福建省质检福建省届高三普通高中毕业班质检数学文试题Word版含

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2018 年福建省一般高中毕业班质量检查
文科数学
一．选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要
求的．I4IeOCFw4D
．已知全集 U R，会合A x | 1 x 3 ， B 0,2,4,6 ，则 A B 等于
1
A．0,2 B．1,0,2 C ．x |0 x 2 D ． x | 1 x 2
2．履行如下图的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y
的值为
A．4 B．5C．8D．10
3．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不行能是
Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．三棱柱Ｄ．四棱柱
4．函数
A．f x 2x x2 的定义域是
x 1
0,2 B ．0,2C ．0,1 1,2D ．0,1 1,2
5．“a1”是“方程x2y2 2 x 2y a0 表示圆”的
Ａ．充分而不用要条件Ｂ．必需而不充分条件
Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不用要条件
6．向圆内随机扔掷一点，此点落在该圆的内接正n n 3,n N 边形内的概率为P n，以下论断正确的选项
是
A ．跟着n的增大，P n减小B．跟着n的增大，P n增大
C．跟着的增大，P先增大后减小．跟着 n 的增大， P 先减n n D n
小后增大
1 / 14
7．已知0 ，，函数 f ( x) sin( x ) 的部分图象如图
2
所示．为了获得函数 g( x) sin x 的图象，只需将 f x 的图象
A．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长
4 8
度
C．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度
4 8
8．已知f ( x)是定义在R上的奇函数，且在[ 0, )单一递加，若 f (lg x) 0 ，则 x 的取值范围是
A．(0,1) B．(1,10) C．(1, ) D．(10, )
9．若直线ax by ab <a 0, b 0 ）过点 1,1 ，则该直线在 x 轴，y轴上的截距之和的最小值为
A． 1 B ．2 C ．4 D ． 8
10．若ABC知足 A ， AB 2 ，则以下三个式子：①AB AC，②BA BC，
2
③ CA CB 中为定值的式子的个数为
A．0 B ．1 C ．2 D ．3
2 2
11．已知双曲线C1 : x2 y2 1 a 0, b 0 的离心率为 2 ，一条渐近线为l ，抛物
a b
线 C2： y24x 的焦点为F，点P为直线l与抛物线 C2异于原点的交点，则PF
A ．2B．3C．4D．5
12．已知g ( x)是函数g( x)的导函数，且 f (x)g (x) ，以下命题中，真命题是A．若f (x)是奇函数，则g( x)必是偶函数B．若 f (x)是偶函数，则
g( x) 必是奇函数
C．若f (x)是周期函数，则g( x)必是周期函数 D ．若f (x)是单一函数，则g( x) 必是单一函数
第Ⅱ卷 <非选择题共 90 分）
二、填空题 : 本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡相应
地点．
13．复数 1 i i __________． 14．已知
sin
1
，则 cos2
．
3
__________
x y 4 0
15．已知 x, y 知足 x y
0 ，则 z x 2y 的最大值是 __________．
y 0
16．在平面直角坐标系 xOy 中，
是一个平面点集，假如存在非零平面向量
a ，关于随意 P
，均有 Q ，使得 OQ OP a ，则称 a 为平面点集
的一个
向量周期．现有以下四个命题： yscqAJo3Va
①若平面点集
存在向量周期 a ，则 ka k Z , k 0 也是 的向量周期；
②若平面点集 形成的平面图形的面积是一个非零常数，则
不存在向量周
期；
③若平面点集
x, y x 0, y 0 ，则 b
1,2 为 的一个向量周期；
④若平面点集
x, y y
x
0 < m 表示不大于 m 的最大整数），则
c
1,1 为 的一个向量周期．
此中真命题是＿＿＿＿ <写出全部真命题的序号）．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．
17．( 本小题满分 12 分>
已知等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 4 2a 3 ， S 2
6 。

<Ⅰ）求数列 a n 的通项公式；
<Ⅱ）若数列 b n 知足： b n a n log 2 a n ，求数列 b n 的前 n 项和 T n ．
如图，三棱柱ABC A1 B1C1的底面是正三角形，AA1底面
ABC ， M 为A1B1的中点．
<Ⅰ）求证：B1C∥平面AMC1；
<Ⅱ）若BB1 5 ，且沿侧棱 BB1睁开三棱柱的侧面，获得
的侧面睁开图的对角线长为13，求三棱锥B1AMC 1的体积．
19．( 本小题满分 12 分>
某地域共有 100 万人，现从中随机抽查800 人，发现有
700 人不抽烟， 100
人抽烟．这 100 位抽烟者年均烟草花费支出状况的频次
散布直方图如图．
<Ⅰ）预计这 100 位抽烟者年均烟草花费支出的均匀
数；
<Ⅱ）据统计，烟草花费税约为烟草花费支出的40%，该地域为居民支付因抽烟致使的疾病治疗等各样花费年均约为18800 万元．若将频次视为概率，当地的烟草花费税能否足以支付当地居民因抽烟致使的疾病治疗等各样费
用？说明原因． yscqAJo3Va
<注：均匀数的预计值等于频次散布直方图中每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点的横坐标所得的积之和．）
20．( 本小题满分 12 分>
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆：x
2
y2 1 a b 0过a 2 b2
点 2,0 ，焦距为2 3．
<Ⅰ）求椭圆的方程；
<Ⅱ）设斜率为 k 的直线 l 过点 C
1,0 且交椭圆
于 A ， B 两点，尝试究椭
圆 上能否存在点 P ，使得四边形 OAPB 为平行四边形 ?若存在，求出点 P 的坐
标；若不存在，请说明原因． yscqAJo3Va
21．( 本小题满分 12 分>
某港湾的平面表示图如下图，
O ， A ， B 分别是海岸线
l 1 ,l 2 上的三个集镇， A 位于 O 的正南方向 6km 处， B 位于 O 的
北偏东 600 方向 10km 处． yscqAJo3Va
<Ⅰ）求集镇 A ， B 间的距离；
<Ⅱ）跟着经济的发展，为缓解集镇
O 的交通压力，拟在
海岸线 l 1, l 2 上分别修筑码头 M , N ，开拓水上航线．勘察时发现：以 O 为圆心，
3km 为半径的扇形地区为浅水区，不适合船只航行．请确立码头
M , N 的地点，
使得 M , N 之间的直线航线最短． yscqAJo3Va 22．( 本小题满分 14 分> 1
已知函数 f (x) ln x a(1
) ， a
R ．
< Ⅰ）求 f x 的单一区间；
<Ⅱ）若 f ( x) 的最小值为 0，回答以下问题：
<ⅰ）务实数 a 的值；
<ⅱ）设 A(x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) < x 1 x 2 ）是函数 g( x) xf (x) 图象上的两点，且
曲线 g( x) 在点 T t , g (t ) 处的切线与直线 AB 平行，求证： x t x
2
．
1
2018 年福建省一般高中毕业班质量检查
文科数学试题参照解答及评分标准
一、选择题：本大题考察基础知识和基本运算．每题
5 分，满分 60
分．
1 ．A
2 ．C
3 ．B
4 ．D
5 ．A
6 ．B
7 ．B 8 ．A 9 ．C 10 ．C 11 ．D 12 ．A
二、填空：本大考基知和基本运算．每小 4 分，分 16 分．
13 ． 1 i；14 ．7
； 15 ．4； 16 ．②③④．9
三、解答：本大共 6 小，共 74 分．解答写出文字明，明程或演算步．
17．本小主要考等差数列、等比数列等基知，考运算求解能力，考函数与方程思想．分 12 分．
解： <Ⅰ）等比数列a n的公比 q ，
由a4 2a3 ,
得
a1q3 2a1q2 ,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分S2 6, a1 a1q 6,
解得
q 2,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
a12,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
所以
a n a1q n 12n．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯ 6 分
<Ⅱ）b n a n log 2 a n2n log 2 2n2n n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
所以 T 21 1 22 2 2n n
n
21 22 2n 1 2 n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
2 1 2n n n 1 1 2
2
2n 1
n n 1
2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
⋯⋯ 12 分
18．本小 主要考 直 与直 、直 与平面、平面与平面的地点关系、
几何体的体 等基 知 ；考 空 想象能力、推理 能力、运算求解能
力；考 数形 合思想、化 与 化思想． 分
12 分． yscqAJo3Va
解法一： <Ⅰ）如 ， 接 A 1C ，交 AC 1 于点 O ， 接 OM ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵三棱柱 ABC
A 1
B 1
C 1 的 面是矩形，∴
O
A 1C 中点，
M
A 1
B 1 的中点，
∴ OM / / B 1C ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
又∵ OM
平面 AMC 1，B 1C 平面 AMC 1，
∴ B 1C / / 平面 AMC 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
<Ⅱ）∵三棱柱 面睁开 是矩形，且 角 13， 棱 BB 1
5 ，
∴三棱柱底面周
132 52 12 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
又∵三棱柱的底面是正三角形，
AC
4 , B M
2, C 1 M 2 3 ,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
∴ 1
1
1
由已知得，
S
B 1
C 1M
1 B 1 M C 1M 1
2 2
3 2 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
2
2 ∴ V B
AMC
=V
A B C M
1
S B C M AA 1
1
1
1 1
3 1
1
1
2 3 5 10 3 ，
3
3
即三棱 B 1
AMC 1 的体
10
3 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
解法二： <Ⅰ）如，取AB中点E，接EB1，EC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵三棱柱 ABC A1B1C1的底面是正三角形，面是矩形，M
A1 B1的中点，
∴ EB1 / / AM , EC / / MC1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3
分
又∵ AM 平面 AMC 1， MC1平面 AMC 1， EB1 平面 AMC 1， EC 平面 AMC1
∴ EB1 / / 平面 AMC 1， EC / / 平面 AMC 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
又 EB1 EC E ,∴平面 B1EC / /平面 AMC 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
∵ B1C 平面 B1 EC ，∴ B1C ∥平面 AMC 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
<Ⅱ）同解法一．
19．本小主要考概率、率散布直方等基知，考数据理能
力、运算求解能力以及企图，考必定与或然思想等．分12 分． yscqAJo3Va
解： <Ⅰ）由率散布直方知，本中抽烟者年均烟草消支出的均匀数
0.15 0.1 0.25 0.3 0.35 0.3 0.45 0.1 0.55 0.1 0.65 0.1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
0.36 <万
元）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 yscqAJo3Va
<Ⅱ）依意可知，地域抽烟人数 1 100
8
万，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 yscqAJo3Va
又由 <Ⅰ）知，抽烟者年均烟草消支出的均匀数0.36 万元，
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所以 地域年均烟草消 税
元）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
1 100 104 0.4 0.36 18000 <万 8
又因为 地域居民因抽烟 致的疾病治 等各样 用年均
18800 万元，
它超 了当地的烟草消 税，
故当地的烟草消 税不足以支付当地居民因抽烟 致的疾病治 等各样
用．⋯⋯⋯ 12 分
20．本小 主要考 的 准方程、直 与 曲 的地点关系等基
知 ，考 推理 能力、运算求解能力，考 化 与 化思想、数形 合思
想等． 分 14 分． yscqAJo3Va
解： <Ⅰ）由已知得 a
2 ，
c
3
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
因 a 2
b 2
c 2
，所以
b 2 a 2
c 2 1，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
所以
的方程
x 2 y 2 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
4
<Ⅱ）依 意得：直 y k x
1 ， A x 1 , y 1 ， B x 2, y
2 ，
假
上存在点 P x 0 , y 0 使得四 形 OAPB 平行四 形，
x 1
x 2 x 0 , ．
y 1
y 2 y 0 ,
y k x 1 ,
2
2
2
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6
由
x 2
得 1 4k x 8k x 4 k
1
0 ，
y 2
1,
4
分
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所以 x 1
x 2
8k 2 ， y 1 y 2 k x 1 x 2 2 k 1 8k 2 2 1 2k
1 4k 2
4k 2 4k 2
．⋯⋯⋯⋯ 8
分
x 0
8k 2
1 4k
2 于是
y 0
2k 1 4k 2
,
即点 P 的坐
,
8k 2 2 , 2k
2
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
1 4k 4k
1
8k 2 2
2
1 4k 2
2k
又点 P 在 上，所以
1
，整理得 4k 2
1 0 ，此方程无解．
4
1 4k
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯
11 分
故
上不存在点 P ，使四 形 OAPB 平行四
形．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
21．本小 主要考 解三角形、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式
等基 知 ，考 运算求解能力，考 化 与 化思想、函数与方程思想、数
形 合思想等． 分
12 分． yscqAJo3Va
解法一： <Ⅰ）在△ ABO 中， OA 6 ， OB 10 ， AOB
120 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
依据余弦定理得，
AB 2 OA 2 OB 2
2 OA OB cos120
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 62 10 2
2 6 10
1 196 ，
2
所以 AB 14．
10 / 14
<Ⅱ）依意得，直MN 必与 O 相切．切点 C ，接 OC ，OC MN ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
OM x ，ON y ，MN c ，
在△ OMN 中，由1
MN OC 1 OM ON sin120 ，2 2
得1
3c
1 xy sin120 ，即xy
2 3c，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
2 2
由余弦定理得，
c2x2y22xy cos120x2y2xy 3xy ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
所以 c2 6 3c ，解得
c 6 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分
当且当 x y 6 ， c 获得最小 6 3 ．
所以 M , N 与集O的距离均 6 km，M , N之的直航最短，最短距
离 6 3 km．⋯12分
解法二： <Ⅰ）同解法一．
<Ⅱ）依意得，直MN 必与 O 相切．切点 C ，接 OC ， OC MN ．OMN ，(0, ) ，
3
ONM ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
3 OC
，所以 CM OC 3cos
在 Rt OCM 中，tan ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7
CM tan sin
分
OC OC 3cos
在 Rt OCN 中，tan( ) ，所以 CN 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 8
CN
3 tan sin
3 3
分
3cos 3cos( )
所以 MN CM CN 3
sin sin( )
3
3 cos sin(
) sin cos(
)
3
3
sin sin(
)
3
3sin
3
sin (
3
cos
1
sin )
2
2
3 3
．
10 分
sin(2
1
6
)
2
因为
(0, ) ，所以 2
( 6 , 5
) ，所以当 2 ，即
时，
3
6 6
6
2
6
sin(2
) 1 有最大值 1
，故 MN 有最小值 6 3 ，此时 OM ON
6． 6 2 2
所以码头 M , N 与集镇 O 的距离均为 6 km 时， M , N 之间的直线航线最短，最短
距
离为 6 3 km ．
12 分
22．本小题主要考察函数的单一性、函数的最值、导数及其应用等基础知
识，考察推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考察函数与方程思想、
化归与转变思想、分类与整合思想、数形联合思想等．满分
14
分． yscqAJo3Va
解： <Ⅰ）函数 f x 的定义域为 (0, ) ，且 f
1 a
x a
． 2
分
(x)
x 2
x 2
x
当 a 0 时， f (x) 0 ，所以 f x 在区间 (0, ) 单一递加； 3 分
当 a 0 时，由 f ( x) 0 ，解得 x a ；由 f ( x) 0 ，解得 0 x a ．
所以 f x 的单一递加区间为 (a,
) ，单一递减区间为 (0, a) ． 4 分
综上述： a 0 时， f x 的单一递加区间是 (0,
) ；
a 0 时， f x 的单一递减区间是 (0, a) ，单一递加区间是
(a,
) ． 5 分
<Ⅱ） <ⅰ）由 <Ⅰ）知，当 a 0 时， f x 无最小值，不合题意； 6 分
12 / 14
令 h( x) 1 x ln x( x
0) ， h ( x)
1 1 1 x ，
x x
由 h ( x) 0 ，解得 0 x 1；由 h ( x)
0 ，解得 x
1 ．
所以 h x 的 增区 (0,1) ， 减区 (1,
) ．⋯⋯⋯⋯ 8 分
故 [ h( x)]max h(1) 0，即当且 当 x 1 ， h x
=0．
所以， a
1 ．
⋯⋯⋯⋯ 9 分
<ⅱ）因 g(x) xf (x) xln x x
1(x 0) ，所以 g ( x) ln x
直 AB 的斜率
k
AB
g( x 2 ) g(x 1)
x 2 ln x 2
x 1 ln x 1
1, g (t ) ln t ．⋯⋯ 10 分
x 2 x 1
x 2 x 1
依 意，可得 k AB g (t) ，即 x 2
ln x 2
x 1 ln x 1 1 ln t ．令 x 2
1，
x 2
x 1
x 1
x 2 ln x 2 x 1 ln x 1
x 2 ln x 2 x 2 ln x 1
ln
x
2
1 ln x 1
1 =
x 1
1
于是 ln t ln x 1
x 2
x 1
x 2 x 1
1
x 1
x 2
ln
(1 1 )
⋯⋯⋯⋯ 11 分 =
1 ．
1
由<ⅰ）知，当 1 ， ln
1 1 ，于是 ln t
ln x 1 0 ，即 t
x 1 建立． ⋯⋯⋯ 12
分
ln
x
1
ln x 2 ln t ln x 2
(
x 2
ln x
2
x 1 ln x 1
1) x 1 ln x 1 x 1 ln x 2 1
x 2 1
x 2
x 1
x 2 x 1 x 2 1
x 1
1
1
ln
1．
=
1
= ln
1
由<ⅰ）知，当 1 ， ln
1
，即 ln
1 0 ，于是 ln x
2 ln t 0 ，
即 x 2 t 建立．
上， x 1
t x 2
建立．
⋯⋯⋯⋯ 14 分
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