北师版数学高一必修4备课资料3.2两角和与差的正、余弦函数

备课资料
一、备用习题
1.计算
8
sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值. 2.利用和差角公式计算下列各式的值.
(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.
(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.
(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
3.化简cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.
4.已知2
π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值. 5.求证:cosα+3sinα=2sin(
6
π+α). 参考答案:
1.解:原式=
8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =
8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =323
3133
130tan 45tan 130tan 45tan -=+-
=+- . 2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. (2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cosα.
4.解:∵2
π＜β＜α＜43π, ∴0＜α-β＜
4
π,π＜α+β＜23π. 又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-5
4, ∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53. ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-65
56. 5.证明:方法一:右边=2(sin
6πcosα+cos 6πsinα) =2(2
1cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.
方法二:左边=2(
21cosα+23sinα) =2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6
π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.
本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实
质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6
π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acosφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=2222sin ,b a b b a a
+=+ϕ,从而得到tanφ=b
a ,因此asinx+bcosx=22
b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
二、三角函数知识歌诀
三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.
同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.
诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.
三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.
将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.
计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.
换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.
单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.
三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.
(设计者:郑吉星)。