南充市高三第一次高考适应性考试数学试卷(文)

南充市高第一次高考适应性考试
数学理科答案
一、选择题（50分）
题 号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A
D C
A
B
C
D
A
D
C
二、填空题（25分）
11. π+8 ； 12. 2 ； 13. 2
3 ； 14. 22 ； 15. 3018 说明：15题更正如下：
三、解答题(75分） 16.（本题满分12分） 解：（Ⅰ）分所以
因为20cos cos sin sin 2
3
, =+-⊥C B C B n m
（Ⅱ）由余弦定理得若,3,1c b a ==
17.（本题满分12分）
解：（Ⅰ） ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 …………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：P = 0.4
①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对
才获得一等奖，则有12
30.40.60.40.1728C ⨯⨯⨯= ……………………………6分
②因为只要答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4.
即X = 2、3、4
2(2)0.40.16,P X ===
1
321
2
3
(3)0.40.60.40.60.408,
(4)0.40.60.432.
P X C P X C ==⨯⨯+===⨯=
分布列为：
20.1630.40840.432 3.272.EX =⨯+⨯+⨯= ……………………………12分
18.（本题满分13分）
解：(Ⅰ证明：因为DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ⊥AC .
因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，
从而A C ⊥平面BDE . ……………………………4分
(Ⅱ)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示． 因为BE 与平面ABCD 所成角为60°， 即∠DBE ＝60°， 所以ED
DB
＝ 3.
因为正方形ABCD 的边长为3，所以BD ＝32， 所以DE ＝36，AF ＝ 6.
则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0，3,0)， 所以BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)， 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF ＝0，n ·EF ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0，
令z ＝6，则n ＝(4,2，6)．
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，CA ＝(3，－3,0)， 所以cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA |n ||CA |＝626×32＝13
13.
因为二面角为锐角，所以二面角F －BE －D 的余弦值为13
13
. …………………9分 (Ⅲ)点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)． 则AM ＝(t －3，t,0)， 因为AM ∥平面BEF ， 所以AM ·n ＝0，
即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.
此时，点M 坐标为(2,2,0)，BM ＝1
3BD ，符合题意． …………………………13分 19.（本题满分12分）
（Ⅱ）因为n a n =，则,2
)
1(+=n n S n )1
11(2)1(21+-=+=n n n n S n ． ………10分 所以
=+++n
S S S 11121 2(2)11
1(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n ． …12分
20.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为2
22
21,(0)y x a b a b +=>>,由已知得1b =.
设右焦点为(,0)c ，由题意得223, 2.2c c +=∴= ……………………………2分
2223a b c ∴=+=.
∴椭圆的方程为221
3x y +=. ……………………4分
21.（本题满分14分） 解：(Ⅰ)
分
时，当时当时，当分
得令4.1
1ln 1)(10)(,),1
(,0)()1,0(2.1
,0)(),0(1ln )(min ''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-===∴>+∞∈<∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==>+=e
e e x
f e x x f e
x x f e x e
x x f x x x f (Ⅱ)
分上单调递减在上单调递增在时当上是增函数在时当综上分解得得令分解得得令时当分上是增函数；在恒有时当分
9.),21
(,)21
,0()(,0;),0()(,0:8.21
,0120)(7;21
0,012,0)(,0)2(6),0()(,0)(,0)1(5).0(1
212)().
0(1ln )(2'2''2'
2 +∞-
-<+∞≥-><+<-
<<>+><+∞>≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>+=+=>++=a
a
x F a x F a a
x ax x F a
x ax x F a x F x F a x x
ax x ax x F x x ax x F
（Ⅲ）
分
故等价于证知由则只要证令分等价于即证要证证：11)(*)1(ln 1ln ,
0ln 1,ln 11,10,ln
1
1,ln ln ,1.
ln ln )()('1212121
2
21
212121121
2121'2 ><-<>><-<=
<-<<--<<<
--=--=t t t t t t t t t
t x x t x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x f x f k
分
成立，得证知（由即时当上是增函数，在故则设分
即时当上是增函数。

在故则设14.*))2)(1().
1(ln 1,0)1()1(ln )(,1),1[)(),1(0ln )(),
1)(1(ln )()2(12).1(ln 1,0)1(ln 1)(,1),1[)().
1(01
1)(),
1(ln 1)()1('' ><-=>--=>∴+∞≥≥=≥--=>>-=>--=>∴+∞≥≥-=≥--=t t t t h t t t t h t t h t t t h t t t t t h t t t g t t t g t t g t t
t g t t t t g。