32 42 ab 64
所以，用纸面积是
当且仅当 a b 4时取等号
［2分］
300 +3x+357≥417. ［4分］ x 300 当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小值. x 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的
=
总费用最少.
［6分］
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一
次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天 （x≥25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用
基本不等式的应用
ab ab (a, b 0) 2
§5.4 基本不等式及其应用
基础知识
要点梳理
1.算术平均数与几何平均数
ab 对于正数a,b，我们把 2 称为a,b的算术平均
自主学习
数， ab称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： ab a b 2 （1）基本不等式成立的条件： a≥0,b≥0 . （2）等号成立的条件：当且仅当 a=b 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 不小于其 几何平均数.
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2) a b b a 2 (3) 2(a, b同号). a b
(4)ab (
2 2
ab (a, b 0)
ab 2 a b ) (a, b R). 2 2 4.利用基本不等式求最值
设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 x=y时，和x+y有
解 题 是 Leabharlann 学 的 关 键v2 第六辆汽车与第一辆汽车相距至少为5 米. 5 2
v 100 5 5 100 v 2 100 =20(秒) t v v 100 v 即v=10米/秒，每两辆汽车都相距 当且仅当 v
此时t=20（秒）。 20 米时，上式取等号，
答：每两辆车均相距 20 米，且速度为10米/秒， 所用时间最少为20秒。
件？请说明理由.
解题示范
解 （1）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，
平均每天支付的总费用为y1.
∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03=6(元), ∴x天饲料的保管与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+„+6=3x2-3x(元).
1 从而有y1= (3x2-3x+300)+200×1.8 x
得 2 x y 40 ，当且仅当 x y 10
时取等号，故长、宽均为10m 时，所用的篱笆最短。
解决实际问题的步骤：
（1）正确理解题意，设变量时，一般可 把欲求最大（小）值的变量视为函数； （2）建立有关函数关系（目标函数）， 把实际问题转化为求目标函数的最大 （小）值问题； （3）在允许范围内，求出最大（小）值； （4）根据实际问题写出答案。
课堂小结
来 而 不 往 ， 非 礼 也
（1）应用基本不等式求最值。 （2）应用基本不等式解决实际应用题。
实际问题 回 归
提炼
数学模型
数学 知识
数学结论
分析 总结
模型的解
设矩形的长为x m,宽为y m菜园的面积为s m
x 2 y 30
2
则s xy
由基本不等式的性质，可得
1 s x2y 2
1 x 2 y 2 1 900 225 ( ) 2 4 2 2 2
当x 2 y , 即
15 x 15, y 时，菜园面积最大， 2 225 2 最大面积是 m 2
2
x x
且
y
10 0.9 x
0.2 0.2 x x 2 x
y 1
整理得：
10 x 10 x 1 2 3 x 10 x 10
10 x 当且仅当 ，即 x 10
x
＝10时， ymin ＝3。
答：汽车使用10年平均费用最少。
【例5】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知
例1：用篱笆围城一个面积为100平方米 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是 多少？
解：（1）设矩形的长、宽各为 x , ym ，由题意可得 xy 100 且 x 0, y 0。则篱笆的长可表示为 2 x y m ，根据
xy x y ( x 0, y 0) 2
z 297600
当x=y,即x=y=40时，等号成立 所以，将水池的底面设计成边长为40m的正 方形时总造价最低，最低总造价是297600
练习2 做一个体积为32 m 3，高为2m的长方体纸 盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
练习2 做一个体积为32 m 3 ，高为2m的长方体纸 盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？