2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示高效演练分层突破文新人教A版

第1课时 函数及其表示
[基础题组练]
1．函数y ＝1
ln （x －1）的定义域为( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(1，2)∪(2，＋∞)
D ．(1，2)∪[3，＋∞)
解析：选C.由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1
ln （x －1）
的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
2．已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－7
4
B.74
C.43
D ．－43
解析：选B.令t ＝1
2x －1，则x ＝2t ＋2，
所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝7
4
.
3．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－2x
（x ≤0），
f （x －3）（x >0），
则f (5)的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．0
D.12
解析：选D.f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1
＝12
.故选D.
4．已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( )
A ．(x ＋1)2
(x ≠1) B ．(x －1)2
(x ≠1) C ．x 2
－x ＋1(x ≠1)
D ．x 2
＋x ＋1(x ≠1) 解析：选 C.f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2
－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2
－x ＋1(x ≠1)．
5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，
－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝ ，函数f (x )的值域是 ．
解析：因为f (2)＝1
2
，
所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0，1)， 当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－5
2
[－3，＋∞)
6．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－1
2
x ，所以
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1，－1≤x <0，－12
x ，0≤x ≤2.
答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12
x ，0≤x ≤2
7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，
－（x －1）2，x ＞0，
则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是 ．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12
x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，
－（x －1）2
≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]． 答案：[－4，2]
8．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，
2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．
(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．
解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪
⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，
2x ，x ≥0. (2)f (x )的图象如图所示．
[综合题组练]
1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2
x －1
(x >0)；③y ＝x 2
＋2x －10；
④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x
（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B.①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1
(x >0)的定义域为(0，＋∞)，
值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，
值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1
x
（x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，
(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x
，x ≤0，ln x ，x >0，则( )
A ．(f ·f )(x )＝f (x )
B ．(f ·g )(x )＝f (x )
C ．(g ·f )(x )＝g (x )
D ．(g ·g )(x )＝g (x )
解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，
f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝
x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2
；当x ＝0时，(f ·f )(x )
＝f 2(x )＝0＝02
，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.
3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧2－x
＋1，x ≤0，
－x ，x >0，则f (x ＋1)－9≤0的
解集为 ．
解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧2－x
＋1，x ≤0，
－x ，x >0，
所以当x ＋1≤0时，⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－1，
2－（x ＋1）－8≤0，解得－4≤x ≤－1；
当x ＋1>0时，⎩⎨⎧x >－1，
－x ＋1－9≤0，
解得x >－1.
综上，x ≥－4，即f (x ＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f (x )＝x 2
；②f (x )＝
1
x －1
； ③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的序号有 ．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f (x )．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意； ②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意； ③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f (x )＝2sin x －1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③。