1.2 一定是直角三角形吗(课件)北师大版数学八年级上册
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a，b，c 满足 a2+c2＝b2，那么以 a，b，c 为
三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
归纳总结
考
点
（1）运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角
清
单 三角形的一般步骤：①先判断哪条边最长（不妨设 c 为最
解
读 长边，a，b 为较短边）；②分别用代数方法计算出 a2+b2
3+4+5
不是直角三角形
符合
题意
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
返回目录
因为 a ∶b ∶c =3 ∶4 ∶5，
所以设 a=3k，b=4k，c =5k，所以 a2 +
C
b2=（3k）2+（4k）2=25k2，c2=（5k）
2=25k2，所以
a2+b2=c2，
所以△ABC 是直
不符
合题意
角三角形
12+22=5≠32=9，故不是勾股数
不符合题意
C
存在小数，故不是勾股数
不符合题意
D
92+402=1 681 =412，故是勾股数
符合题意
［答案］ D
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
勾股定理逆定理的实际应用
重 ■题型
难
例
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种
题
型 了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算
和 c2 的值；③判断 a2+b2 和c2 是否相等，若相等，则是
直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.
（2）判定一个三角形是直角三角形的方法：①有一个内
角为直角的三角形是直角三角形； ②两个内角互余的三角
形是直角三角形；③如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．
易 ■因受“勾股数”的影响致错
错
例 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（
易
混 ）
分
析
A． 3，4，5
B． 5，12，13
C． 0.3，0.4，0.5
D． 1，2，3
1.2 一定是直角三角形吗
易
错
易
混
分
析
返回目录
［解析］
A
B
C
D
32+42=52，能作为直角三角形的三边长
52+122=132，能作为直角三角形的三边
判定步骤 c2＝a2+b2
△ABC 是以∠C 为直角的直角三
角形；c2>a2+b2
△ABC 是以∠C 为钝角的钝
角三角形；c2<a2+b2
△ABC 是锐角三角形
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解中 a，b，c 及 a2+b2=c2 只是一种表现形
注意事项
式，不可认为是唯一的，如：若三角形三边长
易
错
易 数混淆.
混
分
领悟提能 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，
析
首先要计算较小两边长的平方和与最大边长的平方，然后
判断它们是否相等，切勿因“勾股数”产生的“惯性思维
”导致错解.
重
难
2=AD2+AB2=25，所以 BD=5 m，则 BD2 +CD2 =132 =BC2 ，
BD
题
型 所以 △BCD 为直角三角形，且∠CDB=90°，S
四边形
突
破
×3×4+ ×5×12=36（m2）.
ABCD=S△ADB+S△CBD=
答：这块土地的面积为 36 m2．
1.2 一定是直角三角形吗
（1）确定是三个正整数；
（2）确定最大数 c；
（3）计算较小两数的平方和 a2+b2 是否等于 c2
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
续表
考
点
清
单
解
读
（1）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3，
4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，
17；9，40，41 等；
注意
（2）若三角形的三边长恰为一组勾股数，则这个
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例1 在△ABC 中，BC =a，AB =c，AC=b，则不能作为
清
单
）
解 判定△ABC 是直角三角形的条件的是 （
读
A． ∠C=∠A-∠B
B． ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C． a∶b∶c=3∶4∶5
D．（a+b）（a-b）=c2
1.2 一定是直角三角形吗
解
读 方．
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
返回目录
对点典例剖析
典例2
下列各组数中，是勾股数的是 （
A． 4，5，6
B． 1，2，3
C． 1.5，2，2.5
D． 9，40，41
）
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
返回目录
［解题思路］
A
42+52=41≠62=36，故不是勾股数
不符合题意
B
重
难
题
型
突
破
思路点拨
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
解题通法
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形
重
难
题 三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，
型 因此，在一些实际问题中，要抽象出三角形及三边的长度，
突
破 从而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
事项
三角形为直角三角形，反之，不一定成立，切记
勾股数必须是正整数；
（3）如果 a，b，c 是一组勾股数，那么ka，kb，
kc（k为正整数）也是勾股数
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
归纳总结
考
点
判断一组数是不是勾股数要看两点：一是看它们是不是
清
单 正整数；二是看是否符合较小两数的平方和等于最大数的平
D
因为（a+b）（a-b）=c2，所以 a2-b2= c2， 不符合
所以 a2=b2+c2，所以△ABC 是直角三角形 题意
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
［答案］ B
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
■考点二
定义
判断
方法
返回目录
勾 股 数
满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数
1.2 一定是直角三角形吗
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
1.2 一定是直角三角形吗
■考点一
直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）
考
点 1. 勾股定理的逆定理
清
单
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2
解
读 文字语言
+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言
图示
因为 a，b，c 为△ABC 的三边长且 a2
突
破 产量．小明测得 AB=3 m，AD=4 m，CD=12 m，BC=13 m，又
已知∠A=90°．求这块土地的面积．
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
［解析］先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，
重
难
题 再用勾股定理的逆定理解答．
型
突
破
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
［答案］ 解：在题图上连接 BD，因为∠A=90°，所以
长
0.32+0.42=0.52，能作为直角三角形的
三边长
12+22≠32，不能作为直角三角形的三边
长
不符合题意
不符合题意
不符合题意
符合题意
1.2 一定是直角三角形吗
易
错
易
混
分
析
［答案］ D
［易错］ C
［错因］ 误认为直角三角形三边长不能是小数.
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
易错警示 判定直角三角形时，容易把三边关系与勾股
考
点
清
单
解
读
返回目录
［解题思路］
因为∠C=∠A-∠B，所以∠C+∠B=∠A，
A
因为∠C+∠A+∠B=180°，所以 2 ∠ A
不符
=180°，所以∠A=90°，所以 △ABC
合题意
是直角三角形
因为∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∠C+∠A
+ ∠B =180°，所以
B
∠C=180°×
=75°，所以△ABC
+b2=c2，所以△ABC 是直角三角形
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
考 2. 勾股定理的逆定理
点
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是不是直
清
作用及
单
角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为
解
原理
读
形”来确定三角形的形状
（1）首先确定最长边，不妨设最长边长为 c；
（2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系：
三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
归纳总结
考
点
（1）运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角
清
单 三角形的一般步骤：①先判断哪条边最长（不妨设 c 为最
解
读 长边，a，b 为较短边）；②分别用代数方法计算出 a2+b2
3+4+5
不是直角三角形
符合
题意
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
返回目录
因为 a ∶b ∶c =3 ∶4 ∶5，
所以设 a=3k，b=4k，c =5k，所以 a2 +
C
b2=（3k）2+（4k）2=25k2，c2=（5k）
2=25k2，所以
a2+b2=c2，
所以△ABC 是直
不符
合题意
角三角形
12+22=5≠32=9，故不是勾股数
不符合题意
C
存在小数，故不是勾股数
不符合题意
D
92+402=1 681 =412，故是勾股数
符合题意
［答案］ D
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
勾股定理逆定理的实际应用
重 ■题型
难
例
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种
题
型 了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算
和 c2 的值；③判断 a2+b2 和c2 是否相等，若相等，则是
直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.
（2）判定一个三角形是直角三角形的方法：①有一个内
角为直角的三角形是直角三角形； ②两个内角互余的三角
形是直角三角形；③如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．
易 ■因受“勾股数”的影响致错
错
例 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（
易
混 ）
分
析
A． 3，4，5
B． 5，12，13
C． 0.3，0.4，0.5
D． 1，2，3
1.2 一定是直角三角形吗
易
错
易
混
分
析
返回目录
［解析］
A
B
C
D
32+42=52，能作为直角三角形的三边长
52+122=132，能作为直角三角形的三边
判定步骤 c2＝a2+b2
△ABC 是以∠C 为直角的直角三
角形；c2>a2+b2
△ABC 是以∠C 为钝角的钝
角三角形；c2<a2+b2
△ABC 是锐角三角形
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解中 a，b，c 及 a2+b2=c2 只是一种表现形
注意事项
式，不可认为是唯一的，如：若三角形三边长
易
错
易 数混淆.
混
分
领悟提能 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，
析
首先要计算较小两边长的平方和与最大边长的平方，然后
判断它们是否相等，切勿因“勾股数”产生的“惯性思维
”导致错解.
重
难
2=AD2+AB2=25，所以 BD=5 m，则 BD2 +CD2 =132 =BC2 ，
BD
题
型 所以 △BCD 为直角三角形，且∠CDB=90°，S
四边形
突
破
×3×4+ ×5×12=36（m2）.
ABCD=S△ADB+S△CBD=
答：这块土地的面积为 36 m2．
1.2 一定是直角三角形吗
（1）确定是三个正整数；
（2）确定最大数 c；
（3）计算较小两数的平方和 a2+b2 是否等于 c2
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
续表
考
点
清
单
解
读
（1）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3，
4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，
17；9，40，41 等；
注意
（2）若三角形的三边长恰为一组勾股数，则这个
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例1 在△ABC 中，BC =a，AB =c，AC=b，则不能作为
清
单
）
解 判定△ABC 是直角三角形的条件的是 （
读
A． ∠C=∠A-∠B
B． ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C． a∶b∶c=3∶4∶5
D．（a+b）（a-b）=c2
1.2 一定是直角三角形吗
解
读 方．
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
返回目录
对点典例剖析
典例2
下列各组数中，是勾股数的是 （
A． 4，5，6
B． 1，2，3
C． 1.5，2，2.5
D． 9，40，41
）
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
返回目录
［解题思路］
A
42+52=41≠62=36，故不是勾股数
不符合题意
B
重
难
题
型
突
破
思路点拨
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
解题通法
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形
重
难
题 三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，
型 因此，在一些实际问题中，要抽象出三角形及三边的长度，
突
破 从而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
事项
三角形为直角三角形，反之，不一定成立，切记
勾股数必须是正整数；
（3）如果 a，b，c 是一组勾股数，那么ka，kb，
kc（k为正整数）也是勾股数
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
归纳总结
考
点
判断一组数是不是勾股数要看两点：一是看它们是不是
清
单 正整数；二是看是否符合较小两数的平方和等于最大数的平
D
因为（a+b）（a-b）=c2，所以 a2-b2= c2， 不符合
所以 a2=b2+c2，所以△ABC 是直角三角形 题意
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
［答案］ B
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
考
点
清
单
解
读
■考点二
定义
判断
方法
返回目录
勾 股 数
满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数
1.2 一定是直角三角形吗
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
1.2 一定是直角三角形吗
■考点一
直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）
考
点 1. 勾股定理的逆定理
清
单
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2
解
读 文字语言
+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言
图示
因为 a，b，c 为△ABC 的三边长且 a2
突
破 产量．小明测得 AB=3 m，AD=4 m，CD=12 m，BC=13 m，又
已知∠A=90°．求这块土地的面积．
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
［解析］先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，
重
难
题 再用勾股定理的逆定理解答．
型
突
破
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
［答案］ 解：在题图上连接 BD，因为∠A=90°，所以
长
0.32+0.42=0.52，能作为直角三角形的
三边长
12+22≠32，不能作为直角三角形的三边
长
不符合题意
不符合题意
不符合题意
符合题意
1.2 一定是直角三角形吗
易
错
易
混
分
析
［答案］ D
［易错］ C
［错因］ 误认为直角三角形三边长不能是小数.
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
易错警示 判定直角三角形时，容易把三边关系与勾股
考
点
清
单
解
读
返回目录
［解题思路］
因为∠C=∠A-∠B，所以∠C+∠B=∠A，
A
因为∠C+∠A+∠B=180°，所以 2 ∠ A
不符
=180°，所以∠A=90°，所以 △ABC
合题意
是直角三角形
因为∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∠C+∠A
+ ∠B =180°，所以
B
∠C=180°×
=75°，所以△ABC
+b2=c2，所以△ABC 是直角三角形
返回目录
1.2 一定是直角三角形吗
返回目录
考 2. 勾股定理的逆定理
点
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是不是直
清
作用及
单
角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为
解
原理
读
形”来确定三角形的形状
（1）首先确定最长边，不妨设最长边长为 c；
（2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系：