复习下2.

提示: 令
f (u , v)
2
x
1 2
y
则
1 2 ( u u v ) , 即 f ( x, y )
sin x y
2
2
1 2
( x xy)
2
4. 设 f ( x, y ) x y 0,
, xy 0
则
xy 0
lim
x0
1
sin x x
2 2
提示: f x ( 0 ,1)
B
( A) 0 ; (C ) f1( 2 a, b) ; ( B ) 2 f1( a, b) ; ( D ) f1( a, b) .
提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案 原式 lim [ f1(a x, b) f1(a x, b) ]
x 0
2 f1(a, b)
实例分析
1. 设曲面的方程为 证明曲面在任意点
的法线与向量 OM 垂直 . 解: 令 则曲面在点 M 的法向量为
e ,
y x
n ( Fx , Fy , Fz )
而 OM ( x , y , z ),
n OM
ye
y x
0
故
n OM
曲面 F ( x, y, z ) 0 的法向量 : n ( Fx , Fy , Fz )
2 2
其中
f(

求
y x )
y x
y x
2
)
f (
y x
y x
f (
)
y x
2
f (
y x
)
y x
2 3
f (
y x
)
u y
f (
y x
);
5. 设
其中F 可微 , 求 x 解: F1 ( d x
由方程
z .x yd z zd y
y
z
2
确定 ,
.
2. 设曲面方程为
证明: 曲面在任一点
证明曲面上任一
处的法向量为
点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 .
1 1 1 , , 2 x0 2 y0 2 z0
切平面方程为 即
x x0 y y0 z z0 a
则在坐标轴上的截距之和为
3. 求曲线
x y z 3x 0 在点(1, 1, 1)处的切线 2 x 3 y 5z 4 0
则得唯一驻点 ( 1 , 3 ,
2 3
) , 由实际意义知 2 3 2
Vmax 1 3
8. 曲面
被平面
截成上下两部分, 求在上半部分曲面上的点到平 面的最大距离. 解法1. 问题是求
在条件
法1
的最大值 .
用拉格朗日乘数法 . 拉氏函数有两种构造法: 法2 考虑到曲面在平面上方, 设
8. 曲面
被平面
截成上下两部分, 求在上半部分曲面上的点到平 面的最大距离 . 解法2. 因曲面在最值点处的切平面平行于已知 平面, 故有
因最值存在 , 切点只此一个, 故

Fx 1 4 x 0
Fy 1 4 y 0
Fz 4 z 0
F 2 x 2 y 2 z 1 0
2 2 2
解得 M ( 1 经验证
1 2
, 1 , 0 ) ; M 2 ( 1 , 1 , 0 ) 2 2 2
为最大值 .
7. 设长方体在第一卦限内,三面在坐标面上, 其一顶点 在平面 上 , 求长方体的最大体积 . 则 解: 设长方体在已知平面上的顶点为 且满足条件 设 F x y z (6 x 2 y 9 z 18) , 令
复习–2 多元函数微分学
一. 多元函数微分学的基本概念 主要考点:
求定义域及复合函数式 求二元函数极限
偏导数及梯度的概念
连续、偏导、方向导数、可微之间的关系 (L. P228,4)
连续性
偏导数存在
偏导数连续
方向导数存在
可微性
实例分析
1. 函数
填空题 ( 1 - 5 )
的定义域为
x y 1 , y
因此曲线在点(1,1,1)处的切向量为
i T n1 n2 1 2 j 2 3 k 2 (16, 9, 1) 5
y 1 x 1 切线方程为 z 1 16 x 9 y z 24 0 16 9 1 法平面方程为 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
二. 多元函数微分法
主要考点:
具体函数计算偏导数或全微分
复合函数及隐函数求偏导数或全微分
注意:
1. 熟记导数及微分公式 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
实例分析
1. 设 z arctan x y , 求 提示:
gx g y fy dy dx dy
gz dz dx dz
0
fx g x
即
gy
解得:
dx dx gx gz fx dy dx g y gz f y
7. 设
试证 证:
可微 , 且满足方程 在极坐标系下只与 有关 .
u f ( x, y ) f ( r cos , r sin )
即:
4. 求函数
在区域 上的最大值 .
y
解: 令
o
D
2 x
则有 代入上式有
当
是D的内点时, 必有
即
(2 cos x 1)(1 cos x) 0
在D内部有唯一驻点
函数 u 在有界闭集 D 上连续, 故必存在最大值.
比较驻点与边界上的函数值 驻点处 :
边界 x= 0 : 边界 y= 0 : 边界 故函数在 D 上的最大值点为 最大值为

Fx 2 ( x 1) y 0
解得
( x, y, z ) (1, 0 , 0 ) ( x, y, z ) ( 0 , 2 , 0 )
2; d ( 0, 2, 0) 1
此两点到曲面的距离为 d
故d
( 0, 2, 0)
( 1, 0 , 0 )
1 为最小 .
6. 在曲面
y
D
o
2 x
5. 求点 ( 1, 2, 0 ) 到曲面
的距离 .
2 2 2
解: 问题为
设
d
2
( x 1) ( y 2) z
( min )
z2 x y 0
2 2
( 条件 )
F ( x 1) ( y 2) z
Fy 2 ( y 2 ) x 0 令 Fz 2 z 2 z 0 F z2 x y 0
z y
F1 y F2 )
6. 设变量x, y, z 满足方程
其中f , g 具有连续偏导数, 求
dz dx dy dx dz dx
dy dx f x 1 gx gz fy gy 1 gz
dy dx
.
解: 每个方程两端对 x 求导:
fx f y dy dx gz
沿着点 的方向导数具有最大值 .
上求出一点 M , 使 到
解: AB 1, 1, 0 , 其方向余弦为 则问题为
f
1 2
, 1 , 0 ,
2

l
2
2x
2
1 2
2 y 1 2 z 0
2
( max )
x y z 1
2
2
( 条件 )
设
令
5. 函数 f ( x, y ) x 2 x y y 2 在点 (1, 1) 处的梯度为
grad f (1,1) (1, 1) , 该点处各方向导数中的最大值是
grad f (1,1) 2 .
提示:
选择题 ( 6 -8 )
6. f ( x , y ) 在点 处偏导数 存在是 f ( x , y ) 在该点连续的 ( (A) 充分条件但非必要 ; (C) 充要条件 ;
z y
z x y z2Βιβλιοθήκη xz x xy
z x y
yz 1

x y

z 1 xy

y
1 xy 1 xy

xz 1

x
1 xy 1 xy

3. 设
求
解: 利用微分形式不变性
在点 ( 0 , 1 ) 处 z = 2 ,
4. 设
解:
u x
u x
z x z y z x
1 1 x
y
2
1 x 1 2
x
y y
y
yx
y
y 1

1 1 x
y

x
y
x ln x


z y

2(1 x )

y x
ln x
2. 设
解: 1
z x
2
求
xy z x ; 1 z y
2
xz x y
u r

f x x r 1 r (x

f y y r y f y )
f x
这说明
在极坐标系下与 r 无关 ,
只与 有关
三、多元函数微分法的应用
主要考点:
1.在几何中的应用
求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题