13-2广义胡克定律与变形能-材料力学

1 m 形状改变
3 m
②形状改变比能：
证明在：
' 1

1


m
,

' 2
2


m
,
' 3

3
m
作用下，体积没有变化 。


3(1
2)
1'


' 2


' 3
E
3


1 2
E
(1'


' 2


' 3
)


1 2
E
[(1
m
)

(
2

1
该单元体所储存的应变
能为：
3
U

1 2
(
1e1


2
e
2


3e
3
)dxdydz
②比能：
u

U V

1 2
(
1e1


2e2


3e
3
)
③代入虎克定律：
u

1 2E
[12


2 2


2 3

2
(1
2


2
3


31
)]
（二）、体积改变比能 ut 与形状改变比能 u x
1.有关概念：
三、复杂应力状态下的变形比能 （一）、总应变比能
1.有关概念： ①应变能(变形能)：伴随弹性体的变 形而储存在弹性体的能量。用U表示；
②比能：单位体积应变能，用u表示 2.单向应力状态应变比能：
u U 1 e
V2
3.复杂应力状态总应变比能：
①取主应力状态，假定
2
三个主应力按某一比例
由零增加到最终值，则
解：1、应力状态图：
平
2、
ex

1 E
x
y
e y

1 E
y

x
面 应 力
状 态





4 104 1.2 104
1 E

1 E
x
y
y
x
解得： x 80MPa, y 0
另解： 1、 A点平面应力，应力状态图：
m
)

(
3

m
)]


1 2
E
[(1

2


3)

3
m
]
0

' 1
1


m
,

' 2
2


m
,

' 3
3
m
②形状改变比能：
u

1 2E
[12


2 2


2 3

2(1
2
23
31 )]
ut

1 2
6E
(1
2
3 )2
zx

xy
G
yz
G
zx
G
某点在某方向上的线 应变与其三个互相垂 直方向的正应力有关。
三个互相垂直的平面， 各平面内的剪应变仅 与该平面内的剪应力 有关。
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力； 各方向的主正应变为：
e1 e 2

e 3

1
E 1
E 1
E
1 2 3 2 3 1 3 1 2
主平面的剪应变为零。
12 23 31 0.
某点的应力状态为平面应力状态
e x


1 E
x

y 0

e y


1 E
y
V V1 V0
2
V abc(e1 e2 e3)


V V0
e1 e2
e3
3
1
二、体积应变——体应变


V V0
e1
e2
e3
3(1 2
E
m
K
K E
)
1 m
eee31213232EE31E113132
座之间的间隙，可得应变e2的值为：
e
2

5.001 5
5

0.0002
③由广义虎克定律：
e
2

2 E

1 E


1 E


p E


p E

153 E

0.0002
求得： p 1530.30.00022105 8.43MPa
1 0.3
④柱内各点的三个主应力为：
1 2 p 8.43MPa ， 3 153MPa
2、 x


y

1
E

2

1
E

2
(e x (e y
e y ) e x )
解得： x 80MPa, y 0
例2、d=20mm，E=210GPa， =0.3， 测得： e45º=解5：.2×1）10测- 点4，的试应求力T状。态 ——纯剪切应力状态。

T Wn
x)

xy
xy
G
某点的应力状态为平面应力状态 其应力表现形式为：
x


E
1 2
(e x

e y )
y


1
E

2
(e y

e x )
z 0 xy G xy
例1、测得A点处的ex = 4.0×10 - 4，ey = -1.2×10 - 4 。 已知：E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方 向上的正应力。
单向应力状态下形状改变比能：
ux0

1
3E
12
ux u ut

1
6E
[(1

2
)2

(
2
3
)2

(
3

1)2
]
ux

1
6E
[(1
2 )2
( 2
3)2
(3
1)2 ]
复杂应力状态下形状改变比能：
ux

1
6E
[(1
2 )2
( 2
3)2
(3
1)2 ]
V1 a(1 e1)b(1 e2)c(1 e3)
V1 abc(1 e1)(1 e2)(1 e3)
体变形量V ：
2
V V1 V0
1
3
二、体积应变——体应变
V1 abc(1 e1)(1 e2)(1 e3)
V1 abc(1 e1 e2 e3 e1e2 e1e3 ... e1e2e3)
试求圆柱的主应力。取E=200GPa， 0.3
P
P p
P/A
p p
p p
解：①在柱体横截面上的压应力为：

3


P A


300103 4 (50)2

153M
Pa
②在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹
座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压
应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为p，考虑到柱与凹
E
E E
z
E





x

E




y
E

e x e y

e z

1
E 1
E 1
E
x y z
y
z
x
z
x
y
xy
yz



①单元体的变形：体积改变和形状改变。
②体积改变比能：与体积改变相对应的那一部分比能
用 ut 表示；
③形状改变比能：与形状改变相对应的那一部分比能
用u x 表示；
④ u ut ux
2 1
3
m
m
体积改变
m 2 m
体积应变只与平均 正应力有关，则体 积改变比能只与平 均正应力有关。

16T
d3
2）与e45º有关的正应力：
45 45
3）圆轴承受的T：
e45

1 E
45
45
解得： T 125.7N m
平面主应力对应的虎克定律为：

e1

1 E
(1
2 )

e2

1 E
( 2

1)
e3


1 E
( 1

2
)
二、体积应变——体应变
主原始单元体各边长：a,b, c
主原始单元体体积 V0 ：V0 abc
三个对应的主应力：1, 2 ,3
2
各边对应的伸长量：
a b

ae1 be 2
1
c ce3
3
二、体积应变——体应变
变形后体积 V1 ：
1 m 形状改变
3 m
2.体积改变比能、形状改变比能 ①体积改变比能：
ut

1 2E
[
2 m


2 m


2 m

2
(
2 m


2 m


2 m
)

3(1 2
2E
)

2 m

1 2
6E
(1
2
3 )2
2 1
3
m
m
Байду номын сангаас
体积改变
m 2 m
体积应变只与平均 正应力有关，则体 积改变比能只与平 均正应力有关。
0 x
e z

1 E
0
x y

xy

xy
G


yz


0 G


zx


0 G
某点的应力状态为平面应力状态

ex

1 E
( x
y )

ey

1 E
( y
x )

ez


1 E
( y
ex
x ,
E
ey
x ,
E
ez
x .
E
2.纯剪切应力状态虎克定律：

xy

xy
G
,
xz yz 0.
+
+
ex ey ez
x
E




y
E


z
E
y z x
2 3 1
——体积弹性模量
3 1 2

3(1 2)
二、体积应变——体应变
K E ——体积弹性模量
3(1 2)
G E ——剪切弹性模量
2(1 )
例题：在一体积较大的钢块上有一直径为 50.01mm 的 凹 座 ， 凹 座 内 放 置 一 直 径 为 50mm 的 钢 制 圆 柱 如 图 ， 圆 柱 受 到 P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，
第六节 广义虎克定律
一、广义虎克定律
1.有关概念： ①主应变：沿主应力方向的应变
分别用e1≥e2≥e3表示 ②正应力只引起线应变
剪应力只引起剪应变
正应力仅引起线应变（正应变），与无关。 剪应力仅引起自身平面内的剪应变，与无关。
+
p ，且为小变形情况和各向同性材料：
1.单向应力状态下虎克定律：