江苏专用2018版高考数学专题复习专题7不等式第43练不等式的解法练习文

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专题7-4 基本不等式及其应用讲-2018年高考数学一轮复

2018年高考数学讲练测【江苏版】【讲】第七章不等式第04节基本不等式及其应用【考纲解读】理解：【直击考点】题组一常识题1．函数y ＝x ＋4x(x ＞0)的最小值为________．【解析】∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故函数y ＝x ＋4x (x ＞0)的最小值为4.2．一段长为40 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．【解析】设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝40，即x ＋y ＝20，∴ 矩形的面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝100，当且仅当x ＝y ＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m 2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.【解析】设两直角边长分别为a m ，b m ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴ l＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．【解析】设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4x m ，由题意可得y ＝4×120＋2⎝⎛⎭⎫2x ＋8x ×80＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320×2x ·4x ＝480＋320×24＝1760，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，y min＝1760.故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元．题组二常错题5．若x ＞－1，则x ＋4x ＋1的最小值为________．【解析】x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．6．已知0<x <1，则y ＝lg x ＋4lg x的最大值是________．【解析】∵0<x <1，∴lg x <0，则－lg x >0. ∴－y ＝－lg x ＋4－lg x≥2（－lg x ）×4－lg x＝4，当且仅当－lg x ＝4－lg x ，即x ＝1100时，等号成立，∴y max ＝－4.7. 函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的最小值为 _________________________.【解析】当sin x ＝4sin x 时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设t ＝sin x ，则t ∈(0，1]，y ＝t ＋4t 在(0，1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取最小值5. 题组三常考题8．设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是__________．【解析】将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，所以ab ＝1且b ≠1.由基本不等式得a ＋b >2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．9．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于________．【解析】依题意有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·1a ＋1b ＝1＋a b ＋ba＋1≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a＝b ＝2时等号成立．10．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.考点2 利用基本不等式求最值常见结论：1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)2a b a b a b+≤≤>>+ 考点3 基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【答案】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴2bc ac c a b +≥=，2ac ab a b c +≥=，2bc ab b a c +≥=. ∴bc ca aba b c a b c++≥++.【1-2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc ca aba b c a b c++≥++. 【1-3】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a=b=2时等号成立．【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【温馨提醒】1. 在运用ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log 2x ＋1og 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．【答案】4【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝1，即log 2xy ＝1，所以xy ＝2且x ＞0，y ＞0，于是x ＋2y ≥2x ·2y ＝4，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时取等号，所以x ＋2y 的最小值为4. 【2-2】设01x <<，函数411y x x=+-的最小值为．【答案】 9【2-3】已知0,0,lg2lg8lg2xyx y >>+=，则113x y+的最小值是．【答案】4【解析】由lg 2lg8lg 2x y +=，得()lg 28lg 2x y⋅=，即322x y+=，亦即31x y +=,且0,0x y >>，从而()1111332333y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭24≥+，当且仅当33y x x y =，又31x y +=，即12x =，16y =时，113x y+取得最小值4，注意乘“1”法技巧的使用. 【2-4】若a>0，b>0，且a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为．【答案】2【解析】由2＝a 0<ab≤1，令t ＝ab ，t ∈(0,1]，则y ＝t ＋1t在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y min ＝2，故选A.【2-5】设x>0，y>0，且x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是．【答案】2【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋a x(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为x , 4x . 则该容器的最低总造价是808020160y x x=++≥.当且仅当2x =的时区到最小值.【3-2】如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M -P AB ，三棱锥M -PBC ，三棱锥M -PCA 的体积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，且1x ＋ay≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为．【答案】4【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4．【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y （万元）与营运年数)(*N x x ∈满足25122-+-=x x y ，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？【答案】5年【解析】年平均利润为2122525()12122,x x f x x x N x x *-+-==--+≤-=∈, 当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元．【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．【易错试题常警惕】忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.【答案】(1)3＋22(2)1＋2 6【解析】(1)∵x>0，y>0，温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．。

精选江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式教师用书理苏教版

第七章不等式 7.1 不等关系与不等式教师用书理苏教版1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0).2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x b >0，m >0，则 ①b a b －ma －m(b －m >0). ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( ×) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.(√) (6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1.(教材改编)已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是______________. 答案 a >－b >b >－a解析 ∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .2.(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的____________条件. 答案充分不必要解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3.(2016·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是________. ①a －b >0; ②a 3＋b 3>0； ③a 2－b 2<0; ④a ＋b <0. 答案 ④解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.4.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________. 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴a <－a 2<a 2<－a .5.(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c 0，试比较a 与1a的大小.解因为a －1a ＝a 2－1a＝a －a ＋a，因为a >0，所以当a >1时，a －a ＋a>0，有a >1a；当a ＝1时，a －a ＋a ＝0，有a ＝1a；当0<a <1时，a －a ＋a <0，有a <1a.综上，当a >1时，a >1a；当a ＝1时，a ＝1a；当0<a <1时，a <1a.思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________.(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________. 答案 (1)A ≥B (2)a 0,1618>0， ∴1816<1618，即a ac; ②c (b －a )<0； ③cb 2<ab 2;④ac (a －c )>0. (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立.(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab 0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________. 答案 3解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误. ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确.∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确.∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确. 方法二取特殊值. 题型三不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为________.答案①②③解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________. 答案(－4,2) (1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.引申探究1.将已知条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围.解∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0).2.若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232).思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.(1)若a 1b； ②a 2<ab ； ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1； ④a n >b n. (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c ). 其中所有正确结论的序号是________. 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >c b，①正确；构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确.6.利用不等式变形求范围典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 错解展示解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③ ②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12， ∴f (－2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1.(教材改编)当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系为______________. 答案 x 3＞x 2－x ＋1 解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1).又∵x ＞1，故(x －1)(x 2＋1)＞0，∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.2.(2016·镇江模拟)若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是__________. 答案 (9,30)解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 3.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是________.①xy >yz; ②xz >yz ；③xy >xz; ④x |y |>z |y |.答案 ③解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件.答案充分不必要解析由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c ，则a >b ；③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b；④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确；当a <0且b <0时，可知④不正确.7.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是________.①a ＋1b >b ＋1a ； ②b a >b ＋1a ＋1； ③a －1b >b －1a ； ④2a ＋b a ＋2b >a b. 答案 ①解析取a ＝2，b ＝1，排除②与④；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立. 8.若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是________.①1a <1b； ②log 2a >log 2b ； ③a 2＋b 2≤2a ＋2b －2; ④b <ab <a ＋b 2<a .答案 ③ 解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴③一定不成立.9.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 解析当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1，1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74. 10.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________.答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确.11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为____________.答案 8(x ＋19)>2 200解析因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19) km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19) km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示.12.已知－1<2x －1<1，则2x－1的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析－1<2x －1<1⇒0<x <1⇒1x >1⇒2x>2 ⇒2x－1>1. 13.已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________(用区间表示). 答案 [3,8]解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8， ∴z 的取值范围是[3,8].14.已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小. 解 f (x )＝m (1＋1x －1)，f (a )＝m (1＋1a －1)， f (b )＝m (1＋1b －1). 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1. ①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，f (a )<f (b ). ②当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，f (a )>f (b ). 综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b ).。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题7 不等式第47练含解析

2(∁R P )∩Q ＝____________.2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．3．(2016·南京一模)若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．4．(2016·徐州质检)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是______________． 5．(2016·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n的最小值为________．6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________． 7．(2016·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________．8．(2016·镇江模拟)设函数f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b 2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是________．(填序号) ①q ＝r ＜p; ②q ＝r ＞p ； ③p ＝r ＜q; ④p ＝r ＞q .9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x －1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10．(2016·海口一模)已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实常数)．(1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )在区间2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；(3)设m ＜0，若不等式f (x )≤kx 在x ∈12，1]时有解，求k 的取值范围．答案精析1．(2,3] 2．4 3解析由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.3．44．(－∞，－8]解析分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8.当且仅当x ＝log 32时取等号．5．9解析易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9.6．2 2解析由函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，可知a ＞1＞b ＞0，所以lg a＝－lg b ，b ＝1a ，a －b ＝a －1a ＞0，则a 2＋b 2a －b＝a 2＋(1a )2a －1a＝a －1a＋2a －1a≥22(当且仅当a －1a ＝2a －1a，即a ＝2＋62时，等号成立)．7．3 解析设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以 ⎩⎨⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值3－0＝3. 8．③解析因为0＜a ＜b ，所以a ＋b 2＞ab ，又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f (a ＋b 2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .9．解 (1)当0＜x ＜80，x ∈N *时， L (x )＝500×1000x 10000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1000x 10000－51x －10000x ＋1450－250＝1200－(x ＋10000x)，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80，x ∈N *)，1200－(x ＋10000x )(x ≥80，x ∈N *).(2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000， ∴当x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1000＞950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋m x＋2，PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋(x ＋mx)2＝2x2＋m2x2＋2m≥22|m|＋2m＝2，当m＞0时，解得m＝2－1；当m＜0时，解得m＝－2－1.所以m＝2－1或m＝－2－1. (2)由题意知，任取x1，x2∈2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋mx2＋2－(x1＋mx1＋2)＝(x2－x1)·x1x2－mx1x2＞0.因为x2－x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2－m＞0，即m＜x1x2.由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4. 所以m的取值范围是(－∞，4]．(3)由f(x)≤kx，得x＋mx＋2≤kx.因为x∈12，1]，所以k≥mx2＋2x＋1.令t＝1x，则t∈1,2]，所以k≥mt2＋2t＋1.令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈1,2]，于是，要使原不等式在x∈12，1]时有解，当且仅当k≥g(t)]min(t∈1,2])．因为m＜0，所以g(t)＝m(t＋1m)2＋1－1m的图象开口向下，对称轴为直线t＝－1m＞0.因为t∈1,2]，所以当0＜－1m≤32，即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5；当－1m ＞32，即－23＜m ＜0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3.综上，当m ≤－23时，k ∈4m ＋5，＋∞)；当－23＜m ＜0时，k ∈m ＋3，＋∞)．。

2018年高考数学(文)(江苏专用)总复习教师用书第七章不等式第3讲基本不等式及其应用Word版含答案

第3讲基本不等式及其应用考试要求 1.基本不等式的证明过程，A 级要求；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C 级要求．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(3)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( )解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5.(5)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分条件．答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．解析 xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立．答案 813．(必修5P106习题16改编)设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值是________．解析由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 44．(2017·宿迁期末)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3. 答案 35．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大．解析设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案 15152考点一配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤ －2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝tt 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．(2)(2017·南京模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． (1)解析法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.法二由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y 5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋yy ＋－6＝6，当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．【训练2】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________．(2)(2017·盐城模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．解析 (1)(常数代换法) 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1，所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)8考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】 (2017·苏、锡、常、镇四市调研)运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解．【训练3】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”．∴最大车流量F 为1 900辆/时． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时．答案 (1)1 900 (2)100[思想方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性． [易错防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题 1．下列不等式：①lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)；②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1＜1(x ∈R )．其中一定成立的是________(填序号)．解析当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确．答案 ③2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，所以2x ＋y≤14，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y ≤－2. 答案 (－∞，－2]3．(2017·镇江期末)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为________．解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．答案 94．(2015·湖南卷改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．解析依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.答案 2 25．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为________．解析 xx ＋y ＋2y x ＋2y＝x x ＋2y ＋2y x ＋y x ＋y x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．答案 4－2 26．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 27．(2017·苏州调研)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________．解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·m n ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m＋1n取得最大值－4. 答案－48．若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞二、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 10．(2017·苏北四市联考)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x >1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知知观察者离墙x 米，且x >1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2.5x－0.5x1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52>1时，等号成立．又因为tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52米时，视角θ最大． (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－ax，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2xx 2＋a －a －＝12，所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4，又因为x >1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3,4]．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________．解析由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案 112．(2017·衡水中学调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b2的最小值为________．解析不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1,1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b 2的最小值为8.答案 813．(2017·盐城中学月考)a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为________．解析依题意，a 2＝1－4b 2，故a 2＋4b 2＝1≥4ab ，故ab ≤14，2ab |a |＋2|b |≤2ab 22ab ≤24，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22，b ＝－24时，等号成立．答案2414．(2017·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连接AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？解设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .则T ＝2×105·S ＋105·(1－S )＝105·(S ＋1)，所以只要求S 的最小值即可得T 的最小值．设∠EAB ＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α，则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12tan α.又∠DAF ＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan(45°－α)．所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α.令x ＝tan α∈(0,1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＋1－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号．此时T ＝2×105，所以三个区域的总投入T 的最小值约为2×105元.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第七章

1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件.( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )1.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________. 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y 2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2.(教材改编)若0<x <1，则x (3－2x )的取值范围是____________. 答案 (0，324]解析由0<x <1知3－2x >0，故x (3－2x )＝12·2x (3－2x ) ≤12·2x ＋(3－2x )2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立.∴0<x (3－2x )≤324.3.(教材改编)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，函数z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是____. 答案 9解析 z ＝3x ＋33y ＋3≥23x ·33y ＋3＝23x ＋3y＋3＝232＋3＝9，当且仅当3x ＝33y ，即x ＝1，y＝13时，z 取最小值. 4.若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______. 答案 2 2解析因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取等号，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5.(教材改编)①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x ≥2；②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确结论的序号是________. 答案 ①③解析 ①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]，所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立； ③⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪4x ＝4，当且仅当x ＝±2时“＝”成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)23 (2)1 (3)23＋2解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋(4－3x )2]2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立.命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________.答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 引申探究1.条件不变，求(1＋1a )(1＋1b )的最小值.解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋ab )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.2.已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝4，求a ＋b 的最小值.解由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1.∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号.3.将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b 的最小值.解 ∵a ＋2b ＝3， ∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________.(2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________.答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b＝a4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立.又a ＋b ＝2，b >0，∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值. 题型二基本不等式的实际应用例3 (1)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z 4lg x ＋lg zlg y 的最小值为________.(2)(2016·江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，且点P 到平面ACD ，平面BCD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y 的最小值是____.答案 (1)98(2)2＋ 3解析 (1)由题意得z 2＝xy ，lg x >0，lg y >0， ∴lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝12(lg x ＋lg y )4lg x ＋12(lg x ＋lg y )lg y ＝18＋lg y 8lg x ＋12＋lg x 2lg y ＝58＋lg y 8lg x ＋lg x 2lg y ≥58＋2116＝98，当且仅当lg y 8lg x ＝lg x2lg y ，即lg y ＝2lg x ，即y ＝x 2时取等号.(2)过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，则O 为△BCD 的重心，所以OB ＝23×32×6＝2，所以AO ＝(6)2－(2)2＝2. 又V P —BCD ＋V P —ACD ＝V A —BCD ，所以13S △BCD ·y ＋13S △ACD ·x ＝13S △BCD ·2，即x ＋y ＝2.所以3x ＋1y ＝12(3x ＋1y )(x ＋y )＝12(4＋x y ＋3yx)≥2＋3，当且仅当x ＝3－3，y ＝3－1时取等号.思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.(1)设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y≥m 恒成立，则实数m 的最大值为_____.(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 答案 (1)94(2)8解析 (1)1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y 4)＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2×2)＝94，当且仅当y ＝2x ＝83时等号成立.(2)年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－(x ＋25x )＋18，∵x ＋25x≥2x ·25x＝10， ∴y x ＝18－(x ＋25x )≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，取等号.题型三基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 若不等式x ＋2xy ≤a (x ＋y )对任意的实数x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为________. 答案5＋12解析由题意得a ≥x ＋2xyx ＋y＝1＋2yx 1＋y x 恒成立.令t ＝y x (t >0)，则a ≥1＋2t 1＋t 2，再令1＋2t ＝u (u >1)，则t ＝u －12，故a ≥u 1＋⎝⎛⎭⎫u －122＝4u ＋5u －2.因为u ＋5u ≥25(当且仅当u ＝5时等号成立)，故u ＋5u －2≥25－2，从而0<4u ＋5u －2≤425－2＝5＋12，故a ≥5＋12，即a min ＝5＋12.命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (1)12 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(2016·江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解 (1)设每件定价为t 元，依题意得(8－t －251×0.2)t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元. (2)依题意知，x >25，且ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，等价于a ≥150x ＋16x ＋15(x >25).由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.8.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________.(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________.错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x ≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26].答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为[1＋26，＋∞). 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.1.(教材改编)已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的序号是________. ①a 2＋b 2>2ab ； ②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b >2ab ； ④b a ＋a b ≥2. 答案 ④解析因为a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2.对于②，③，当a <0，b <0时，明显错误. 2.(教材改编)用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是_____ cm 2. 答案 16解析设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x )cm ，面积S ＝x (8－x ).由于x >0,8－x >0，可得S ≤(x ＋8－x 2)2＝16，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，S max ＝16.所以矩形的最大面积是16 cm 2.3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________. 答案 92解析(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6即a ＝－32时，等号成立.4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为______.答案 2解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，y 取到最小值2.5.设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”).答案 ≤解析因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .6.设f (x )＝x 2＋x ＋1，g (x )＝x 2＋1，则f (x )g (x )的取值范围是________.答案 [12，32]解析 f (x )g (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋xx 2＋1，当x ＝0时，f (x )g (x )＝1；当x >0时，f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x ≤1＋12＝32；当x <0时，x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2，则f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x ≥1－12＝12.∴f (x )g (x )∈[12，32]. 7.设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是________.答案 4解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a (a －b )≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，即取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件. 8.(2016·南京一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为_____. 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号). 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号). 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9.已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值为_____.答案 4解析由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立.10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a ；2016年计划在2015年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b2的大小关系是________. 答案 q ≤a ＋b 2解析设2014年的年产量为1，则2016年的年产量为(1＋a )(1＋b )， ∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴q ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”.11.(2016·泰州模拟)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为______.答案 3解析因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b ＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立.12.(2016·南通模拟)设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________.答案 6＋4 2解析方法一因为x 24－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2－2xy x 24－y 2＝3－2y x 14－(y x)2，令k ＝y x ∈(－12，12)，则3x 2－2xy ＝3－2k 14－k 2＝4(3－2k )1－4k 2，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2－2xy ＝4t－t 2＋6t －8＝4－(t ＋8t)＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立. 方法二令t ＝3x 2－2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 24－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4－6t )2－32t 2≥0，6t －416>0，得t 2－12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋322满足题意.方法三因为x 24－y 2＝1＝(x 2＋y )(x2－y )，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t，从而⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝12(t －1t )，则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t2≥6＋42，当且仅当t 2＝2时等号成立.13.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是____. 答案 8解析在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得： tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.14.已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数).(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值. 解 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，整理为(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，(x ＋3a)(x －a )<0，∴解集为{x |－3a <x <a }；当a <0时，(x ＋3a )(x －a )>0，解集为{x |x >－3a 或x <a }.(2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0). ∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a＝2a 2＋3＋2a . 当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，等号成立，即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有：2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1.。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题7 不等式第42练含解析

1．(2016·镇江模拟)设A ＝2a ＋2b ，B ＝a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________．2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号) ①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________． 4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号)①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)；③sin x ＞sin y ；④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac －a ＞b c －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是________．(填序号)6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧ b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2；③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －me x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________．9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a (1＋1a)； ②log a (1＋a )＞log a (1＋1a )；③a 1＋a ＜a 1＋1a； ④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中成立的是________．10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b a的取值范围是________． 13．(2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n ＋b n 的大小关系为______________．(用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎨⎧ a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎨⎧ a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ，又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ，∴1c －a ＞1c －b ＞0.又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b ，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －a ab ＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故为真．6．③解析不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确．7．(－∞，0)解析由x －me x ＞x ，得－m ＞e x ×x －x (x ＞0)，令f (x )＝e x ×x －x (x ＞0)，则－m ＞f (x )min ，f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x －1≥2×e x －1＞0(x ＞0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m ＞0，m ＜0.8．P ＞Q解析由题意可知a ＞1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)＞0，∴a 3－1＞a 2－1，∴log a (a 3－1)＞log a (a 2－1)，即P ＞Q .9．②④解析因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a )＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，则1＋a ＜1＋1a，可知②④成立．10．z ＞y ＞x解析方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x .同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81. 又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27. 12．23，32] 解析两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2， ①b a≤1＋c a ≤2·b a ， ②将②乘(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－b a ，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n ＞a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ＞0，b n ＞0，c n ＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n.∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c ＜1.∵n ∈N ，n ＞2，∴(a c )n ＜(a c )2，(b c )n ＜(b c )2.∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n ＜a 2＋b 2c 2＝1.∴a n ＋b n ＜c n .14．C ＞A ＞B ＞D解析由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D .∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a .又∵1＋a ＞0，－a ＞0，(a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B . ∵B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a＝a [(a －12)2－54]1－a .又∵－12＜a ＜0，∴1－a ＞0.又∵(a －12)2－54＜(－12－12)2－54＜0，∴B ＞D .综上所述，C ＞A ＞B ＞D .。

2018年高考数学江苏省专用复习专题测试课件：第七章

x 2
a 在R上恒成立等价于-x2+x-3≤ ①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥ +a≤x2-x+3在R上恒成立, 即有-x2+ x-3≤a≤x2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= 1 ,可得在x=
1 2 3 2 1 2 1 1 44
.
答案 [-2,2]
a , 解析令g(x)=
x 2
当a≤0时,如图1所示, 若f(x)≥g(x)恒成立,则g(0)≤2,得a≥-2, ∴-2≤a≤0;
图1
2, 当a>0,x≥1时,如图2所示, f(x)=x+ x
则f '(x)=1- ,得x=2,此时y=3, 2 ,由f '(x)= 即点B(2,3),则g(2)= +a≤3, 得a≤2,∴0<a≤2.
. 答案 8
解析 ∵sin A=2sin Bsin C, ∴sin(B+C)=2sin Bsin C,
即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,
亦即tan B+tan C=2tan Btan C, ∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
tan tan =- =B , C 1 tan B tan C tan B tan C tan B tan C 1
设总费用为y万元,则y= ×6+4x=4 240. x≥
600 x

900 x
900 当且仅当x= ,即x=30时,等号成立. x
易错警示 1.a+b≥2 ab (a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.

(江苏专用)2018年高考数学总复习专题7.1 不等式关系与不等式解法_基本不等式及应用试题(含解析)

专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用【三年高考】1．【201.7高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 2.【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-3.【2013江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)．【解析】∵函数f(x)为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩ 由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．.4. 【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.5．【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.6．【2017天津，理12】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.7．【2016高考浙江理数改编】已知a ，b ，c 是实数，则下列命题①“若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；②“若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；③“若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；④“若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”中正确的是．【答案】④考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．8．【2016高考上海理数】设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为__________. 【答案】(2,4) 【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4). 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.9.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则,,p q r 的大小关系是_____________.【答案】p r q =<10.【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数的最大值是_________. 【答案】4【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数的最大值是4.11.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为__________. 【答案】1812.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．对不等式性质的考查，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，一般是选填题，属于容易题．对不等关系的考查，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，一般是选填题，部分省市在大题中出现，属于容易题或中档题．对不等式解法的考查，主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题．问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，也可能与导数结合出一道解答题．【2018年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．【考点1】不等式性质【备考知识梳理】1．不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒> （3）a b c a c b +<⇔<-， a b a c b c >⇔+>+ （4）000c ac bca b c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪>=⇒=⎨⎪<⇒<⎩2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+ （２）减法法则：,a b c d a d b c >>⇒->-，（３）乘法法则：0,00a b c d ac bd >>>>⇒>>（４）除法法则：0,00a ba b c d d c>>>>⇒>>，（５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>⇒>>∈≥（６）开方法则：00(,2)a b n N n >>⇒>>∈≥【规律方法技巧】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．【考点针对训练】1.如果0a b <<,那么下列不等式①11a b <②2ab b <③2ab a -<-④11a b-<-成立的是．【答案】④【解析】因0a b <<，故110b a a b ab --=>11a b⇒>，①错，④正确，22()b ab b b a b ab -=-⇒<，②错；222()0a ab a a b a ab a ab -=->⇒>⇒-<-，③错．2. 设10<<②11a b<③1b a >④()lg 0b a -<成立的是 . 【答案】④ 【解析】取11,42a b ==，代入可知①②③错，又∵10<<<b a ，∴()01lg 0b a b a <-<∴-<，故选④.【考点2】不等关系【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,><≠≥≤，,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现．【考点针对训练】1.若a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则下列不等式①22ac bc <②11<a b ③>b aa b④22a ab b >>正确的是．【答案】④【解析】试题分析：因为0a b <<,所以11>,1,1,b a a b a b <>即11<a b ，>b aa b均不成立；当20c =时，22ac bc <不成立；故填④.2.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,lnln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是______________. 【答案】a c b <<【考点3】一元二次不等式解法【备考知识梳理】对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.【规律方法技巧】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】1.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b<>或．（1）求,a b 的值；（2）当c ∈R 时，解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<（用表示）．的解集为{}2x x c <<，当2c <时，所求不等式的解集为{}2x c x <<，当2c =时，所求不等式的解集为∅.2.若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数的最大值为．【答案】422-【考点4】基本不等式及应用【备考知识梳理】1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【考点针对训练】1.已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0的最大值为．【答案】12≤=，当且仅当322b ac ==的最大值为122.设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是．【答案】6+【解析】令2x y t +=，则12x y t -=，所以()1112t t x t t y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，，则222432626x xy t t -=+++≥【两年模拟详解析】1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】整理不等式可得： .问题等价于在区间上，过点斜率为的直线恒在抛物线的上方，注意到点三点共线，据此可得实数a 的取值范围是，即12．【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为．【答案】7 【解析】，所以（当且仅当时取等号）而（当且仅当时取等号），因此（当且仅当时取等号），即的最小值为7.3．【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．【答案】5【解析】11sin 22ABCS ab C ∆====，而222228242ab a b c ab c ≤+=-⇒≤-，所以22ABCS ∆≤=≤=，当且仅当28,5a b c ==时取等号 4. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 42-=)(，则不等式x x f >)(的解集为．【答案】()()5,05,-+∞【解析】当0< x 时，]4[)()(2x x x f x f +-=--=，所以⎩⎨⎧>->x x x x402或⎩⎨⎧>+-<x x x x )4(02，解得5>x 或05<<-x ，解集为),5()0,5(+∞-U5. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】不等式42<-x x a ln log （0>a 且1≠a ）对任意),(1001∈x 恒成立，则实数的取值范围为．【答案】()140,1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】)100ln ,0(ln )100,1(∈⇒∈x x ，所以x xa x x a ln ln 4ln 14ln log 2+<⇒<-，又 4ln ln 42ln ln 4=⨯≥+x xx x ，当且仅当)100ln ,0(2ln ∈=x 时取等号，因此 104ln 1<<⇒<a a或41e a > 6. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知不等式222≥+-+-)ln ()(λn m n m 对任意R ∈m ，),(+∞∈0n 恒成立，则实数λ的取值范围为．【答案】1λ…【解析】不等式恒成立等价于直线λ+=x y 上任一点到曲线x y ln =上任一点距离最小值不小于2，易得直线1-=x y 与曲线x y ln =相切，所以11,22|1|≥⇒->≥+λλλ 7. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】对任意的π(0,)2θ∈，不等式2214|21|sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】[4,5]-8. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎨+≤⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则z ax y =+的最小值为_______. 【答案】1-【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵z ax y =+取得最大值的最优解有两个，∴11a a -=⇒=-，∴当1x =，0y =或0x =，1y =-时，z ax y x y =+=-+有最小值1-．9. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若tan ,tan ,tan A B C 依次成等差数列，则tan tan tan A B C 的取值范围为．【答案】)+∞ 【解析】由题意得tan tan 2tan tan tan 2tan()tan tan 2tan tan 1tan tan A CB AC A C A C A C A C+=+⇒-+=+⇒-=+-因为锐角三角形ABC ，所以tan 0,tan 0A C >>，因此tan tan 3A C =，2tan tan B B ≥⇒≥（当且仅当tan tan A C =时取等号），从而tan tan tan A B C ≥10. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知,x y ∈R 且22231x xy y +-=,则22z x y =+的最小值为_______.【解析】由22231x xy y +-=得(3)()1x y x y +-=,可设13,,(0)x y t x y t t+=-=≠,因此222231521,,4484t t t t t t x y z x y +-++===+=≥=,当且仅当2t =取等号,即22z x y =+的最小值为14. 11. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知21,,26x y x y x y+∈+++=R ，则2x y +的最大值为_____________．【答案】4【解析】令2(0)x y m m +=>，则216m x y +=-，因为2121214()(4)x y y x x y x y m m x y++=+=++18(4m m≥+=，当且仅当2x y =时取等号，所以286,680,24m m m m m-≥-+≤≤≤，即2x y +的最大值为4（当且仅当22x y ==时取等号）．12．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，y 满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则yx 的最大值是．【答案】 2【解析】在直角坐标系内作出不等式组2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），其中yx表示可行域内点(,)x y 与原点O 连线的斜率，由图可知，OC 斜率最大，422OC k ==，所以yx最大值为2．13．【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知,,,a b c d ∈R 且满足123ln 3=-=+cd b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 . 【答案】e9ln 59 【解析】由题设可得点Q P ,分别在曲线c d a a b 23,ln 3=-+=上.设点),(),,(d c Q b a P ，则问题转化为求曲线a a b ln 3+=上的动点P 与直线32+=c d 上的动点Q 之间的距离的最小值的平方问题.设点)ln 3,(t t t M +是曲线a a b ln 3+=的切点，因ab 31/+=，故在点M 处的切线的斜率t k 31+=，由题意231=+t，即3=t 时，也即当切线与已知直线32+=c d 平行时，此时切点)3ln 33,3(+M 到已知直线32+=c d 的距离最近，最近距离d ==，也即22)()(d b c a -+-的最小值为2229(2ln 3)9ln 553e d -==.14. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设0,0a b >>，点(,)P a b 在过点(1,1),(2,3)A B --的直线上，则224S a b =+的最大值为．【答案】5415. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为．12【解析】11,2,,22c c b c a b c a b a b b c a b b c +≥+≥+≥≥++++，2b c b c c a b c b c+≥+++，令1211111,221221222b bc t t t c c b c t t +=+=+=+-≥=+++当且仅当12t =时取“=”，则b a c c b ++1216．【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式2ln x x x +>的解集为 . 【答案】(1,)+∞【解析】当01x <≤时，2x x <，ln 0x ≤，所以2ln x x x +≤，当1x >时，2x x >，ln 0x >，所以2ln x x x +>，因此原不等式的解集为(1,)+∞．17．【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知x ，y 是正整数，216max{,}()t x y x y =-，则t 的最小值为 . 【答案】8【解析】由题意只要考虑16()y x y -是正数，即0x y ->的情形，因为16()y x y -221664()2y x y x≥=+-，所以2221664max{,}max{,}()t x x y x y x =≥-，当28x =时，22648x x==，所以min 8t =． 18【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】已知实数0y x >>，若以x y +，，x λ为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为．【答案】[12，【解析】根据已知条件得：x y x x x y x y x λλλ⎧+>>+++>⎪⎩①② ，0y x x y >>∴+=>，0x y x λλ>∴++>，0,0y x λ>>> 都成立；∴由①得，211()y yx xλ<+++，令1110y t t f t t f t x =>=+>'=，，（）（），∴()f t 在1+∞（，）上单调递增；()()122f t f λ∴∴≤>= 由②得211()y y x x λ>+-+，令11y t t g t t x =>=+'=>，，（）（），∴g t （）在1+∞（，）单调递增； ()()1,1,1g t t g t g t λ=∴→∞→∴<∴≥=+，（），综上即λ的取值范围为[12+，19．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 . 【答案】3【解析】令log a b t =，又1＞＞b a 得01t <<，32log 3log 27a b b a t t +=+=解得12t =，即21log ,2a b a b ==，21111311a ab a +=-++≥--，当且仅当2a =时取“=” 20．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．【答案】(－2，0)∪(2，＋∞)．【解析】当x <0时，()()()2log 1f x f x x =--=--, f (x )<0,即()2log 10x --<，解得20x -<<；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0,即21log 0x -<，解得2x >，综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)．21．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为．【答案】12- 【解析】令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此222(88)32(45)0247001t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-，当1t =-时，2440045t y x t -==>=>-，，因此12x y +1-． 22．【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 .【答案】4【解析】由已知222log log log 1xy x y =+=，2xy =，又0x y ->，所以222()2x y x y xyx y x y+-+=--4()x y x y =-+-4≥=（当且仅当2x y -=时取等号），所以最小值为4.【一年原创真预测】1.若正实数,a b 满足1ab =，则224ba--的最大值为 .【答案】14【解析】由题可得()2242b a b a--+-=,因为()22a b a b a b +≥+≥⇒-+≤-()()212224a b a b -+-+-⇒≤⇒≤,当且仅当1a b ==时, 224b a--取得最大值14. 【入选理由】】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力，以及学生逻辑推理能力.本题是基本不等式与指数函数结合，难度不大，故选此题.2.若关于x 的不等式0xe ax b --≥对任意实数x 恒成立，则ab 的最大值为_________. 【答案】2e【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，考查了不等式的性质的应用，同时又是一个函数性质题，有一定的难度，但构思比较巧，故选此题.3.已知||||2a b ==，对任意x R ∈，若不等式||1a xb +≥恒成立，则a b ⋅的取值范围是___________.【答案】(,-∞-，或)⎡+∞⎣【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，巧妙的把向量，二次函数，不等式有机的结合在一起，难度中等，此题的解题妙处就在把向量的模的问题转化为二次函数来处理，的确是一个好题，故选此题.。

江苏专用2018版高考数学专题复习不等式第47练不等式综合练练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题7 不等式第47练不等式综合练练习理1．(2016·泰州模拟)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝____________.2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．3．(2016·南京一模)若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为________．4．(2016·徐州质检)若关于x 的方程9x＋(4＋a )3x＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是______________．5．(2016·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n的最小值为________．6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________．7．(2016·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ≥－1，x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________． 8．(2016·镇江模拟)设函数f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是________．(填序号)①q ＝r ＜p; ②q ＝r ＞p ； ③p ＝r ＜q; ④p ＝r ＞q .9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10．(2016·海口一模)已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实常数)．(1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值； (2)若函数y ＝f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；(3)设m ＜0，若不等式f (x )≤kx 在x ∈[12，1]时有解，求k 的取值范围．答案精析 1．(2,3] 2．4 3解析由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y3，λ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.3．44．(－∞，－8]解析分离变量得－(4＋a )＝3x＋43x ≥4，得a ≤－8.当且仅当x ＝log 32时取等号．5．9解析易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9. 6．2 2解析由函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，可知a ＞1＞b ＞0，所以lg a ＝－lg b ，b ＝1a ，a －b ＝a －1a ＞0，则a 2＋b 2a －b＝a 2＋1a2a －1a＝a －1a ＋2a －1a ≥22(当且仅当a －1a ＝2a －1a，即a ＝2＋62时，等号成立)． 7．3 解析设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值3－0＝3. 8．③解析因为0＜a ＜b ，所以a ＋b2＞ab ，又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f (a ＋b2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .9．解 (1)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －＜x ＜80，x ∈N *， 1 200－x ＋10 000xx ≥80，x ∈N *(2)当0＜x ＜80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80，x ∈N *时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000＞950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋mx＋2，PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋(x ＋mx )2＝2x 2＋m 2x2＋2m ≥22|m |＋2m ＝2，当m ＞0时，解得m ＝2－1；当m ＜0时，解得m ＝－2－1. 所以m ＝2－1或m ＝－2－1. (2)由题意知，任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋m x 2＋2－(x 1＋m x 1＋2) ＝(x 2－x 1)·x 1x 2－mx 1x 2＞0.因为x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，所以x 1x 2－m ＞0，即m ＜x 1x 2. 由x 2＞x 1≥2，得x 1x 2＞4，所以m ≤4. 所以m 的取值范围是(－∞，4]． (3)由f (x )≤kx ，得x ＋m x＋2≤kx . 因为x ∈[12，1]，所以k ≥m x 2＋2x ＋1.令t ＝1x，则t ∈[1,2]，所以k ≥mt 2＋2t ＋1.令g (t )＝mt 2＋2t ＋1，t ∈[1,2]，于是，要使原不等式在x ∈[12，1]时有解，当且仅当k ≥[g (t )]min (t ∈[1,2])．因为m ＜0，所以g (t )＝m (t ＋1m )2＋1－1m的图象开口向下，对称轴为直线t ＝－1m＞0.因为t ∈[1,2]，所以当0＜－1m ≤32，即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5；当－1m ＞32，即－23＜m ＜0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3.综上，当m ≤－23时，k ∈[4m ＋5，＋∞)；当－23＜m ＜0时，k ∈[m ＋3，＋∞)．。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第七章

1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a 0).2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0). ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( × ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1.(教材改编)已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是___________. 答案 a >－b >b >－a解析 ∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .2.(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的__________条件. 答案充分不必要解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3.(2016·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是________. ①a －b >0; ②a 3＋b 3>0； ③a 2－b 2<0; ④a ＋b <0. 答案 ④解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.4.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是___________. 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴a <－a 2<a 2<－a .5.(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0， ∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c 0，试比较a 与1a的大小.解因为a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a，因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是______.(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为_______. 答案 (1)A ≥B (2)a 0,1618>0， ∴1816<1618，即a ac; ②c (b －a )<0； ③cb 2<ab 2;④ac (a －c )>0.(2)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的_________条件. 答案 (1)① (2)充分不必要解析 (1)由c 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立. (2)因为c >d ，所以c －d >0. 又a >b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )>b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd >bc ＋ad ，则a (c －d )>b (c －d )，也可能a b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件.思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________. 答案 3解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误. ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确.∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确.∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确. 方法二取特殊值. 题型三不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为________. 答案 ①②③解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立. 方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________. 答案 (－4,2) (1,18) 解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1.将已知条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围. 解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0).2.若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围. 解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232).思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.(1)若a 1b； ②a 2<ab ； ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1； ④a n >b n .(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c ). 其中所有正确结论的序号是________. 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b >1知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确.6.利用不等式变形求范围典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 错解展示解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12，∴f (－2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1.(教材改编)当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系为______________. 答案 x 3＞x 2－x ＋1 解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1).又∵x ＞1，故(x －1)(x 2＋1)＞0， ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.2.(2016·苏州模拟)下列命题中，正确的是______. ①若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ②若ac >bc ，则a >b ； ③若a c 2<bc2，则a b ，c >d ，则a －c >b －d . 答案 ③解析取a ＝－1，b ＝－2，c ＝2，d ＝1，则ac ＝bd ，a －c ＝b －d ，故①，④错误；取a ＝2，b ＝3，c ＝－1，则ac >bc ，a y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是________. ①xy >yz; ②xz >yz ； ③xy >xz; ④x |y |>z |y |.答案 ③解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的______条件. 答案充分不必要解析由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a b ，则ac 2>bc 2； ②若a c >bc，则a >b ；③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确；当a <0且b <0时，可知④不正确.7.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是________.①a ＋1b >b ＋1a； ②b a >b ＋1a ＋1； ③a －1b >b －1a； ④2a ＋b a ＋2b >a b . 答案 ①解析取a ＝2，b ＝1，排除②与④；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立. 8.若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是________.①1a <1b； ②log 2a >log 2b ； ③a 2＋b 2≤2a ＋2b －2;④b <ab <a ＋b 2<a . 答案 ③解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴③一定不成立.9.下列四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是_____.①a >b ＋1;②a >b －1； ③a 2>b 2;④a 3>b 3.答案 ①解析由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.10.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________.答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确.11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为____________.答案 8(x ＋19)>2 200解析因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19) km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19) km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示.12.已知－1<2x －1<1，则2x－1的取值范围是________. 答案 (1，＋∞)解析－1<2x －1<1⇒0<x <1⇒1x >1⇒2x>2 ⇒2x－1>1. 13.已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是______(用区间表示). 答案 [3,8]解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8， ∴z 的取值范围是[3,8].14.已知m∈R，a>b>1，f(x)＝mxx－1，试比较f(a)与f(b)的大小.解f(x)＝m(1＋1x－1)，f(a)＝m(1＋1a－1)，f(b)＝m(1＋1b－1).由a>b>1，知a－1>b－1>0.∴1a－1<1b－1，∴1＋1a－1<1＋1b－1.①当m>0时，m(1＋1a－1)<m(1＋1b－1)，f(a)<f(b).②当m＝0时，f(a)＝f(b)＝0.③当m<0时，m(1＋1a－1)>m(1＋1b－1)，f(a)>f(b).综上所述，当m>0时，f(a)<f(b)；当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m<0时，f(a)>f(b).。

2018版高考数学(江苏专用,理科)专题复习：专题7 不等式第42练含解析

1．【2016·镇江模拟)设A ＝12a ＋12b ，B ＝1a ＋b 【a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________．2．【2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是________．【填序号)①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．4．【2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y 【0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．【填序号)①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln 【x 2＋1)＞ln 【y 2＋1)；③sin x ＞sin y ；④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是________．【填序号)6．【2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2；③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －m e x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a 【a 3－1)，Q ＝log a 【a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________．9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a 【1＋a )＜log a 【1＋1a )；②log a 【1＋a )＞log a 【1＋1a )；③a 1＋a＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a . 其中成立的是________．10．【2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．【用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 12．【2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b a 的取值范围是________．13．【2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n ＋b n 的大小关系为______________．【用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．【用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎨⎧ a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎨⎧ a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ，又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ，∴1c －a ＞1c －b ＞0.又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b ，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －a ab ＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故为真．6．③解析不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确．7．【－∞，0)解析由x －me x ＞x ，得－m ＞e x ×x －x 【x ＞0)，令f 【x )＝e x ×x －x 【x ＞0)，则－m ＞f 【x )min ，f ′【x )＝e x ×x ＋e x ×12x －1≥2×e x －1＞0【x ＞0)，所以f 【x )为【0，＋∞)上的增函数，所以f 【x )≥f 【0)＝0，－m ＞0，m ＜0.8．P ＞Q解析由题意可知a ＞1.∴【a 3－1)－【a 2－1)＝a 2【a －1)＞0，∴a 3－1＞a 2－1，∴log a 【a 3－1)＞log a 【a 2－1)，即P ＞Q .9．②④解析因为0＜a ＜1，所以【1＋a )－【1＋1a )＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，则1＋a ＜1＋1a ，可知②④成立．10．z ＞y ＞x解析方法一 y 2－x 2＝2c 【a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27.12．23，32]解析两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2， ①b a ≤1＋c a ≤2·b a ，②将②乘【－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－b a ，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n ＞a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ＞0，b n ＞0，c n ＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0＜a c ＜1,0＜b c ＜1.∵n ∈N ，n ＞2，∴【a c )n ＜【a c )2，【b c )n ＜【b c )2.∴a n ＋b n c n ＝【a c )n ＋【b c )n ＜a 2＋b 2c 2＝1.∴a n ＋b n ＜c n .14．C ＞A ＞B ＞D解析由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D .∵C －A ＝11＋a－【1＋a 2) ＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a .又∵1＋a ＞0，－a ＞0，【a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝【1＋a 2)－【1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B .∵B－D＝1－a2－11－a＝a(a2－a－1)1－a＝a[(a－12)2－54]1－a.又∵－12＜a＜0，∴1－a＞0.又∵【a－12)2－54＜【－12－12)2－54＜0，∴B＞D.综上所述，C＞A＞B＞D.。

2018年江苏高考数学复习：第1部分专题7 不等式含答案

专题七不等式———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第28页)1．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y)为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y)之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y－2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A(2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，13.] 2．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．{x|－1＜x ＜2}()或－1，2 [∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.]3．(2014·江苏高考)已知函数f (x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m 的取值范围是________.【56394045】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 [作出二次函数f (x)的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x)<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ fm <0，f m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m 2－1<0，m ＋12＋m m ＋1－1<0，解得－22<m<0.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0.] [命题规律]在近年来的高考数学中，有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上，填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等；解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中，知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中．通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强化记忆，熟化常见题型的解法，提升综合应用不等式解题的能力．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第28页)[第1步▕核心知识再整合]1．在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握．2．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．转化的方法是：超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想．。

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件理

1 5 即3x＋2y＝ (x＋y)＋ (x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3， 2 2
3 5 1 23 5 5 1 3 ∴－2<2(x＋y)＋2(x－y)< 2 ， ∴－2<2(x＋y)<10,1<2(x－y)<2，
3 23 3 23 即－ <3x＋2y< ， ∴3x＋2y的取值范围为(－， ). 2 2 2 2
可开方性
(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质
1 1 ①a>b，ab>0⇒ < . a b 1 ②a<0<b⇒ < 1 . a b a b ③a>b>0,0<c<d⇒ . > c d 1 1 1 < < ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒ . a x b
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
b b＋m b b－m ①a< ；a > (b－m>0). a＋m a－m a a＋m a a－m ②b> ；b < (b－m>0). b＋m b－m
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种. (√ )
答案解析
b 3ln 4 方法一易知a，b，c都是正数，＝所以a>b；＝ log 8164<1， a 4ln 3 b 5ln 4 所以b>c.即c<b<a. ＝＝ log 6251 024>1， c 4ln 5 1－ln x ln x 方法二对于函数y＝f(x)＝，y′＝， 2 x x 易知当x>e时，函数f(x)单调递减.

2018年江苏高考数学二轮复习练习：7_不等式有答案

专题限时集训(七) 不等式 (对应学生用书第95页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________.【导学号：56394049】26 [作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z3，平移直线y ＝－23x ＋z 3，由图象可知当直线y ＝－23x ＋z3经过点A 时，直线y ＝－23x ＋z3的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x ＋y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即A (4,6)．此时z 的最大值为z ＝2×4＋3×6＝26.]2．(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知正实数x ，y 满足x2＋2y －2＝ln x ＋ln y ，则x y＝________.2 [由题设可得ln xy ＝x2＋2y －2≥2xy －2(当且仅当x ＝4y 时取等号)，即ln xy ≥2xy －2，也即⎩⎨⎧x ＝4y ln xy ＝2xy －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，所以x y＝ 2.]3．(江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下学期期中)已知动点P (x ，y )满足：⎩⎨⎧2x ＋y ≤4，x ≥0，x 2＋1－xr(y 2＋1＋y ≥1，)则x 2＋y 2－6x 的最小值为________．－409[由(x 2＋1－x )(y 2＋1＋y )≥1， ∵y ＋y 2＋1>y ＋|y |≥0， ∴x 2＋1－x ≥1y 2＋1＋y＝y 2＋1－y ，∵函数f (x )＝x 2＋1－x ＝1x 2＋1＋x是减函数，∴x ≤y ，∴原不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ≥0，x ≤y .该不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示：∵x 2＋y 2－6x ＝(x －3)2＋y 2－9.由图象可得，P (3,0)到阴影区域中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43的距离最小，所以x 2＋y 2－6x 的最小值为－409.]4．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知1a <1b<0，给出下列四个结论：①a |b |；④ab ab .]5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是________．4 [由[t ]＝1，得1≤t ＜2；由[t 2]＝2，得2≤t ＜3；由[t 3]＝3，得313≤t ＜413；由[t 4]＝4，得2≤t＜514；由[t 5]＝5，得515≤t ＜615. 因为(313)15＝35＝243，(615)15＝63＝216，所以313＞615.同理可以得到1＜515＜212＜615＜313＜514＜413＜3＜2.以上每一个范围在数轴上的示意图如图所示，由图可知，当n ＝1,2,3,4时，[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 能同时成立；当n ＝5时，[t 3]＝3与[t 5]＝5不能同时成立，故n 的最大值为4.]6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b的最小值为________．7 [∵a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，∴2a ＋1b ＝1.则a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1.a2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＝2b a ＋a2b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2(1＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴a 24＋b 2≥8，∴a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1≥7.] 7．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________.18万元 [x ＋4y .由题意可列⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，其表示如图阴影部分区域：当直线3x ＋4y －z ＝0过点A (2,3)时，z 取得最大值，所以z max ＝3×2＋4×3＝18.] 8．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． {x |x <4} [原不等式同解于如下三个不等式解集的并集；(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x <11－x ＋x －5<2，(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <5x －1＋x －5<2，(Ⅲ)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5x －1－x ＋5<2，解(Ⅰ)得：x <1，解(Ⅱ)得：1≤x <4，解(Ⅲ)得：x ∈∅，所以，原不等式的解集为{x |x <4}．]9．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________．255 [S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab 1－cos 2C ＝12ab2－a 2＋b 2－c 224＝12ab2－－3c 224，而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2⇒ab ≤4－c 2，所以S △ABC ≤12－c22－－3c 224＝14c 216－5c2≤14×5c 2＋－5c 225＝255，当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号．]10．(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知当－1≤a ≤1时，x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是________．(－∞，1)∪(3，＋∞) [设f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对∀a ∈[－1,1]成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f －1>0，f 1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3，即实数x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．]11．(江苏省南京市2017届高考三模)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8bc的取值范围为________.【导学号：56394050】[27,30] [∵a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c，∴⎩⎪⎨⎪⎧a c ＋2bc≤8，2c a ＋3c b ≤2，设x ＝a c ，y ＝bc ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，2x ＋3y≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ≤4－12x ，y ≥3x 2x －2，1<x <8，作出平面区域如图所示：令z ＝3a ＋8b c ＝3x ＋8y ，则y ＝－38x ＋z 8，由图象可知当直线y ＝－38x ＋z8经过点A 时，截距最大，则z 最大；当直线y ＝－38x ＋z 8与曲线y ＝3x2x －2相切时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－12x ，y ＝3x2x －2，得A (2,3)，∴z 的最大值为3×2＋8×3＝30，设直线y ＝－38x ＋z 8与曲线y ＝3x2x －2的切点为(x 0，y 0)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2x －2′| x ＝x 0＝－38，即－62x 0－2＝－38，解得x 0＝3，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，∴z 的最小值为3×3＋8×94＝27. ∴27≤z ≤30.]12．(河北省“五个一名校联盟” 2016届高三教学质量监测(一))已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是________．(2，＋∞) [由3x ＋1<1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2，由p 是q 的充分不必要条件知，k >2.]13．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________．48 [设a 2＋a 1＝x ，等比数列的公比为q ，则a 4＋a 3＝xq 2，a 5＋a 6＝xq 4. 再由a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，得xq 2＝6＋2x ，∴x ＝6q 2－2>0，q >1. ∴a 5＋a 6＝xq 4＝6q4q 2－2＝6·q 4q 2－2＝6⎝⎛⎭⎪⎫q 2＋2＋4q 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－2＋4q 2－2＋4≥6(4＋4)＝48，当且仅当q 2－2＝2时，等号成立，故a 5＋a 6的最小值为48.]14．(广东省湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．－1或2 [在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示的三角形ABC ，目标函数z ＝y －ax 可变形为y ＝ax ＋z ，z 的几何意义为直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距，因为z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，所以直线y ＝ax ＋z 与区域三角形的某一边平行，当直线y ＝ax ＋z 与直线x ＋y －2＝0平行时，a ＝－1符合题意，当直线y ＝ax ＋z 与直线x －2y －2＝0平行时，a ＝12不符合题意，直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0平行时，a ＝2符合题意，综上所述，实数a 的值为－1或2.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(贵州省遵义模拟)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R, f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，2分 ①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3即－2x ≥3，x ≤－32.②－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，解集为空集．③x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，∴x ≥32，此时不等式解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8分综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.9分(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －a ＋，x ≥1， f (x )的最小值为1－a .11分a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －a ＋，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1，所以∀x ∈R ，f (x )≥2恒成立的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).14分16．(本小题满分14分)(泰州市调研测试)为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图7－3：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB 长为50 3 m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过200 m.图7－3(1)试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大；(2)当△OAB 的周长最大时，设∠DOC ＝2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.【导学号：56394051】[解] (1)设OA ＝m ，OB ＝n ，m ，n ∈(0,200]，在△OAB 中，AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 2π3，即(503)2＝m 2＋n 2＋mn ，2分所以，(503)2＝(m ＋n )2－mn ≥(m ＋n )2－m ＋n24＝34(m ＋n )2， 4分所以m ＋n ≤100，当且仅当m ＝n ＝50时，m ＋n 取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值．所以，当OA ，OB 都为50 m 时，△OAB 的周长最大. 6分(2)当△AOB 的周长最大时，梯形ABCD 为等腰梯形．过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB ，CD 的中点，所以∠DOE ＝θ，由CD ≤200，得θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6.8分在△ODF 中，DF ＝200sin θ，OF ＝200cos θ.又在△AOE 中，OE ＝OA cos π3＝25，故EF ＝200cos θ－25.9分所以，S ＝12(503＋400sin θ)(200cos θ－25)＝625(3＋8sin θ)(8cos θ－1)＝625(83cos θ－8sin θ＋64sin θcos θ－3)，θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6.10分(一直没有交代范围扣2分)令f (θ)＝83cos θ－8sin θ＋64sin θcos θ－3，θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6，f ′(θ)＝－83sin θ－8cos θ＋64cos 2θ＝－16sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋64cos 2θ，θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6，又y ＝－16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6及y ＝cos 2θ在θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6上均为单调递减函数，故f ′(θ)在θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6上为单调递减函数．因f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫32－4×12＞0，故f ′(θ)＞0在θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6上恒成立，于是，f (θ)在θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π6上为单调递增函数.12分所以当θ＝π6时，f (θ)有最大值，此时S 有最大值为625(8＋153)．所以当θ＝π6时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为625(8＋153) m 2.14分17．(本小题满分14分)(南通模拟) 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|； (3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≥f x ，fx ，f x <fx ，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．[解] (1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )，又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋1－x 在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋1－x ＝1－x 2≤32，所以a ≥32.2分(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a . 4分①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a ). 6分(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ≥f x ，fx ，f x <fx ，8分①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a ，从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5，当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2，当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]，12分当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a . 因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0，所以g (x )最小值为4a ＋5，综上所述，[g (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17， a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4， a ≥－12. 14分18．(本小题满分16分)(徐州市质量检测)如图7－4，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F . 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF .设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小； (2)为节省建设成本，试确定E ，F 的位置，使PE ＋PF 的值最小．图7－4[解] (1)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，AP ＝8，则AE ＝8tan α. 所以S △PAE ＝12PA ×AE ＝32tan α.2分同理在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，PB ＝1，则BF ＝1tan α，所以S △PBF ＝12PB ×BF ＝12tan α.4分故△PAE 与△PFB 的面积之和为32tan α＋12tan α≥232tan α×12tan α＝8,5分当且仅当32tan α＝12tan α，即tan α＝18时，取“＝”，故当AE ＝1 km, BF ＝8 km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小.6分 (2)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，则PE ＝8cos α. 同理在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，则PF ＝1sin α.令f (α)＝PE ＋PF ＝8cos α＋1sin α，0<α<π2，8分则f ′(α)＝8sin αcos 2α－cos αsin 2 α＝8sin 3α－cos 3αsin 2 αcos 2α， 10分令f ′(α)＝0，得tan α＝12，记tan α0＝12，0<α0<π2，当α∈(0，α0)时，f ′(α)<0，f (α)单调递减；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α0，π2时，f ′(α)>0，f (α)单调递增．所以tan α＝12时，f (α)取得最小值，14分此时AE ＝AP ·tan α＝8×12＝4，BF ＝BPtan α＝2.所以当AE ＝4 km ，且BF ＝2 km 时，PE ＋PF 的值最小.16分 19．(本小题满分16分)(盐城市模拟考试)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝m x ＋nx ＋1(m >0)．(1)当m ＝1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝1处的切线互相垂直，求n 的值； (2)若函数y ＝f (x )－g (x )在定义域内不单调，求m －n 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x ·f (e ax)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a≤0对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由． [解] (1)当m ＝1时，g ′(x )＝1－nx ＋2，∴y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝1－n4，由f ′(x )＝1x ，∴y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝1，∴1－n4·1＝－1，∴n ＝5.(2)易知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝ f ′(x )－g ′(x )＝1x－m 1－nx ＋2＝x 2＋[2－m 1－n ]x ＋1x x ＋2＝x ＋2－m 1－n ＋f(1x,x ＋2)，由题意，得x ＋2－m (1－n )＋1x的最小值为负，∴m (1－n )>4(注：结合函数y ＝x 2＋[2－m (1－n )]x ＋1的图象同样可以得到)，∴[m ＋－n ]24≥m (1－n )>4，∴m ＋(1－n )>4，∴m －n >3.(3)法一：令θ(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x ·f (e ax)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a＝ax ·ln 2a －ax ·ln x ＋ln x －ln 2a ，其中x >0，a >0.则θ′(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x ，设δ(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x，δ′(x )＝－a x －1x 2＝－ax ＋1x2<0.∴δ(x )在(0，＋∞)单调递减，δ(x )＝0在区间(0，＋∞)必存在实根，不妨设δ(x 0)＝0，即δ(x 0)＝a ·ln 2a －a ln x 0－a ＋1x 0＝0，可得ln x 0＝1ax 0＋ln 2a －1，(*)θ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以θ(x )max ＝θ(x 0)， θ(x 0)＝(ax 0－1)·ln 2a －(ax 0－1)·ln x 0，代入(*)式得θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2.12分根据题意θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2≤0恒成立．又根据基本不等式，ax 0＋1ax 0≥2，当且仅当ax 0＝1ax 0时，等式成立，所以ax 0＋1ax 0＝2，ax 0＝1.∴x 0＝1a .代入(*)式得，ln 1a ＝ln 2a ，即1a ＝2a ，a ＝22.16分 (以下解法供参考，请酌情给分)法二：θ(x )＝ax ·ln 2a －ax ·ln x ＋ln x －ln 2a ＝(ax －1)(ln 2a －ln x )，其中x >0，a >0，根据条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x ·f (e ax)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a ≤0对任意正数x 恒成立，10分即(ax －1)(ln 2a －ln x )≤0对任意正数x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax －1≥0，ln 2a －ln x ≤0，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧ax －1≤0，ln 2a －ln x ≥0，a >0，解得1a ≤x ≤2a 或2a ≤x ≤1a，即1a ＝x ＝2a 时上述条件成立，此时a ＝22.16分法三：θ(x )＝ax ·ln 2a －ax ·ln x ＋ln x －ln 2a ＝(ax －1)(ln 2a －ln x )，其中x >0，a >0，设y 1＝ax －1，y 2＝ln 2a －ln x ，∵a >0，∴函数y 1单调递增，函数y 2单调递减，12分要使得(ax －1)(ln 2a －ln x )≤0对任意正数x 恒成立，只能是函数y 1，y 2与x 轴的交点重合，即1a ＝2a ，所以a ＝22.16分20．(本小题满分16分)已知f (x )＝1＋2ln xx2. (1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝ax 2－2ln x ，若g (x )＝1时有两个不同的根，求a 的取值范围；(3)存在x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1≠x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥k |ln x 1－ln x 2|成立，求k 的取值范围.【导学号：56394052】[解] (1)f ′(x )＝－4ln x x3.令f ′(x )＝0得x ＝1，x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，f (x )单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). 4分(2)g ′(x )＝2ax －2x＝ax 2－x.①当a ≤0时，g ′(x )<0，单调递减，故不可能有两个根，舍去． ②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g ⎝⎛⎭⎪⎫1a <1得0<a <1.综上，0<a <1.8分(3)不妨设x 1>x 2>1，由(1)知x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减．|f (x 1)－f (x 2)|≥k |ln x 1－ln x 2|，等价于f (x 2)－f (x 1)≥k (ln x 1－ln x 2)，即f (x 2)＋k ln x 2≥f (x 1)＋k ln x 1，10分存在x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1≠x 2，使f (x 2)＋k ln x 2≥f (x 1)＋k ln x 1成立．令h (x )＝f (x )＋k ln x ，h (x )在(1，＋∞)存在减区间，h ′(x )＝kx 2－4ln x x 3<0有解，即k <4ln x x 2有解，即k <⎝ ⎛⎭⎪⎫4lnx x 2max .14分令t (x )＝4ln xx 2，t ′(x )＝－2ln xx 3，x ∈(0，e)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，x ∈(e ，＋∞)时， t ′(x )<0，t (x )单调递减，⎝⎛⎭⎪⎫4ln x x 2max ＝2e ，∴k <2e .16分When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

(江苏专用)2018版高考数学专题复习专题7 不等式第45练基本不等式练习文

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题7 不等式第45练基本不等式练习文1．(2016·泰州模拟)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是____________．3．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值是________．4．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，且x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是________．5．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋a8b的最小值为________．6．(2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a}，则a 2＋b 2＋7a －b(其中a ＞b )的最小值为________．7．(2016·深圳模拟)已知正实数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________________．8．若实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝2，则xy ＋yz ＋xz 的取值范围是____________． 9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．10．(2016·苏州模拟)若直线ax ＋by －1＝0(a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为__________．11．(2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a＞0，函数f(x)＝x＋ax－1(x＞1)的最小值为3，则a的值为______．12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．13．已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________.14．(2016·南京盐城联考)已知正实数x，y满足等式x＋y＋8＝xy，若对任意满足条件的x，y，不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是______________．答案精析1. 22.(－∞，－2]3.44.(－4,2) 5．1解析依题意得1a ＋a 8b ＝a ＋b 2a ＋a 8b ＝12＋b 2a ＋a 8b ≥12＋2b 2a ×a8b＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b 2a ＝a 8b ，a ＋b ＝2，即a ＝2b ＝43时取等号，因此1a ＋a8b的最小值是1.6．6解析由不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a }可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，a ＞0，所以a 2＋b 2＋7a －b ＝a －b 2＋2ab ＋7a －b＝a －b ＋9a －b≥6，当且仅当a －b ＝3时等号成立． 7.509解析 1a ＋2b ＝3⇒2a ＋b ＝3ab ⇒3ab ＝2a ＋b ≥22ab ⇒ab ≥89，因此(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝4ab ＋2≥4×89＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43时，等号成立．8．[－1,2]解析因为x 2＋y 2＋z 2＝2，所以2x 2＋2y 2＋2z 2＝4，所以4≥2xy ＋2yz ＋2xz ，即xy ＋yz ＋xz ≤2. 又因为(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ≥0，所以xy ＋yz ＋xz ≥－1，所以xy ＋yz ＋xz 的取值范围是[－1,2]． 9.32解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，又∵{a n }是正项等比数列， ∴a 5≠0，且q ＞0， ∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)．又a m ·a n ＝4a 1， ∴a m ·a n ＝16a 21，a 21qm ＋n －2＝16a 21，又a 21≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， 1m ＋4n ＝16(1m ＋4n )(m ＋n ) ＝16(5＋4m n ＋n m ) ≥16(5＋2 4m n ·n m )＝32. 当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时取等号．10．3＋2 2解析画出y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)的图象(图略)，知此曲线的对称中心为(1,1)，则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)，所以a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝1＋b a＋2ab＋2≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab时取等号．即(1a ＋2b)min ＝3＋2 2.11．1解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，又a ＞0， ∴f (x )＝x ＋a x －1＝x －1＋ax －1＋1≥2a ＋1，∴2a ＋1＝3，∴a ＝1，此时，x －1＝1x －1，即x ＝2. 12．5解析 ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2＋BP 2＝AB 2＝10， ∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立． 13．3解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 14．(－∞，658]解析因为x ＋y ＋8＝xy ≤(x ＋y2)2，即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2，解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤x ＋y 2＋1x ＋y恒成立，令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t.函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658.所以实数a 的取值范围为(－∞，658]．。

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（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题7 不等式第43练不
等式的解法练习文
训练目标
(1)掌握一元二次不等式的解法；(2)会用“三个二次关系”解决有关不等式的问题．
训练题型
(1)解一元二次不等式；(2)与不等式有关的集合问题；(3)参数个数、范围问题；(4)不等式恒成立问题．
解题策略 (1)利用“三个二次关系”给出不等式解集；(2)利用转化思想将参数问题、恒成
立问题转化为不等式求解问题；(3)利用根与系数的关系解决有关二次方根的问
题.
1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＋2，x ＞0，
x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2
的解集是
__________________．
2．不等式|x 2
－2|＜2的解集是________________．
3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．
4．(2016·南京模拟)不等式2x 2
－3|x |－2＜0的解集为____________．
5．设二次不等式ax 2
＋bx ＋1＞0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1＜x ＜
1
3，则ab 的值为________． 6．已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，x ＜0，
－x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x －1)≤3的解集是
______________．
7．(2017·南宁月考)已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2
＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．
8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈[1,3]，使得关于x 的不等式ax 2
＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________．
9．(2017·温州联考)若0＜a ＜1，则不等式(a －x )·(x －1
a
)＞0的解集是________________．
10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
，x ≥0，x 2
＋2x ，x ＜0，
则不等式f [f (x )]≤3的解集为
________．
11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2a
x
≤0对任意的正实数x 恒成立，则实
数a 的取值集合是________．
12．(2016·扬州中学调研)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋ax ，x ≥0，
bx 2
－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )
＜4的解集为________．
13．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2
－2x ≤0，x ∈R }，A ∩(∁U B )＝∅，则实数a 的取值范围是________． 14．已知不等式2x －1≥15
|a 2
－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．
答案精析
1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.(－2,0)∪(0,2) 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．6
解析由题意得－1，13
是方程ax 2
＋bx ＋1＝0的两根，且a ＜0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－b a ＝－1＋13，1a ＝－1×1
3
，
∴a ＝－3，b ＝－2，∴ab ＝6. 6．{x |x ≥－3}
解析 ∵f (x －1)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，x ＜1，－x ，x ≥1，
∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜1，
x ＋x ＋1x ≤3
或
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥1，x ＋x ＋1－x ≤3，
解得－3≤x ＜1或x ≥1，即x ≥－3. 7．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2
－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2
－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2
－3x ＋2＞0即可，联立方程解得x ＜1或x ＞3. 8．(－∞，－1)∪(2
3
，＋∞)
解析当a ∈[1,3]时，a (x 2
＋x )－2x －2＞0成立．
①若x 2
＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意；
②若⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ＞0，3x 2
＋3x －2x －2＞0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0或x ＜－1，x ＞2
3
或x ＜－1，解得x ＞2
3
或x ＜－1；
③若⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x ＜0，x 2
＋x －2x －2＞0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，
无解，
综上所述，x ＞2
3或x ＜－1.
9．{x |a ＜x ＜1
a
}
解析原不等式即(x －a )(x －1
a
)＜0，
由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1
a
.
10．(－∞，3]
解析 f (x )的图象如图．结合图象，由f [f (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式f [f (x )]≤3的解集为(－∞，3]．
11．{10}
解析由2a
x
＞0，x ＞0，得a ＞0，
由不等式(ax －20)lg 2a
x
≤0，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥20a ，x ≥2a
或⎩⎪⎨
⎪⎧
0＜x ≤20a ，
0＜x ≤2a ，
所以20
a
＝2a ，a ＝10.
12．(－∞，4)
解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－3x ，x ≥0，－x 2
－3x ，x ＜0，当x ≥0时，由x 2－3x ＜4，解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2
－3x ＜
4，解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)． 13．(－∞，1]
解析 A ＝[1,2]，由于A ∩(∁U B )＝∅，则A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R } ＝[0，＋∞]，满足A ⊆B ；
当a ＜0时，B ＝{x |x (x －2a )≥0，x ∈R }＝(－∞，2
a
]∪[0，＋∞)，满足A ⊆B ；
当a ＞0时，B ＝{x |x (x －2
a
)≤0，
x ∈R }＝[0，2
a
]，
若A ⊆B ，则2
a
≥2，即0＜a ≤1.
综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]． 14．[－1,2] 解析设y ＝
2x －1，则y ′＝－2x －1
2＜0，故y ＝
2
x －1
在[2,6]上单调递减，即y min ＝26－1＝2
5，
故不等式
2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤2
5
恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－a －2≤0，a 2
－a ＋2≥0，
解得－1≤a ≤2，
故a 的取值范围是[－1,2]．。

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