江西省南昌二中2012届高三数学模拟测试(二)试题 文 新人教A版

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 江西省南昌二中2012届高三数学模拟测试（二）试题 文 新人教A 版
参考公式：
样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数
∑∑∑===----=
n
i i
n i i
n
i i
i
y y x x y y x x r 1
2
1
2
1
)
()()
)((,其中 n x x x x n +++=
...21,n
y y y y n
+++= (21)
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
（ 其中S 为底面积，h 为高） 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．复数4
)11(i
+的值是（ ） A ．i 4
B ．－i 4
C ．4
D ．－4
2．若非空集合{
}
{}
,161,531≤≤=-≤≤+=x x Y a x a x X 则使得Y X X ⋂⊆成立的 所有的a 的集合是（ ）
A.{}70≤≤a a
B.{}73≤≤a a
C. {}
7≤a a D.Φ
3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ).
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
4．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3
1
63=S S ，则126S S 等于
A.310
B.13
C.18
D.19
5．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S ＝1＋13＋15＋17＋1
9
”．发现同学
们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是 ( )
6.已知ABC ∆的三顶点坐标为(3,0)A ,(0,4)B ,(0,0)C ,D 点的坐标为(2,0),向ABC ∆内部 投一点P ,那么点P 落在ABD
∆内的概率为( ). A.13
B.12
C.14
D.1
6
7．定义在R 的函数||)1ln(2
x x y ++=，满足)1()12(+-x f x f ＞，则x 满足的关系是( ) A ．)0,(),2(-∞+∞ B ．)1,(),2(-∞+∞ C ．),3()1,(+∞-∞ D ．)1,(),2(--∞+∞
8．若函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正 周期为1，则它的图像的一个对称中
心为（ ） A ．(,0)8
π
-
B ．(
,0)8
π
C ．（0，0）
D ．(,0)4
π
-
9．抛物线y 2
＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′|
|AB |的最大值为
A.
2
2
B.
32
C.1
D. 3
10.已知函数2
1,0
()log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确
的是
A.当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点
B.当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
C.无论a 为何值，均有2个零点
D.无论a 为何值，均有4个零点
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二.填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分） 11．读下列程序，程序输出的函数y = ． INPUT x IF 0x < THEN 1y x =-+ ELSE, IF 0x = THEN 0y =
ELSE 1y x =+ END IF
, END IF,PRINT y END
12．已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x b a x a x x f ⋅++=23||2
1
31)(在R 上有极值，则a
与b 的夹角范围为_ ___
13. 实数y x ,满足条件2,
4,20,x x y x y c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-++≥⎩
目标函数3z x y =+的最小值为5，则该目标函数y x z +=3的
最大值为
14．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈，满足
)()()(a bf b af b a f +=⋅，)(2
)2(),()2(,2)2(*
*∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n ， 考查下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b
为等差数列。

其中正确的是_________ . 15．若对任意0x ＞，
231
x
a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ．
三．解答题：（本题共6大题，共75分） 16．（本小题满分12分） 已知在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知向量(sin sin ,sin sin ),m A C B A =+-
(sin sin ,sin )n A C B =-，且m n ⊥
（1）求角C 的大小；
（2）若2
2
2
2
c a b =+，试求sin()A B -的值
17.（本小题满分12分）
中国•江西第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在南昌举行，为了搞好接待工作，组委会准备在南昌理工学院和江西师范大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）
若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出江西师范大学志愿者身高的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
18．（本小题满分12分）]
如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，AC 与BD 交于点E ，B C 1与1CB 交于点F ．（1）求证：C A 1⊥BD ；
（2）求点E 到平面11A B C 的距离；
19. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 是首项为1a a =,公差为2的等差数列,数列{}n b 满足2n n n b a na -=.
(1)当2218a -≤≤-时,不等式5n
b b ≥能否对于一切*n N ∈恒成立？请说明理由.
(2)数列{}n c 满足112
()(*)n n n c c n N +-=∈,其中11c =,()n n f n b c =+,当20a =-时,求()f n 的最小值. 20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆
外的一个动点，满足|→
F 1Q |＝2a ．点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，
点M 在线段
F 2Q 上，且满足→PM ·→MF 2＝0，|→
MF 2|≠0．
江西理工学院 江西师范大学 9 9 6 5 0 7 2 1 15 16 17 18 19 8 9 1 2 5 8 9 3 4 6 0 1
A
D
C
B
1
B 1
D 1
C 1
A E
F
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若直线
OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，求△OAB 面积的取 值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需
写出类似的命题，不必说明理由）
21. (本小题满分14分) 已知函数2
()(,)mx x n
f x m n R +=
∈在1x =处取得极值2.
⑴求()f x 的解析式；
⑵设A 是曲线()y f x =上除原点O 外的任意一点,过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ,试
问：是否存在这样的点A ,使得曲线在点B 处的切线与OA 平行？若存在,求出点A 的坐标；若不存在,说明理由；
⑶设函数2()2g x x ax a =-+,若对于任意1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,求实数a 的取
值范围.
南昌二中高三数学（文）综合训练二答案
一.选择题DBDAC,AAAAA 二.填空题
11． ⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<+-=)
0(1)0(0
)
0(1x x x x x y 12．],3(ππ 13. 10 14. ①③④ 15.
1
a 5≥
三．解答题：（本题共6大题，共75分） 16．（本小题满分12分）
17.（本小题满分12分）
∵22444
()()(
)a a f x x -=+-的图象的对称轴为4
a x =-,2218a -≤≤-,∴9112
4
2
a ≤-≤
,又*x N ∈,
∴当4
5a
x =-=,即20a =-时,()f x 取最小值.
故当2218a -≤≤-时,不等式5n b b ≥对一切*n N ∈恒成立. ……6分
(2)∵11
2()n n n c c +-=,
∴22112132111
11
2
2
2
2
()()()1()()()n n n n n c c c c c c c c ---=+-+-+
+-=+++
++
112
2()n -=-.当20a =-时,2222
2
1011n a a b n n n n -=++
=--,211
2
()109()n n n f n b c n n -=+=---,
则22112
2
(1)(1)10(1)9()818()n n f n n n n n +=+-+--=---,1
2
(1)()2()9n f n f n n +-=+-.
∴当5n ≥时,(1)()0f n f n +->,即(5)(6)()f f f n <<
<<；当14n ≤≤时,
12
(1)()2()90n f n f n n +-=+-<,即(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f >>>>.
故()f n 的最小值为54516
(5)f =-
. ……12分
20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设M （x ，y ）为轨迹C 上的任意一点． 当|→
PM |＝0时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹C 上． 当|→PM |≠0且|→MF 2|≠0时，由→PM ·→MF 2＝0，得→PM ⊥→MF 2． 又|→PQ |＝|→
PF 2|（如图），所以M 为线段F 2Q 的中点．
在△QF 1F 2中，|→OM |＝12
|→F 1Q |＝a ，所以有x 2＋y 2＝a 2
．
综上所述，点M 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2＝a 2
．……………………（4分） （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，
故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m （m ≠0），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝a 2
．消去y 并整理，得
(1＋k 2
)x 2
＋2kmx ＋m 2
－a 2
＝0，
则△＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－a 2)＝4(k 2a 2＋a 2－m 2
)＞0，
且x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－a 2
1＋k
2．
∴y 1 y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
． ∵直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列， ∴y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 x 1x 2
＝k 2，
即－2k 2m 2
1＋k 2＋m 2＝0，又m ≠0， ∴k 2
＝1，即k ＝±1．
设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝
|m |
k 2＋1
，
∴S △OAB ＝12|AB |d ＝121＋k 2
|x 1－x 2 |·|m |k 2＋1
＝12|x 1－x 2 ||m |＝12
m 2(2a 2－m 2
)． 由直线OA ，OB 的斜率存在，且△＞0，得0＜m 2＜2a 2且m 2≠a 2
，
∴0＜m 2(2a 2－m 2
)＜m 2＋(2a 2－m 2)2
＝a 2．
故△OAB 面积的取值范围为（0，12
a 2
）．…………………………（10分）
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O 的直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，若直线
OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，则△OAB 面积的取值范围为（0，
1
2
ab ）．”……………………………………………………………（13分）
⑶解法1：2
2
4(1)(1)(1)
()x x x f x -+-+'=
,令()0f x '=,得1x =-或1x =.
当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表：
x (,1)-∞- 1-
(1,1)-
1 (1,)+∞ ()f x ' - 0
+
-
()f x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
∴()f x 在1x =-处取得极小值(1)2f -=-,在1x =处取得极大值(1)2f =. 又0x >时,()0f x >,∴()f x 的最小值为(1)2f -=-. …………10分。