数字信号处理讲义-4现代功率谱估计

a3 (2302)1,/3/128。则可由AR模型参数获得功率谱Py(W)的估计值10 。
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 一阶Y-W方程的解
Ry[0] Ry[1]
R Ryy[[1 0]]a11(1)012
解此方程得
a1 (1) Ry [1] Ry [0]
12Ry[0]Ry[1]a1(1)Ry[0]1(a1(1)2)
2 1
a2(1)Ry[0]R Ry2y[[1 0]] R Ryy2[[11]]Ry[2]a1(1)a2(2)a1(1)
2 2 202 1/3R /18y[0 ] R y[1 ]a 2 (1 ) R y[2 ]a 2 (2 )[1a2(2)2]1212
Y-W方程的L-D递推算法
➢ p阶Y-W方程的递推解
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Y-W方程的L-D递推算法
➢ 二阶Y-W方程的解
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)022
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
a2(2)Ry[R0y2][R0y][2]Ry2[R1y]2[1]
Ry[2]a1(1)Ry[1]
4
参数模型法的基本思想
根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外 的数据作出某种比较合理的假设。
假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数 据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出 功率谱。
h[k]
h
y[k]
输入白噪声的自相关函数 Rh[n]2[n]
Py(W)H(ejW)22
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对于因果系统, p阶AR模型的自相关函数与R y[m n ]2[m ]m 0 ,1 , ,p
n 1
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Yule-Walker(Y-W) 方程 9
AR模型参数与自相关函数的关系
Y-W 方程的矩阵表示
p
R y[m ] a p (n )R y[m n ]2[m ]m 0 ,1 , ,p
E2f E{e2 f[k]y[k]} R y[0 ] a 2 (1 )R y[1 ] a 2 (2 )R y[2 ]
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)E02f
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
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AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系
n 1
R y[m ]
Ry[m n]
Ryh[m ]
p
Ry[m ]ap(n)Ry[m n]Ryh[m ]
n1
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AR模型参数与自相关函数的关系
p
R y[m ]ap(n)R y[m n]R yh[m ]
n1
由于输入是白噪声信号 Rh[n]=2[n]
R yh[m ]h [m ]R h[m ] 2h[m]
可得
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)E02b
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
比较前向预测系统和后向预测系统的方程后可得
系数{a2(1),a2(2)}满足的方程相同
E E 2021/3/18
f
b
2
2
2
Ab(z)=z 2A(z)
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伯格(Burg)递推算法
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
随机信号的功率谱估计
离散随机序列的特征描述 平稳随机序列通过LTI系统 经典功率谱估计 现代功率谱估计
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2
现代谱估计简介
问题提出 平稳随机信号的参数模型 AR模型参数与自相关函数的关系 Y-W方程的L-D递推算法 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 伯格(Burg)递推算法
n 1
例: p=3 时的Y-W 方程
Ry[0] Ry[1] Ry[2] Ry[3] 1 2
Ry[1] Ry[2] Ry[3]
Ry[0] Ry[1] Ry[2]
Ry[1] Ry[0] Ry[1]
R R Ryyy[[[102]]]aaa333(((132)))
0 0 0
若已知Ry[n] ，由Y-W方程解出各参数a3(1), a3 (2),
预测系数及均方误差的确定
e 2 f [ k ] y [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
Ee2 f[k]y[k 1 ]R y[1 ] a 2 (1 )R y[0 ] a 2 (2 )R y[1 ] 0 E e 2 f[k]y [k 2 ]R y[2 ] a 2 ( 1 )R y[ 1 ] a 2 (2 )R y[0 ] 0
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例：利用L-D算法进行谱估计
h 一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号， x [ k ] c0 o .3 π k ) s c (0 o .4 π k ) s [ k ( ]
利用L-D算法估计该序列的功率谱。
N=128;p=40; NFFT=2048;Fs=2; n=0:N-1;randn('state',0); x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n)); [P,f]=periodogram(x,[],NFFT,2) ; [Py,fy]=pyulear(x,p,NFFT,2); subplot(211);plot(f,10*log(P));grid;title(' Periodogram '); axis([0 1 -60 60]); subplot(212);plot(fy,10*log(Py));grid;title(' Yule'); axis([0 1 -60 60]);
p1
Ry[p]ap1(n)Ry[pn]
ap(p)
n1
2 p1
a p ( n ) a p 1 ( n ) a p ( p ) a p 1 ( p n )( n 1 , 2 , , p 1 )
2 p
[1ap(p)2]p 21
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Y-W方程的L-D递推算法
➢ L-D算法估计功率谱的步骤 (1) 计算自相关函数的估计值 (2) 求解一阶模型参数关函数的估计值
前向线性预测滤波器 例:前向线性预测(p=2)
y[k2] y[k1]
y ˆ [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ] yˆ[k ]
前向预测误差
e2 f[k]y[k]y ˆ[k] y [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
e2 f[k]e1 f[k]K 2 e1 b [k1 ]
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3
问题提出
经典法存在的主要问题:
1. 方差性能不好，不是Px(W)的一致估计
2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差 性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。
3. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果
出现问题的主要原因:
将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。
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a1
(1)
Ry [1] Ry [0]
12Ry[0]1(a1(1)2)
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Y-W方程的L-D递推算法
➢ L-D算法估计功率谱的步骤
(3)由递推算法求解p阶模型参数
p1
Ry[p]ap1(n)Ry[pn]
ap(p)
n1
2 p1
a p ( n ) a p 1 ( n ) a p ( p ) a p 1 ( p n )( n 1 , 2 , , p 1 )
L-D算法缺点： 在计算相关函数估计时，对N个观测数据以
外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。
伯格(Burg)递推算法基本思想： 直接从观测的数据利用线性预测器的前向和
后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计 反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR 模型的优化参数。
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伯格(Burg)递推算法
后向线性预测滤波器 y[k1] y[k] 例:后向线性预测(p=2)
yˆ[k 2]
y ˆ [ k 2 ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k ]
后向预测误差
e2 b[k]y[k 2 ]y ˆ[k 2 ] y [ k 2 ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k ]
前向预测误差滤波器系统函数
1a2(1)z 1a2(2)z 2
y[k]
A(z)
e2f[k]
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AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系
均方误差最小的前向预测误差滤波器
e 2 f [ k ] y [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
e 2 f [ k ] y [ k ] a 1 ( 1 ) a 2 ( 2 ) a 1 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
y [ k ] a 1 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ] a 1 ( 1 ) y [ k 1 ]
正交准则
E2 f mE i{n e2 f[k]2}
若 E e 2 f[ k ] y [ k n ] 0 ,n 1 ,2
则估计的均方误差达到最小。 且
E 2 f m E { e i2 f[k n ]2 } E { e 2 f[k ]y [k ]}
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AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系
q
bl zl
H(z) l0
B(z)
p
1 anzn
A(z)
n0
6
平稳随机信号的参数模型
若输入白噪声的功率谱
Ph(W)2
则输出序列的功率谱为
W W P x () H (e jW )2P h()2H (e jW )2
若能确定模型中各参数{an, bn}和2就可以求得功率谱Px(W)
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前向预测误差的递推公式
2阶前向预测误差 e 2 f [ k ] y [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
1阶后向预测误差
e1 b [k ]y [k1 ]a 1 (1 )y [k ]
L-D算法的递推公式
a 2 (1 )a 1 (1 )a 2 (2 )a 1 (1 )
后向预测误差滤波器系统函数
Ab (z) E2b (z) a2(2)a2(1)z 1z 2 Y(z)
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AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系
预测系数及均方误差的确定
由
E e 2 b [ k ] y [ k n ] 0 ,n 0 , 1
E 2 b m E { e 2 b i[ k n ] 2 } E { e 2 b [ k ] y [ k 2 ]}
2 p
[1ap(p)2]p 21
(4) 求出功率谱估计
PˆAR(W)
2
p
2
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1ap (n)ejWn
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n1
利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数
[Pxx,f] = pyulear(x,p,NFFT,Fs)
x：进行功率谱估计的输入有限长序列； p: 模型的阶数 NFFT：DFT的点数； Fs ：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1； Pxx：功率谱估计值； f：Pxx值所对应的频率点
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谱估计结果——p=40,N=128
Periodogram 60
40
20
0
-20
-40
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Yule 60
40
20
0
-20
-40
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-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
18
0.9
1
AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系
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AR模型参数与自相关函数的关系
描述p阶AR模型的差分方程为
p
y[k]ap(n)y[kn]h[k]
n1
将上式两端同乘以y[km]再求数学期望
h p
E { y [ k m ] y [ k ] } a p ( n ) E { y [ k m ] y [ k n ] } E { y [ k m ][ k ]}
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平稳随机信号的参数模型
AR模型
(AutoRegressive model )
MA模型
(Moving Average model)
ARMA模型
(AutoRegressive- Moving Average model )
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1
1
H(z)
p
1anzn
A(z)
n0
q
H(z)1bl zl
l1