人大微积分课件10-5对坐标的曲面积分

x,
y,
z)dxdy

lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
)
xy
取上侧, cos 0, (Si )xy ( )xy ,
又 i z(i ,i )
n

lim
0
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
n

lim
0
i 1
R( i


四、计算法
设积分曲面Σ 是由
方程z z( x, y)所给
z
出的曲面上侧,Σ 在

xoy面上的投影区域
为Dxy ,函数 z z( x, y)在Dxy 上具
有一阶连续偏导数,
o
Dxy
被积函数R( x, y, z)在 x
Σ 上连续.
z f (x, y)
y (s)xy
n

R(
第i 小块曲面的面积),
在si 上任取一点
(i ,i , i ),z SiFra bibliotek ni
vi
(i ,i , i )
则该点流速为
vi
.

法向量为 ni .

o
y
x
vi v(i ,i , i )


P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
Dxy
2

2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 (假v定密度为 1).

A
n 0
流量
Av cos

Av

n 0

v

A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v(
x,
y,
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ 上取一小块
曲面 S, S在xoy面上的投影(S)xy为
( )xy 当cos 0 时
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.

0
当cos 0 时
其中( )xy 表示投影区域的面积.
1 x2 y2
(z2 x)dydz zdxdy
[(z2 x)( x) z]dxdy

{[1 ( x2 y2 ) x] ( x) 1 ( x2 y2 )}dxdy
4 Dxy
2
[ x2 1 ( x2 y2 )]dxdy

Dxy
如果由x x( y, z)给出, 则有
P( x, y, z)dydz P[x( y, z), y, z]dydz

D yz
如果由 y y(z, x)给出, 则有
Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx

Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
z
例 1 计算 xyzdxdy
其中Σ 是球面

2
x2 y2 z2 1外侧
y
在 x 0, y 0的部分. x 1
解
把分成1和
两部分
2
1 : z1 1 x2 y2 ;
2 : z2 1 x2 y2 ,
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy

物理意义:
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
性质:
1. Pdydz Qdzdx Rdxdy 1 2
所以 R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)cosdS


(注意取曲面的两侧均成立)
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy

(P cos Q cos Rcos )dS

向量形式

A

dS


A
,
i
)( Si
)
xy
存在,
则称此极限为函数R( x, y, z)在有向曲面Σ 上对
坐标x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
记作 R( x, y, z)dxdy,即

n

R(
x,
y,
z)dxdy

lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)(
Si
)
xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
,i
,
z ( i
,i
))(
i
) xy
即 R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
若取下侧, cos 0, (Si )xy ( )xy,
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
旋转抛物面z 1 ( x2 y2 )介于平面z 0 及 2
z 2之间的部分的下侧.
解 (z2 x)dydz

(z2 x) cosds




(z
2

x)
cos cos
dxdy

在曲面上, 有
cos
x
,
1 x2 y2
cos 1 .
第五节 对坐标的曲面积分
一、基本概念 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
三、概念及性质
n

P(
x,
y,
z)dydz

lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)( Si
)
yz
n

Q( x,
y, z)dzdx

lim
0
i
1
Q(
i
,i
,

i
)(
Si
)
zx
存在条件: 当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在. 组合形式:

ndS
或

A

ds


AndS

其
中
A

{

P,Q,
R},
n


{cos
,
cos


,cos
}
为
有向曲面Σ 上点(x, y,z)处的单位法向量,
dS

ndS

{dydz,
dzdx,
dxdy}
称
为
有
向
曲
面
元,
An
为向量A
在n
上的投影.
例 2 计算 (z2 x)dydz zdxdy,其中Σ 是

2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
2 xy 1 x2 y2dxdy Dxy
2 r 2 sin cos Dxy
1 r 2rdrd 2 .
15
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ 是由方程z z( x, y) 给出,Σ 在
y
x
曲面Σ 的法向量的方向余弦为
cos zx ,
1
z
2 x

z
2 y
cos zy ,
1
z
2 x

z
2 y
cos 1 .
1

z
2 x

z
2 y
对面积的曲面积分为
R( x, y, z)cosdS R[x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
z)

P(
x,
y,
z)i

Q( x,
y,
z)
j

R(
x,
y,
z)k
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ 上连续, 求在单位
时间内流向Σ 指定侧的流

体的质量 .
o
y
x
1. 分割 把曲面Σ 分成n 小块si (si 同时也代表
xoy面上的投影区域为Dxy , 函数z z( x, y) 在Dxy
上具有一阶连续偏导数, R( x, y, z)在Σ 上连续.
z n
z f (x, y)
对坐标的曲面积分为
ds
R( x, y, z)dxdy


R[ x, y, z( x, y)]dxdy o Dxy
Dxy
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2
2. P( x, y, z)dydz P( x, y, z)dydz


Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx


R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
vi niSi (i 1,2,, n).
n
2. 求和 通过Σ 流向指定侧的流量 vi niSi
i 1
n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成n 块小曲面Si(Si同时又表示第 i 块小曲面的面积),Si在xoy 面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si上任意取定的一点,如 果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
lim
0
i 1
R( i
,i