(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ，则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝
________. [ 解析]
如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，
BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90° .设正方形边 2 长为 1，则 DO＝BO＝ 2 ，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60° .
(2)线面角 θ
3．平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念：
①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面． 如图，记作：二面角 α － l － β 或二面角 α － AB － β 或二面角 P －
AB－Q.
②二面角的平面角．在二面角 α － l － β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2．直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角． 如图，
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． _______
π 0， . 2 的范围：______.
交线 的直线垂直 _____
于另一个平面.
质疑探究：若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条 直线，则α⊥β吗？ 提示：不一定，若这无数条直线都平行，则得不到 α 内的
这条直线垂直于β，从而得 是三条不同的直线， α ， β 是两个不同的平
面，则a⊥b的一个充分条件是( A．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b∥α [解析] ) B．α⊥β，a⊂α，b⊂β D．a⊥α，b⊥α
PAF ，所以 CD∥ 平面 PAF 成立； B 中，因为 ABCDEF 为正六边 形，所以 DF⊥AF. 又因为 PA⊥ 平面 ABCDEF ，所以 PA⊥DF ， 又 因 为 PA∩AF ＝ A ， 所 以 DF⊥ 平 面 PAF 成 立 ； C 中 ， 因 为
CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；
BC的位置关系是( )
图1 A．相交且垂直
图2 B．相交但不垂直
C．异面且垂直
D．异面但不垂直
[解析]
在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线
AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成 异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与
AD 垂 直 ， 即 AD⊥BD ， AD⊥CD ， 故 AD⊥ 平 面 BCD ， 所 以
O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA
和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
[0，π] ③二面角的范围是___________ ． (2)平面与平面的垂直 定义．一般地，两个平面相交， 直二面角 ， 如果它们所成的二面角是___________ 就说这两个平面互相垂直．
而D中CF与AD不垂直． [答案] D
4．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条 不同的直线，给出四个论断：
① m⊥n ；② α⊥β ；③ n⊥β ；④ m⊥α ，以其中三个论断作
为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题________． [答案] 可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
AD⊥BC. [答案] C
3．(2015·通化模拟)已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面 是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF )
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
[ 解析 ]
A 中，因为 CD∥AF ， AF⊂ 平面 PAF ， CD⊄ 平面
第七章
立体几何与空间向量
第5节 直线、平面垂直的判 定与性质
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理
解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形 垂直关系的简单命题．
[要点梳理]
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义： 任意 一条直线都垂直，就说直线l与平 直线l与平面α内的_____ 面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
判 定 定 理 如果一条直线与 平面内的 两条相交直线都 _____________ 垂直，那么这条 直线与这个平面 垂直. 如果两条直线垂 直于同一个平 面，那么这两条 直线平行.
图形语言
符号语言
a ⊂α _____ _____ b⊂α ________ a∩b＝O ⇒l⊥α l⊥a _____ l⊥b _____
[答案] 60°
[典例透析]
考向一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 (2015·成都市质检)如图，在直三棱 柱 ( 侧棱与底面垂直的三棱柱 )ABC － A1B1C1 中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，点D 是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平 面A1B1C1的交线．
(1)求证：EF⊥A1C； 3 14 (2)当直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 14 时， 求三 棱锥 D－EFC1 的体积．
对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以
a⊥c ，故 a⊥b ； A ， B 选项中，直线 a ， b 可能是平行直线，也 可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. [答案] C
2．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得
到空间四边形ABCD( 如图2)，则在空间四边形ABCD中，AD与