湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三数学10月联考试题 文(含解析)新人教A版

湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三数学
10月联考试题 文（含解析）新人教A 版
本试卷是高三文试卷，以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力以及运算能力，试题重点考查：不等式、复数、向量、函数图像，数新定义、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
一，选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 【题文】1 已知集合A={x 03x <<},B={x 24}x ≥,则A B ⋂=( ) A {2x 3}x x ≤<或0< B {23}x x << C {23}x x ≤< D R 【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】C 因为B= {2x 2}x x ≥≤-或，所以A B ⋂={23}x x ≤<，故选C. 【思路点拨】先求出B 再求结果。

【题文】2已知幂函数y=f(x)的图像过（4,2）点，则f(1
2
)=( )
A
B
12 C 1
4
D
2
【知识点】幂函数B8
【思路点拨】先设出幂函数求出解析式，再求函数值。

【题文】3 已知向量a =（4,2），向量b =（x,3）,且a 平行b ，则x=( ) A 9 B 6 C 5 D 3
【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2
【答案解析】B 由题意得4 ⨯3-2x=0得到x=6, 故选B. 【思路点拨】根据向量的坐标运算求解
【题文】4 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且424a a -=，39s =则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A n a n =
B 2n a n =+
C 21n a n =-
D 21n a n =+ 【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2
【答案解析】C 设数列的公差为d ，依题意可得111
34
339a d a d a d +--=⎧⎨+=⎩
解得d=2，a 1=1∴a n =1+（n-1）×2=2n-1故选C.
【思路点拨】先根据a 4-a 2=4求得公差d ，进而根据等差数列的求和公式和S 3=9求得a 1，最后根据等差数列的通项公式求得答案． 【题文】5 设a=0.5
3,b=3log 2,c=cos 23
π
,则（ ） A c<b<a B c<a<b C a<b<c D b<c<a
【知识点】指数 对数B6 B7
【答案解析】A a=0.53>1, 1>b=3log 2>0, c=cos
23
π
<0,则c<b<a 故选A.
【思路点拨】分别求出各自范围，再比较大小。

【题文】6 要得到函数y=sin(2x-4
π
)的图像，只要将函数y=sin2x 的图像（ ） A 向左平移4π单位 B 向右平移4π
单位
C 向右平移8π单位
D 向左平移8
π
单位
【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案解析】C 因为y=sin[2(x-
8π)]所以应该由y=sin2x 向右平移8
π
单位，故选C. 【思路点拨】先将原函数变形再判断平移。

【题文】7已知∂为第二象限角，且sin(π+∂)=-3
5
,则tan2∂的值为（ ） A
45 B -237 C 247- D 83
-
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5 【答案解析】C 由sin(π+∂)=-35得到sin ∂=35，∂为第二象限角cos ∂=-45，则tan ∂=-3
4
，tan2∂=24
7
-
，故选C. 【思路点拨】先求出∂的三角函数值，再求出结果。

【题文】8 在同一个坐标系中画出函数y=x
a ,y=sinax 的部分图像，其中a>0且a ≠1,则下列所给图像中可能正确的是（ ）
A
【知识点】函数的图像B8
【答案解析】D 正弦函数的周期公式T=
2π
ω
，∴y=sinax 的最小正周期T=
2a
π
；对于A ：T ＞2π，故a ＜1，因为y=a x 的图象是增函数，故错；对于B ：T ＜2π，故a ＞1，而函数y=a x 是减函数，故错；对于C ：T=2π，故a=1，∴y=a x =1，故错； 对于D ：T ＞2π，故a ＜1，∴y=a x 是减函数，故对；故选D
【思路点拨】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特征进行判定．
【题文】9 已知函数f(x)=221,1
1,1
x ax x ax x x ⎧++≥⎨++<⎩则-2≤a ≤1是f(x)在R 上单调递增的（ ）
A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件 【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】B 函数f （x ）=x 2+ax+1在[1，+∞）上单调递增则a≥-2
函数f （x ）=ax 2+x+1在（-∞，1）上单调递增则-1
2
≤a≤0而函数f(x)=
22
1,1
1,1
x ax x ax x x ⎧++≥⎨++<⎩ 在R 上单调递增则-
12≤a≤0，-1
2
≤a≤0⇒-2≤a≤0∴“-2≤a≤0”是“f （x ）在R 上单调递增”的必要而不充分条件，故选：B
【思路点拨】先求出函数f(x)=221,1
1,1
x ax x ax x x ⎧++≥⎨++<⎩ 在R 上单调递增是a 的取值范围，然后根
据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系，若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件，即可得到结论．
【题文】10 已知函数的定义域是[-2，+∞）且f(4)=f(-2)=1, ()f x '为f(x)的导函数，且()f x '的
图像如下图所示，则不等式组00(2)1x y f x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
所围成的平面区域的面积是（ ）
A 4
B 5
C 8
D 2
【知识点】简单的线性规划问题E5
【答案解析】A 由导函数的图象得到f （x ）在[-2，0]递减；在[0，+∞）递增∵f （4）=f （-2）=1∴f （2x+y ）≤1⇔-2≤2x+y ≤4
∴00(2)1x y f x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩⇔00224x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪-≤+≤⎩
表示的平面区域如下
所以平面区域的面积为
1
2
×2×4=4故选A 【思路点拨】利用导函数的图象判断出函数的单调性；利用函数的单调性化简不等式f （2a+b ）≤1；画出不等式组表示的平面区域；利用三角形的面积公式求出区域的面积． 【题文】二.填空题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分) 【题文】11.已知函数f(x)=
2
sin 21
x x ++,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= 【知识点】函数的奇偶性B4
【答案解析】 5 f(-2)+ f(2)=2, f(-1)+f(1)=2,f(0)=1所以答案为 5. 【思路点拨】先分析奇偶性再求出结果。

【题文】12 平面向量a 与b 的夹角为60︒
，a =（2,0），b =1，则2a b += 【知识点】平面向量的数量积及应用F3
【答案解析】23由已知|a |=2，2
2a b +=2
a +4a
b ⋅+4b 2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴2a b +=23.
【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
【题文】13 若函数f(x)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)=(1),01sin ,12
x x x x x π-≤≤⎧⎨<≤⎩则f(
294)+f(416
)= 【知识点】函数的奇偶性与周期性B4
【答案解析】
516 由f （x+4）=f （x ），得函数的周期是4，则f （294）=f （8-34）=f （-3
4
）， ∵f （x ）是奇函数，∴，f （-34）=-f （34）=-34×14=-316，f （416）=f （8-76）=f （-7
6
）=-f
（76）=-sin 76π=sin 6π=12， 则f （294）+f （416）=12-316=516，故答案为：516
．
【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性，以及分段函数的表达式代入即可得到结论． 【题文】14.如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120︒
，OA 与
OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，OC =23，若OC =λOA +OB μ（λ，μR ∈）
则λ+μ的值为
【知识点】平面向量基本定理F2
【答案解析】6 过C 作OA 与OB 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，由1OA OB ==OC =23得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6．故答案为6．
【思路点拨】过C 作OA 与OB 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，然后将向量
OC 用向量OA 与向量OB 表示出即可．
【题文】15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为 孪生函数 已知函数的解析式为f(x)= 2
21x +,值域为{5,19} 的孪生函数共有 个 【知识点】函数及其表示B1
【答案解析】9 令2x 2+1=5得x=±2，令2x 2+1=19得x=±3，使得函数值为5的有三种情
况，
即x=-2，2，±2，使得函数值为19的也有三种情况，即x=3，-3，±3，则“孪生函数”共有3×3=9个．
故答案为：9
【思路点拨】根据题意，分析可得：所谓的“孪生函数”就是利用相同的函数值和相同的解析式解一个方程即可．即分别令2x2+1=5，2x2+1=19，使得函数值为5的有三种情况，最后结合乘法原理即可．
【题文】16.如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客x之间的关系图像，由于目前该条公路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议如图（2）（3）所示
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；
③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．
其中所有说法正确的序号是
【知识点】函数模型及其应用B10
【答案解析】②③根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故②正确；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确．【思路点拨】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．
【题文】17如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合与点D，设CP=x
∆CPD的面积为f（x）,则f(x)的定义域为f(x)的最大值为
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（2，4）；2 2由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x∵△CPD，∴
26 26
62
x x
x x x x
+>-⎧
⎪
+->⎨
⎪+->⎩
解得x∈（2，4）
如图，三角形的周长是一个定值8，
【思路点拨】本题要根据实际情况计算出定义域与函数的零点，可以看出所给的条件是△CPD ，故可根据其是三角形求出自变量的范围．面积表达式可以用海伦公式求出，对所得的函数求导，令导数为0，根据函数的调调性可求出函数的最大值． 【题文】三 解答题(本大题共5个小题，共65分) 【题文】18.（本小题共12分）
已知函数sin2x-22
sin x
(1) 求f(
6
π
)的值， （2）若x [,]63ππ∈-,求f(x)的最大值和最小值。

【知识点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】（Ⅰ）1（Ⅱ）最大值为1 ，最小值为2-
（Ⅰ）()6
f π
22sin 36ππ- 32124
1
=-⨯=．
（Ⅱ）()f x cos 21x x =+-2sin(2)16
x π
=+-．
因为[,
]62x ππ
∈-
，所以656
26
ππ
π
≤
+
≤-
x ， 所以 1sin(2)126
x π
-≤+≤， 所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-．
【思路点拨】先化简再根据三角函数的增减性求出最值。

【题文】19（本小题共12分）
已知向量(sin ,sin )m A B =,(cos ,cos )n B A =,m n ⋅=sin2C ，且A, B, C 分别为ABC ∆三边a ，b ，c 所对的角。

（1）求角C 的大小，（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=求边c 的长。

【知识点】解三角形C8
【答案解析】（1）
3
π
（2）6 （1）
)sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅对于
C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ，
.sin C n m =⋅∴ 又C n m 2sin =⋅ ， .
3,21cos ,sin 2sin π
==
=∴C C C C
（2）由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得
.2b a c +=
18,18)(=⋅∴=-⋅CB CA AC AB CA ，即.36,18cos ==ab C ab
由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,36342
22=⨯-=∴c c c ，
.6=∴c
利用两个向量的数量积公式求得m n ⋅=sin(A+B)再由已知m n ⋅ =sin2C 【知识点】等差数列及等差数列前n 项和等比数列及等比数列前n 项和D2 D3
【答案解析】（I ）12n n a -=（II ）221n
n +-
（I ）设等比数列
}
{n a 的公比为 q 2a 是1a 和1
3-a 的等差中项
3
312)1(2a a a a =-+=∴ …………….2分
2
2
3
==
∴a a q
)(2*111N n q a a n n n ∈==∴--
（II ）
n n a n b +-=12 )
212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S .
)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n 21212)12(1--+
⋅-+=n
n n 122-+=n n
【思路点拨】根据等差等比数列的性质求出通项公式，利用分组求和求出结果。

【题文】21 （本小题共14分） 已知a>0,函数f(x)= 23
2
2
3
a x ax -+
,g(x)=-ax+1,x R ∈ (1)当a=1时，求函数f(x)在点（1，f(1)）的切线方程。

（2）求函数f(x)在[-1,1]的极值。

（3）若在区间（0，
1
2
]上至少存在一个实数0x ，使f(0x )>g （0x ）求正实数a 的取值范围。

【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（Ⅰ）1=-+y x （Ⅱ）极大值是23;极小值是243-a a
（Ⅲ）(3)-++∞ 由23212
()33
f x a x ax =
-+求导得，22()2f x a x ax '=-. （Ⅰ）当1=a 时(1)1'=-f , (1)0=f 所以()f x 在点(1,(1))f 的切线方程是1=-+y x
（Ⅱ）令()0'=得：
f x 10=x ,22=x (1)当2
01<<即2>a 时
故()f x 的极大值是23;极小值是243-a a
; (2) 当
2
1≥a
即02<≤a 时()f x 在(1,0)-上递增, 在(0,1)上递减, 所以()f x 的极大值为2
(0)3
=f ,无极小值.
（Ⅲ）设232
11()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+- 1(0,]2x ∈.
对()F x 求导，得2222
()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-，
因为1(0,]2
x ∈，0a >，所以22
()(12)0F x a x a x '=+->，
()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则max 1
()()2
F x F =.
依题意，只需max ()0F x >，即211111
0343
a a a ⨯-⨯+⨯->，
即2
680a a +->，解得3a >-+或3a <--（舍去）.
所以正实数a 的取值范围是(3)-++∞.
【思路点拨】求导数根据导数的几何意义求出方程，根据单调性求出极值，根据单调性求出最大最小值求出a 范围。

【题文】22（本小题共14分）
已知函数f(x)，如果存在给定的实数对（a,b ）,使得f(a+x).f(a-x)=b 成立，则称f （x ）为“S -函数”． （1）判断函数f 1（x ）=x ，f 2（x ）=3x 是否是“S -函数”；
（2）若f 3（x ）=tanx 是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a ，b ）；
（3）若定义域为R 的函数f （x ）是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[1，2]，求当x ∈[-2015,2015]函数f （x ）的值域． 【知识点】单元综合B14
【答案解析】（Ⅰ）是（Ⅱ）（a , b ）=Z k k ∈±
),1,4(π
π(Ⅲ) ]2,2
1
[ （Ⅰ）若x x f =)(1是“S -函数”，则存在常数),(b a 使得(a +x )(a-x )=b.即x 2=a 2
-b 时，对x ∈R
恒成立. 而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾.因此x x f =)(1不是 “S -函数”. 若x
x f 3)(2=是
“S -函数”，则存在常数a ,b 使得a x a x
a 2333=⋅-+，
即存在常数对（a , 32a ）满足.因此x
x f 3)(2=是“S -函数”.
（Ⅱ）x x f tan )(3=是一个“S -函数”，设有序实数对（a ,b ）满足.则tan(a -x )tan(a +x )=b
恒成立. 当a =Z k k ∈+
,2
π
π时，x
x a x a 2tan 1
)tan()tan(-
=+-不是常数. 因此
Z k k a ∈+
≠,2
π
π，Z m m x ∈+
≠,2
π
π时，
则有b x a x
a x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2
222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan .即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立.
即⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 2
2
2b a b a a b Z k b k a ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=,1
4ππ.当Z m m x ∈+
=,2
π
π,4
π
π±
=k a 时 x
x a x a 2
tan 1
)tan()tan(-
=+-=1 因此满足x x f tan )(3=是一个“S -函数”的常数（a , b ）=Z k k ∈±
),1,4
(π
π. (Ⅲ) 函数)(x f 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(，于是,1)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f
即
]1,0[]0,1[∈--∈x x 时，当,].
2,2
1
[)(]1,1[].1,2
1
[)(]2,1[)()(1)(,
1)()(∈-∈∴∈⇒∈--=
=-⋅x f x x f x f x f x f x f x f 时，，由)()2()2(1)()(1)(1)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
-=-⇒⎩⎨
⎧=-⋅+=-⋅. 因此)(x f 为以2为周期的周期函数.当]2012,2012[-∈x 时，函数)(x f 的值域为]2,2
1[. 【思路点拨】本题属于新定义试题，根据所给定义求出所给结果。