必修4复习-三角恒等变换与三角函数的性质

α 1－tan22 2sin2α 2 解析：原式＝ · αcos α＝tan α· α＝2. tan α 2sin tan2
答案：2
2．(2012· 唐山模拟)已知tan 2θ＝－2 2，π＜2θ＜2π，化简 θ 2cos22－sin θ－1 2sin
π θ＋ 4
＝________.
1i s )2 xn 2 x2soc
求函数递 增区间.
略解:
1 cos2x 3 sin2x 2 2
(ni s π x2 ) 6 1
17
»感受三角变换的魅力
1n t 例4、 知t a 已n a , 7 角 ， 求 2 . 1 , 并 且， 均 为 锐 3
－lg(1＋sin 2x) sin x＋cos x2 1＋sin 2x ＝lg ＝lg ＝0. 1＋sin 2x 1＋sin 2x
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
α 1 －tan2 1－cos 2α 1．(2012· 洛阳模拟)化简： α · sin 2α ＝________. tan2
4 答案：－3
cos α－sin α 5．已知α、β均为锐角，且tan β＝ ， cos α＋sin α 则tan(α＋β)＝__________. π 1－tan α 解析：tan β＝ ＝tan 4－α， 1＋tan α
π ∵α、β为锐角，∴β＝4－α， π ∴α＋β＝4，∴tan(α＋β)＝1.
答案：1
»感受三角变换的魅力
例3、函 求 数 值小 和值 最 解：y ni s yx i s n 3 c x的， so 周最 期大 . 1i s x 3oc x 3oc x 2(n s s 2 2
x)
2(sin x cos

(2 s ni
) x
3
3
cos x sin
[精析考题] [例2] 则
π 1 (2011· 重庆高考)已知sin α＝2＋cos α，且α∈0，2， π的值为________． α－ 4
cos 2α sin
[自主解答]
1 依题意得sin α－cos α＝2，
又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 即(sin α＋cos α)
答案： A
4．(2011· 大纲全国卷)已知
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝______.
2 5 解析：依题意得cos α＝－ 1－sin2α＝－ 5 ， sin α 1 tan α＝cos α＝－2， 2tan α tan 2α＝ ＝ 1－tan2α 4 ＝－3. 12 1－－2 －1

3
)
所以，所求的周期 T 2 2 ,

最大值为2，最小值为-2．
14
»感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 变形的策略：引进一个“辅助角”
a 2 b2

a
b
ni s a
x soc b
2 2
x
a b a b sin x cos x a 2 b2 a 2 b2
1－cosα tan 2＝ . 1＋cosα
2α
α α α 2．用 cos α 表示 sin2，cos2，tan2. α sin2＝ ± α tan2＝ ±
1－cos α ；cosα＝ ± 2 2
1－cos α . 1＋cos α
1＋cos α ； 2
α α sin α 1－cos α 3．用 sin α，cos α 表示 tan2.tan2＝ ＝ . 1＋cos α sin α
[精析考题] [例1]
lgcos
π (2010· 上海高考)已知0<x<2，化简： x· x＋1－2sin tan
2x
＋lg 2
2cos
π x－ －lg(1＋sin 4
2x)．
[自主解答]
原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)
三角恒等变换： 切化弦，异角化同角，高次将低次，异名化同名.
(1)同角三角函数的基本关系及诱导公式 (2)和、差角公式： cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan sin( ) sin cos cos sin 1 tan tan (3)二倍角公式： sin 2 2sin cos 1 cos 2 2cos2 ,1 cos 2 2sin 2
[冲关锦囊] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别 与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定
使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到 变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.
三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值， 三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、 同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求 值问题要充分利用条件进行转化求解． (3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的 关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式 求解变形即可．
1 1 解： tan 1, tan 1, 且， 均为锐角， 7 3 0 , 0 , 0 2 3 . 4 4 4 nt 2 a 又 t 2 n a 3, 4 1n t 2 a 1 3 nt t a n a t 2 ) (n a 7 4 1, 1 3 1 t t n a n a 1 7 4 2 . 18 4
2 2
1 cos 2 2
降 幂 缩 角
b a (4)辅助角公式： sin b cos a b sin( )，其中 tan a
同一个角的正弦、余弦一次式！
半角公式(不要求记忆) 1.用cosα表示sin 2，cos 2，tan 2
2α 2α 2α 2α
1＋cosα 1－cosα 2α sin 2＝ ；cos 2＝ ； 2 2
答案： 3
1 13 4．(2012· 银川一中模拟)已知cos α＝7，cos(α－β)＝14， π 且0<β<α<2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.
1 π 解：(1)由cos α＝7，0<α<2，得 sin α＝ 1－cos α＝
2
12 4 3 1－7 ＝ 7 ，
sin α 4 3 7 ∴tan α＝cos α＝ 7 ×1＝4 3. 2×4 3 2tan α 8 3 于是tan 2α＝ ＝ ＝－ 47 . 1－tan2α 1－4 32
2
12 ＋2 ＝2，故(sin
7 α＋cos α) ＝4；
2
π 0， ，因此有sin 又α∈ 2
7 α＋cos α＝ 2 ，
cos2α－sin2α 14 所以 ＝－ 2(sin α＋cos α)＝－ 2 . π＝ 2 sin α－4 2 sin α－cos α 14 [答案] － 2 cos 2α
1 α 1．(教材习题改编)已知 cos α＝3，α∈(π，2π)，则 cos2等于( 6 A. 3 3 C. 3 6 B．－ 3 3 D．－ 3
)
1 α π ，π， 解析：∵cos α＝3，α∈(π，2π)，∴ 2∈ 2
α ∴cos2＝－
1＋cos α ＝－ 2
1 1＋3
cos θ－sin θ 1－tan θ 解析：原式＝ ＝ ， sin θ＋cos θ 1＋tan θ 又tan 2θ＝ 2tan θ 1 ＝－2 2.解得tan θ＝－ 或tan θ＝ 2. 1－tan2θ 2
π ∵π＜2θ＜2π，∴2＜θ＜π. 1 2 1 ∴tan θ＝－ ，故原式＝ 1 ＝3＋2 2. 2 1－ 2 答案：3＋2 2 1＋
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
1 3．(2012· 临沂调研)计算tan 10° －4cos10° ＝________.
cos 1in 10° －4cos 10° ＝ sin 10° cos 10° －2sin30° －10° ＝ sin 10° ＝ 2cos 30° 10° sin sin 10° ＝ 3.
a 2 b2 cos sinx sin cos x a b sin(x )
2 2
b 其中 tan . a
15
»感受三角变换的魅力
引进辅助角法：
ni s a
其中t n a
a b
2
2

b
x soc b
b a
x a 2 bni s (2
x )
a
设 y ais bs n o c
使 y A sin(x ) 函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简 三角函数式中的作用．
16
»感受三角变换的魅力
变式练习：
求 函 数 y (3i s n 3 3oc y 3 ( x2s 2
辅助角
.
2 x ) c 2 x 的值 so 最 小
2x，
π π 1 ＝－sin ＝－ . ∴f 12 6 2
答案： B
cos 2α＋sin 2α＋1 1 3．已知tan α＝2，则 等于 cos2α A．3 C．12 B．6 3 D.2
(
)
cos 2α＋sin 2α＋1 2cos2α＋2sinα· α cos 解析： ＝ cos2α cos2α ＝2＋2tan α＝3.
cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2sin 2 tan tan 2 1 tan 2
2
1 sin 2 (sin cos )2
cos 2
2
1 cos 2 sin 2 1 sin cos sin 2 2
»感受三角变换的魅力
例4、 知tan 1 , tan 1 , 并 且， 均 为 锐 已 7 3 角 ， 求 2 .
注意：本题易出现如下错误
， 为锐角， 0 2 3 . 2
又 tan( 2 ) 1, 2 或 5 . 4 4
原因是没有根据tanα，tanβ的值进一步 缩小α+2β的范围.
19
»感受三角变换的魅力
变式练习：已知α，β ∈ (0, π),
1 1 tan( ) , tan , 求 2 . 2 7 解析： tan tan[( ) ] tan ( ) tan 1 1 (0, ), 1 tan ( ) tan 3 4 1 , (0, ) ( , ) 又 tan 7 2 2 ( ,0), tan tan( ) 1 tan(2 ) tan[ ( )] 1 tan tan( ) 2 3 . 20 4
6 2 ＝－ 3 .
答案： B
2．已知函数 f(x)＝cos 1 A.2 3 C. 2
2
π π 2 π ＋x－cos －x，则 f 等于 4 4 12
(
)
1 B．－2 3 D．－ 2
解析：f(x)＝cos
2
π π ＋x－sin2x＋ ＝－sin 4 4