普通高等学校招生国统一考试数学理试题安徽卷,含答案 试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕
本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1至第2页，第二卷第3页至第4页。

全卷满分是150分，考试时间是是120分钟。

考生考前须知：
1． 在答题之前，必须在试题卷、答题卡规定填写上本人的姓名、座位号，并认真核对
答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

必须在答题卡反面规定的地方填写上姓名和座位号后两位。

2． 答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答
案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3． 答第二卷时，必须使用的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．
书写，要求字体工整、笔迹明晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域答题，超出书写之答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿．．纸上答题无效．．．．．．。

4． 在在考试完毕之后以后，必须将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：
假如事件A 与B 互斥， 椎体体积1
3
V Sh =
，其中S 为椎体的底面积， 那么()()()P A B P A P B +=+ h 为椎体的高. 假如事件A 与B 互相HY ，那么
()()()P AB P A P B =
第一卷(选择题 一共50分)
一．选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

(1) 设 i 是虚数单位，复数ai
i
1+2-为纯虚数，那么实数a 为 〔A 〕2 (B) -2 (C) 1-2
(D) 1
2
〔1〕A
〔2〕 双曲线x y 22
2-=8的实轴长是
〔A 〕2 (B)〔2〕C
〔3〕 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，那么()f 1= 〔A 〕-3 (B) -1 〔Ｃ〕１ 〔Ｄ〕３ (3)A
〔４〕设变量,x y 满足1,x y +≤那么2x y +的最大值和最小值分别为 〔Ａ〕１，－１ 〔Ｂ〕２，－２ 〔Ｃ〕１，－２ 〔Ｄ〕２，－１ 〔4〕B
当目的函数过点〔0，－1〕，〔0,1〕时，分别取最小或者最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－2.应选B. (5) 在极坐标系中，点 (,
)π
23
到圆2cos ρθ= 的圆心的间隔 为
〔A 〕2 (B) 2
49
π+
(C) 2
19
π+
〔D) 3
(5)D
(6)一个空间几何体得三视图如下图，那么该几何体的外表积为
第〔8〕题图
〔A 〕1717(6)C
(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数〞的否认．．是 〔A 〕所有不能被2整除的数都是偶数 〔B 〕所有能被2整除的数都不是偶数 〔C 〕存在一个不能被2整除的数是偶数 〔D 〕存在一个能被2整除的数不是偶数 〔7〕D
〔8〕设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =那么满足S A ⊆且S B φ≠的集合S 的
个数为
〔A 〕57 〔B 〕56 〔C 〕49 〔D 〕8 〔8〕B
〔9〕函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，假设()()6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，且
()()2
f f π
π>，那么()f x 的单调递增区间是
〔A 〕,()3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ 〔B 〕,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦
〔C 〕2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤++
∈⎢⎥⎣
⎦ 〔D 〕,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
〔9〕C
(10) 函数()()m
n f x ax
x =1-在区间〔0,1〕上的图像如下图，那么m ，n 的值可能是
〔A 〕1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==
(10)B
第II 卷〔非选择题 一共100分〕
考生考前须知：
请用黑色墨水签字笔在答题卡上答题，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．
. 二．填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.把答案填在答题卡的相应位置.〔11〕〔11〕如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是 .
(11)15【命题意图】此题考察算法框图的识别，考察等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)
1232
k k T k +=+++
+=
，假设T ＝105，那么K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. 〔12〕设()
x a a x a x a x 21
22101221-1=+++，那么 .
〔12)0【命题意图】此题考察二项展开式.难度中等.
【解析】101110
102121
(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C 111010112121+=-=0.
〔13〕向量a ，b 满足〔a +2b 〕·〔a -b 〕=－6，且a =，2b =，那么a 与b 的夹角为 . (13)60°【命题意图】此题考察向量的数量积，考察向量夹角的求法.属中等难度的题.
【解析】()()
26a b a b +⋅-=-，那么22
26a a b b +⋅-=-，即22
1226a b +⋅-⨯=-，
1a b ⋅=，所以1
cos ,2
a b
a b a b ⋅〈〉=
=⋅，所以,60a b 〈〉=. 〔14〕ABC ∆ 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么ABC ∆的面
积为_______________
〔14)【命题意图】此题考察等差数列的概念，考察余弦定理的应用，考察利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为θ，由余弦定理得
222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，那么10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC
的面积为1
610sin120152
S =
⨯⨯⨯=〔15〕在平面直角坐标系中，假如x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，以下命题中正确
的选项是_____________〔写出所有正确命题的编号〕. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②假如k 与b 都是无理数，那么直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线
〔15)①③⑤【命题意图】此题考察直线方程，考察逻辑推理才能.难度较大.
【解析】令1
2
y x =+
满足①，故①正确；假设k b =y 过整点〔－1,0〕，所以②错误；设y kx =是过原点的直线，假设此直线过两个整点1122(,),(,)x y x y ，那么有11y kx =，22y kx =，两式相减得1212()y y k x x -=-，那么点1212(,)x x y y --也
在直线y kx =上，通过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个整点，通过上下平移y kx =得对于y kx b =+也成立，所以③正确；k 与b 都是有理数,直线y kx b =+不一定经过整点，④错误；直线2y x =
恰过一个整点，⑤正确.
三．解答题：本大题一一共6小题，一共75分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. 〔16〕(本小题满分是12分)
设()1x
e f x ax
=+*，其中a 为正实数
〔Ⅰ〕当a 4
3
=
时，求()f x 的极值点； 〔Ⅱ〕假设()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

〔17〕〔本小题满分是12分〕
如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，
1,2,OA OD ==OAB ,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

〔Ⅰ〕证明直线BC ∥EF ； 〔2〕求棱锥F —OBED 的体积.
〔18〕〔本小题满分是13分〕
在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.
〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S .
〔19〕〔本小题满分是12分〕 〔Ⅰ〕设1,1,x y ≥≥证明
11
x y xy xy x
++
≤+， 〔Ⅱ〕1a b c ≤≤≤，证明
log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.
〔20〕〔本小题满分是13分〕
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间是不超过10分钟，假如有一个人10分钟内不能完成任务那么撤出，再派下一个人。

如今一一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别
,,p p p 123,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件互相HY.
〔Ⅰ〕假如按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。

假设改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
〔Ⅱ〕假设按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中
,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值〔数字期望〕
EX ；
〔Ⅲ〕假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值〔数字期望〕到达最小。

〔21〕〔本小题满分是13分〕
设λ>0，点A 的坐标为〔1,1〕，点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。

创作人：历恰面日期：2020年1月1日。