湖北省宜昌市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题

-1 -
湖北省宜昌帀2019-2020学年咼二数学上学期期末考试试题
（全卷满分：150分
考试用时：120分）
一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1 •直线
3x 2y 6
在
y
轴上的截距为b ，则b （）
2 2
4•若原点在圆（X 3） （y 4） m
的外部，则实数m 的取值范围是（）
A . n >25
B .
m>5 C . 0<m <25 D
.0<m <5
5.数列 {a n } 满足 a 1
1 a n 1
2a n 1(n
*
N )则 a 2019
( )
A .
1
B
.2019
C
.2020
D
.—1
6.直线 3X 4y 2
c
2
与圆
X
y
2
2X
的位置关系是 ()
A . 相离
B .相切
C. 相交
D .无法判断
7.等差数列
{a n }
中，
a
4
a
8
4
3)0
6
，则公差
d
（
)
A . 1
B
.2
C
.—1
D
.—2
则
1 PQ 1
=(
A . 8
A . 3
B
.—2
2
2
X y 2
1(
m
0)
2.已知椭圆 25 m
的左焦点为 A . 3
B
.4
3.等比数列 {a n } 的前
n 项和 S n 3 a ，则 A . 3
B
.1
C . 2 D
• —
3
F 1
(
3,0)，则 m (
)
C
. 9
D
.16
a 的值为（
）
C
. — 3
D
.—1
&过抛物线 y 4x
焦点的直线
交抛物线于 P （X 1,y 1）, Q （X 2,y 2）两点，若 X 2
-2 -
.2
D
. 4
的最大值n 为（
D. 19
14 .已知数列
｛an ｝
的通项公式a n =
3n
+ 1
（n
为偶数）
，则
a3 a6
2n —2（n 为偶数）
15 .《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为 ___________ 升.
9. 数列
｛a
n
｝的前n 项和为
Sn
a n
，若
n(n 1)，则
S
5
(
5 A . 1
B . 6 C
1
30
2 2
10.已知抛物线y
ax （a
0）
的准线与圆X
/
6x 7 0
相切，则a 的值为（
A .
11.已知数列
｛an ｝
为等差数列,
a
11 a
10
，且它们的前 n 项和
Sn
有最小值，则使得
Sn 0
A . 22
21
.20
12 .已知双曲线 2
x
C 1: a
2
y
b 2
1(a 0,b 0）的离心率为
2
2,若抛物线 C 2 :
x 2
P
y
( P
0)
的焦点到双曲线 C 1的渐近线的距离为 2, 则抛物线C 2的方程是（
）
16y B. X
2
8y 2
x
c.
83 v y
X
2
16.3
y
二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共 20分，把答案填在题中横线上）
13 .已知直线
l1：3x 4y 2
，直线
12 :2x y
2 0
,则两条直线的交点坐标为
16•已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 m时，量得水面宽8 m,当水面升高1 m后，水面宽
度是___ m．
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)
已知定点A( 1,3) ,B(4,2) ,以A、B为直径的端点作圆.
(1)求圆的方程；
(2)已知该圆与X轴有交点P，求交点P的坐标.
18. ( 本小题满分12分)
(1) 已知直线l
1
:2X 7y40与直线l2 :mX 3y 20平行,求m的值；
( 2
) 已知直线l
1:(a 2)X(1a)y 1 0与直线l2:(a1)X (2a
3)y 2 0
互相垂直,
求a的值.
19. (本小题满分12分)
已知｛an｝
是首项为1的等比数列，数列
｛bn｝
满足
bl 2 ,b2 5 ,且a n b n 1 a n b n a n 1
- 3 -
(1) 求数列｛an｝
的通项公式；
(2) 求数列｛bn｝
的前n项和.
20. (本小题满分12分)
B两点.
1 e
—
(1)若椭圆的离心率2，求椭圆的标准方程;
(2)若直线I的斜率为1, AF2、AB、BF2成等差数列，求b的值.
21. (本小题满分12分)
已知数列｛an｝
和
｛bn｝
中，数列
｛an｝
的前n项和为
Sn
.若点(
n，Sn)
在函数
y x
的
图象上，点(n,bn)
在函数
y
，的图象上.
(1)求数列｛an｝
的通项公式；
(2)求数列｛anbn｝
的前n项和「.
设F1
、F2是椭圆E :
x
2
b
21(0 b 1)
的左、右焦点，过
F1
的直线I与E相交于
4x
-4 -
22. （本小题满分12分）
2
已知抛物线y 2p
x（P °）的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4,
MF 5
（1）求抛物线的方程；
（2）设I为过点（4，
°）的任意一条直线，若I交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆
必过原点.
-5 -
-6 -
•••所求圆的方程为:
(x
5 2 (y 2)2
13
2 2 2
x y 3x 5y 2
0)
3、2
5
13
(x -) (y
）2 —
(2)方法1.
2
2
2
3 2 5 2 13
3 2 1
(x ) () —
(x )
—
.令 y 0，则
2 2
2 ，化简得：
2
4
3 1
3 1
x — — x —
—
2 2 或 2 2
x 2或x 1
交占
P 的坐标为(1,0 ) , ( 2,0 )
-——10 分
2 2
方法 2. x y 3x 5y 2
0 2
令 y 0
，则 x 3x 2
•
x 2
或
x 1
交点P 的坐标为(1,0 ) , ( 2,0 )
10
分
18.［解析］(1)由 l 1
: 2x + 7y + 4 = 0. l 2： mH 3y — 2 = 0.
2
7
4 6
m
•••I 1//I 2, m 3
2 解得 7
(2)方法 1 :
l 1? H2,
(a + 2)( a — 1) + (1 — a )(2 a + 3) = 0,解得 a = ± 1.
数学参考答案
4小题，每小题5分，共20 分）
（3,5）
17.［解析］（1）由题意，圆心 C 为AB 的中点2 2
,
圆的直径为AB 趴
1
4）2
（
3 2）2
岳
AB V26 r -------- --------
.••圆的半径 2 2
13. (-2,2 )
14. 20 15. 3
16. 4^2
三、解答题（本大题共 6小题，共70 分）
（或者写为一般方
程:
5 分
-7 -
a 2 a 〔
b 2 a ［b 1 3a 〔
分
•••
{an}
是首项为1,公比为
3的等比数列
n 1
n 1
即: a n
1 3 3
.
分
b
n 1
b
n
a
n 1
3
(2)由已知得：
a n
分
•
{bn}
是首项为2,公差为 3的等差数列
即：b n 2 3(n 1) 3n
1
分
n(b 1 b n )
n(2
S
n
3n 1) 3n 2
2
2
2
-12 分
.1 b 2
e
20. ［解析］(1)求椭圆定义知：
1
10
1
以 3
b -
2，解得：
4.
——2 分
将a = ± 1代入方程，均满足题意. 故当a = 1或a =— 1时，直线11? il 2. 分
方法2：由题意，直线l 1? 11 2,
0 若 1 — a = 0，即a = 1时，直线I 1 ： 3x — 1 = 0与直线12： 5y + 2= 0,显然垂直.
3
0若2a + 3= 0，即a = — 时，直线I 仁x + 5y — 2 = 0与直线12: 5x — 4= 0不垂直.
a + 2
C?若 1 — a ?询，且2a + 3?询，则直线丨1,丨2的斜率k 1,
k 2都存在，幻=—
,k 2= — 1 — a
a — 1
2a + 3，
a + 2 a — 1
当 11? il 2时，k 1 • k 2=— 1,即(一 ——)• ( — 2 + 3) =— 1,所以 a =— 1.
I — a 2a + 3 综上可知，当a = 1或a =— 1时，直线11? il 2. ------12
分
19.［解析］(1)把n 1代入已知等式得：
印① aQ
a
2,
12
-8 -
••• 所求椭 圆 的 标 准
2
X
2
刍1
4
.
方
程 为 ：
4 分
(2)由椭圆定义知 | AF 2| + | AB + | BF 2| = 4 ,
又 2| AB = | AFF + | BF 2|
f 4 ，得 I AB =-
6 分
设I 的方程式为y = x + c ,其中c =
1- b 2,
y = x + c
设A (x i , y i )、B (x i , y i )，贝U A B 两点坐标满足方程组
2 y
2
X
+芦1
9 分
因为直线 AB 的斜率为1 ,所以| AB = 2 | X 2 — X 1| ,即£ =
2 | X 2 — X 1|.
10
分
8b
4
8 则9 = “ 、2
(X 1 + X 2)—
4x 1X 2
4(1 — b 2) 4(1 — 2b 2) —(1 + b 2)2 '
1 + b
2 —
1 b
，解得b = +
——12 分
21 . [
解析
](1)
由 已 知 得 S
2 ,
= — n + 4n ,
——1
分
当
n > 2
时 ,
a n = S n — S n
-
1
= — 2n + 5 ,
——3
分
又当n = 1时，a 1= S = 3，符合上式.
--- 4
分
a n
=
— 2n +
5
——5 分
(2) 由 已 知
得 b n
=2n , a n b n =
(
— 2n + 5) • 2n
——6 分
1 2 3 n
T n = 3X 2 + 1 X 2 + ( —1) X 2 '•+ ( — 2n + 5) x 2 ,
2T n = 3X 22+ 1 X 23+…+ ( — 2n + 7) x 2n + ( — 2n + 5) x 2n +
1. 两式相减得 T^= — 6 + (2 3+ 24+…+ 2n +
1) + ( — 2n + 5) X 2n +
1
——9
消去 y 化简得：(1 + b 2
)x 2
+ 2cx + 1 — 2b 2
= 0.
X 1 + X 2 =
—2c
1 + b 2,
X 1X 2 = 1 —
2b 2
1 + b
2 .
-9 -
2(1
二)+ ( — 2n + 5) x 2
n+1
— 6
=(7 — 2n ) • 2n+1— 14.
2 2 2 • y 1y 2= k (X 1
— 4)( X 2— 4) = k [ X 1X 2— 4(X 1 + X 2) + 16] = k [16 — 4X 2
k
12
解析］(1)
p
由题意 | MF = 4 + 2 = 5 ,得 p = 2 ,
2
故抛物线方程为y = 4x .
:由题意 的斜率一定不 0,故可设其方程为
x my
my
设 A (x i , y i )、B (X 2, y 2),
4x
4my 16
y 1 y 2
4m, yy
16
X 1X 2 (my i 4)(my 2
4) 2
m y°2
4m(y i
y 2) 16
16m
2
16m 2
16 16 —
10
11
X 1X 2
0.
O A
OB =
X 1X 2
OA
OB ,
AB
占
八
12
方法2:当直线I 的斜率不存在时,
其方程为
x = 4.
x = 4
2
y = 4x
得 y = ± 4.
••• |AB
|AB 2
AB 为
占 八
当直线I 的斜率存在时, 设其方程为 y = k (x — 4)( k ? D).
设 A (X 1, y = k ( x —4)
y1)、B (X2, y2)，由 y 2= 4X
2 2
2
2
，得 kx — (4 + 8k )x + 16k = 0, X 1
X 2
4+ 8k 2
X 1X 2
16.
2
4+ 8k
+ 16
-10 -
2
= k (32
2
16-32k
) = -
16
k 2
-10 分
... X 1X 2+ y i y 2= 0.
又 S A-
6B = X 1
X 2
+
y i y 2
=0,
OA 丄
OB ,
•••以
AB
为 直径 的 圆
必过
原
占 八
——11
分
综 上 可 知， 以 AB
为 直 径 的 圆
必 过 原
占 八
——12
分。