江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：2.4 向量的数量积(1)

教学目标：
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；
2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟”数学化”过程及思想；
3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．
教学重点：
向量数量积的含义及其物理意义、几何意义； 教学难点：
向量数量积的含义、数量积的性质．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程： 一、问题情境
问题1 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘“呢？
二、学生活动
问题2 物理学中，物体所做的功的计算方法：
θcos ||||→
→
=S F W （其中θ是→F 与→
S
三、建构数学
问题3 求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1．向量夹角．
已知两个向量a r 和b r ，作−→−OA ＝a r ，−→
−OB ＝b r ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤o o ）叫
S
F
θ
做向量a r 与b r
的夹角．
当0θ=o
时，a r 与b r
同向；
当180θ=o
时，a r 与b r
反向；
当90θ=o
时，a r 与b r 的夹角是90o
，我们说a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r ．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量a r 和b r ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅r r
叫做a r 与b r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r
．
说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos θ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；
②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅r r ；今后要学到两个向量的外积a r ×b r
，书写时要严格区分．符号”·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用”×”代替；
③零向量与任一向量的数量积是0；
④在实数中，若a ≠0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a r ≠0r ，且a b
⋅r r
＝0r ，不能推出b r ＝0r
，因为其中cos θ有可能为0；
3．数量积的性质： 设a r 、b r 都是非零向量，θ是a r 与b r
的夹角，则
①cos ||||
a b
a b θ⋅=r r
r r ；（|a r ||b r |≠0）
②当a r 与b r 同向时，||||a b a b ⋅=r r r r ；当a r 与b r 反向时，||||a b a b ⋅=-r r r r ；
特别地：2||a a a ⋅=r r r 或||a =r ③||||||a b a b ⋅≤r r r r ；
④a b ⊥r r 0a b ⇔⋅=r r ；（a r ≠0r
，b r ≠0r ）
4．数量积的几何意义． （1）投影的概念：
C
如图，−→
−OA ＝a r ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=r
．
我们把||cos b θr
（│a r │cos θ）叫做向量b r 在a r 方向上（a r 在b r 方向上）的投影，
当θ为锐角时射影为正值； 当θ为钝角时射影为负值； 当θ为直角时射影为0；
当θ＝0︒时射影为||b r
；
当θ＝180︒时射影为||b -r
．
（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积a b ⋅r r 等于a r 的长度|a r |与b r 在a r 的方向上的投影|b r
|α
cos 的乘积．
四、数学运用 1．例题．
例1 判断正误，并简要说明理由． ①a r ·0r ＝0； ②0·a r ＝0r ； ③0r －−→−AB ＝−→
−BA ； ④a b ⋅r r ＝|a r ||b r |； ⑤若a r ≠0r ，则对任一非零b r ，有a b ⋅r r
≠0； ⑥a b ⋅r r ＝0，则a r 与b r 至少有一个为0r ；
⑦对任意向量a r 、b r 、c r 都有(a b ⋅r r )·c r ＝a r
·(b ⋅c r )；
⑧a r 与b r 是两个单位向量，则a r 2＝b r 2
例2 已知向量a r 与向量b r 的夹角为θ，|a r |＝2，|b r
|＝3，分别在下列条件下求a b ⋅r r ：（1）0135=θ；（2）a r ∥b r ；（3）a r ⊥b r ．
例3 已知正ABC ∆的边长为2，设−→
−BC ＝a r ，−→−CA ＝b r ，−→
−AB ＝c r ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r ．
A B C
a r
O
A
B b r
θ 1B O
A
B
b r
a r
1 θ O A B
b r
1()B
θ
变式 已知||3a =r ，||3b =r ，||23c =r
，且0a b c ++=r r r r ， 求a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r ．
2．巩固．
（1）当a r 与b r 同向时，a b ⋅r r ＝___，当a r 与b r 反向时，a b ⋅r r
＝___，特别地，
a r ·a r __=，|a r
|___=；
（2）a r ⊥b r
______⇔，____cos =θ；
（3）已知|a r |＝10，|b r |＝12，且(3a r )·(5
1b r
)36-=，则a r 与b r 的夹角是_____；
（4）已知|a r |＝2，|b r |＝2，a r 与b r 的夹角为0
45，要使λb r -a r 与a r 垂直，____=λ；
（5）已知|a r |＝4，|b r |＝3，①若a r 与b r 夹角为0
60，求(a r +2b r )·(a r -3b r )； ②若(2a r －3b r )·(2a r ＋b r )＝61，求a r 与b r 的夹角θ．
五、回顾反思
1．有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积；
2．向量数量积的几何意义和物理意义； 3．向量数量积的六条性质．。