浙江省绍兴市上虞实验中学2022-2023学年数学九上期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，若DE ＝2AD ，AE ＝2，那么AC 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 2．小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面四条信息：①230a b +=；②24b ac -＜0；
③0a b c -+>；④方程20ax bx c ++=必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．一组数据3，1，4，2，－1，则这组数据的极差是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，AB ＝5，则BC 的长为（ ）
A ．5sin25°
B ．5tan65°
C ．5cos25°
D ．5tan25°
5．桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
6．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ）
A ．3
B ．31+
C ．31-
D ．23
7．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +<，③420a b c -+<，
④20a b c ++>，其中正确结论的个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ） A ．18 B ．38 C ．58 D ．12
9．下列图形中不是位似图形的是
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知x ，y 满足2254440-+++=x x xy y ，则x
y 的值是（ ）． A ．16 B ．
116 C ．8 D ．18
11．在反比例函数1k y x -=的图象的每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 值可以是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3
12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )
A ．10π
B ．103
C ．103π
D ．π
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，原点O 为平行四边形A ．BCD 的对角线A ．C 的中点，顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(4，2)，(a ，b)，(m ，n)，(－3，2)．则（m+n ）（a +b ）=__________．
14．已知11x =-是方程260x mx +-=的一个根，则方程另一个根是________.
15．抛物线23y x =向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线是______．
16．如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF 的边长为 .
17．如图，△ABC 中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为_________________
18．用一个圆心角为120︒的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣53
经过点A （1，0）和点B （5，0），与y 轴交于点C ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A 为圆心，作与直线BC 相切的⊙A ，求⊙A 的半径；
（3）在直线BC 上方的抛物线上任取一点P ，连接PB ，PC ，请问：△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）已知抛物线y=2x 2-12x+13
(1)当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少?
(2)当x 为何值时,y 随x 的增大而减小
(3)将该抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位,请直接写出新抛物线的表达式
21．（8分）（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l 3：21(2)12
y x =
-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．
22．（10分）如图，点A的坐标为（0，﹣2），点B的坐标为（﹣3，2），点C的坐标为（﹣3，﹣1）．
（1）请在直角坐标系中画出△ABC绕着点A顺时针旋转90°后的图形△AB′C′；
（2）直接写出：点B′的坐标，点C′的坐标．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺
．．．．．．分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .
24．（10分）如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D.
（1）求AOC ∠的度数.
（2）如图②，点E 在O 上，连结CE 与O 交于点F ，若EF AB =，求OCE ∠的度数.
25．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点C ，BE ⊥CD 于E ，连接AC ，BC ．
（1）求证：BC 平分∠ABE ；
（2）若⊙O 的半径为3，cos A ＝23
，求CE 的长．
26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y （件）与销售单价x （元）满足函数20100y x =-+，设销售这种饰品每天的利润为W （元）.
（1）求W 与x 之间的函数表达式；
（2）当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？
（3）在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先证明BD ＝DE ＝2AD ，再由DE ∥BC ，可得
AD AE BD EC
=，求出EC 即可解决问题． 【详解】解：∵DE ∥BC ，
∴∠DEB ＝∠EBC ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠EBC ，
∴∠DEB ＝∠DBE ，
∴DB ＝DE ，
∵DE ＝2AD ，
∴BD ＝2AD ，
∵DE ∥BC ， ∴
AD AE BD EC
=, ∴122EC =, ∴EC ＝4，
∴AC ＝AE +EC ＝2+4＝6，
故选：D ．
【点睛】
此题考查平行线分线段成比例，由DE ∥BC ，可得
AD AE BD EC =，求出EC 即可解决问题． 2、C
【详解】观察图象可知，抛物线的对称轴为x=
13，即123b a -=，所以2a+3b=0，即①正确； 二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，②错误；
由图象可知，当x=-1时，y ＞0，即a-b+c>0，③正确；
由图象可知，二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点在0和-1之间，所以方程20ax bx c ++=必有一个根在－1到0之间，④正确．
正确的结论有3个，故选C ．
【点睛】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
3、A
【分析】根据极差的定义进行计算即可.
【详解】这组数据的极差为：4－(－1)=5.
故选A.
【点睛】
本题考查极差，掌握极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差，是解题的关键.
4、C
【分析】在Rt △ABC 中，由AB 及∠B 的值，可求出BC 的长．
【详解】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，AB ＝5，
∴BC ＝AB•cos ∠B ＝5cos25°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形及其应用是解题的关键．
5、A
【详解】∵桌面上放有6张卡片，卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色， ∴抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是：
3162=． 故选A ．
6、B
【分析】设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG
都是等腰直角三角形，设AB =2，则易求出CF ，由△CEF ∽△AEB ，可得EF CF BE AB ==，于是设EF ，则2BE x =，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x 的代数式表示出CF 、CD 、DE 、DG 、EG 的长，进而可得CG 的长，然后利用正切的定义计算即得答案.
【详解】解：设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形，
∴△CEF ∽△AEB ，
设AB =2，∵∠ADB =30°，
∴BD =
∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ，
∴CF=DF=BF =12BD =3， ∴32EF CF BE AB ==， 设EF =3x ，则2BE x =，
∴()23BF CF DF x ===+，
∴()()22232
26CD DF x x ==+=+，()()233223DE DF EF x x x =+=++=+， ∴()()
222232622EG DG DE x x ===+=+， ∴()()226262CG CD DG x x x =-=+-
+=， ∴()62tan 312x EG ACD CG
x +∠===+.
故选：B.
【点睛】
本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.
7、B
【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点位置，可判断a 、b 、c 的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y 轴的交点在x 轴上方，∴a ＜0，c ＞0，
∵0＜-2b a
＜1，∴b ＞0，且b ＜-2a ，∴abc ＜0，2a+b ＜0，故①不正确，②正确； ∵当x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，故③正确；
∵当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，又c ＞0，∴a+b+2c ＞0，故④正确；
综上可知正确的有②③④，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
8、B
【分析】画树状图得出所有情况数和遇到两次红灯的情况数，根据概率公式即可得答案．
【详解】根据题意画树状图如下：
共有8种等情况数，其中遇到两次红灯的有3种，
则遇到两次红灯的概率是38
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到遇两次红灯的情况数是解题关键．
9、C
【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
【详解】根据位似图形的概念，A 、B 、D 三个图形中的两个图形都是位似图形；
C 中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
10、A
【分析】先把等式左边分组因式分解，化成非负数之和等于0形式，求出x,y 即可.
【详解】由22
54440-+++=x x xy y 得 ()()22244440xy y x x x +++-+=
()()22220x x y +++=
所以2x y +=0，2x +=0
所以x=-2,y=-4
所以x y =（-4）-2=16
故选：A
【点睛】
考核知识点：因式分解运用.灵活拆项因式分解是关键.
11、A 【解析】因为1k y x
-=
的图象，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大， 所以k−1<0，
即k<1.
故选A.
12、C
【详解】如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：2210AD CD +
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，
则顶点A 所经过的路径长为601010π⨯=． 故选C.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-6
【分析】易知点A 与点C 关于原点O 中心对称，由平行四边形的性质可知点B 和点D 关于原点O 对称，根据关于原点对称横纵坐标都互为相反数可得点B 、点C 坐标，求解即可.
【详解】解：根据题意得点A 与点C 关于原点O 中心对称，点B 和点D 关于原点O 对称
(4,2),(3,2)A D -
(3,2),(4,2)B C ∴---
3,2,4,2a b m n ∴==-=-=-
()()616m n a b ∴++=-⨯=-
故答案为：6-
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的中心对称，正确理解题意是解题的关键.
14、1
【分析】设方程另一个根为x 1，根据根与系数的关系得到-1•x 1=-1，然后解一次方程即可．
【详解】设方程另一个根为x 1，根据题意得-1•x 1=-1，
所以x 1=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-
b a ，x 1x 2=
c a
． 15、23(2)1y x =++
【分析】先得到抛物线23y x =的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为23(2)1y x =++．
【详解】抛物线23y x =的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（2-，1），
所以平移后的抛物线的解析式为23(2)1y x =++．
故答案为：23(2)1y x =++．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，再考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【解析】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在抛物线上，
∴
6
1
a
a
=
+
，整理得260
a a
+-=，解得2
a=或3
a=-（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
17、16
7
秒或1秒
【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可
【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
AP AQ
AB AC
=，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是16
7
=
163t
8
-
，
解得，t=16 7
（2）当△APQ∽△ACB时，AP AQ AC AB
=，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是
16
16
=
7
3
8
t
-
，
解得t=1．
故答案为t=16
7
或t=1．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键．
【解析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列式进行求解即可. 【详解】设这个圆锥的母线长为l，
依题意，有：
120
24
180
l
π
π
⨯
⨯=，
解得：12
l＝，
故答案为：12.
【点睛】
本题考查了圆锥的运算，正确把握圆锥侧面展开图的扇形的弧长与底面圆的周长间的关系是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）y=﹣1
3
2
x+2x﹣5
3
；（2
）
5
；（3）存在最大值，此时P点坐标（
5
2
，
5
4
）．
【分析】（1）将A、B两点坐标分别代入抛物线解析式，可求得待定系数a和b，即可确定抛物线解析式；（2）因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，根据抛物线解析式求出C点坐标，根据勾股定理求出BC的长，再求出AB的长，利用相似三角形的性质即两个三角形相似，对应线段成比例，可求得AD的长，即为⊙A的半径；（3）先由B,C点坐标求出直线BC解析式，然后过P 作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，因为P在抛物线上，P,Q点横坐标相同，所以可设出P、Q点的坐标，并把PQ的长度表示出来，进而表示出△PQC和△PQB的面积，两者相加就是△PBC的面积，再利用二次函数的性质讨论其最大值，容易求得P点坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5
3
经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得：
5
3
5 2550
3
a b
a b
⎧
+-=
⎪⎪
⎨
⎪+-=
⎪⎩
，
解得：
1
3
2
a
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴抛物线解析式为y=﹣1
3
2
x+2x﹣
5
3
；
（2）过A作AD⊥BC于点D，
如图1：因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣5
3
），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=5
3
，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得：BC=22
OC OB
+=
2
2
5
5
3
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=
510
3
，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴AD AB
OC BC
=，即
4
5510
33
AD
=
，
解得AD=210
5
，
即⊙A的半径为210
5
；
（3）∵C（0，﹣5
3），
∴设直线BC解析式为y=kx﹣5
3
，
把B点坐标（5,0）代入可求得k=1
3
，
∴直线BC的解析式为y=1
3
x﹣
5
3
，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，
如图2，因为P在抛物线上，Q在直线BC上，P,Q两点横坐标相同，
所以设P（x，﹣1
3
2
x+2x﹣
5
3
），
则Q（x，1
3
x﹣
5
3
），
∴PQ=（﹣1
3
2
x+2x﹣
5
3
）﹣（
1
3
x﹣
5
3
）=﹣
1
3
2
x+
5
3
x=﹣
1
3
2
5
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
25
12
，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ
=1
2
PQ•OE+
1
2
PQ•BE=
1
2
PQ（OE+BE）
=1
2
PQ•OB=
5
2
PQ
=5
2
×[﹣
1
3
2
5
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
+
25
12
]
=
2
55125 6224
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
，
∵
5
6
-<0，∴当x=
5
2
时，S△PBC有最大值
125
24
，
把x=5
2
代入﹣
1
3
2
x+2x﹣5
3
，
求出P点纵坐标为5
4
，
∴△PBC的面积存在最大值，此时P点坐标（5
2
，
5
4
）．
【点睛】
本题考查1．二次函数的综合应用；2．切线的性质；3．相似三角形的判定和性质；4．用待定系数法确定解析式，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键．
20、（1）当x=3时，y有最小值,最小值是-5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）y=2x2-20x+47.
【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式，即可求出结论；
（2）根据抛物线的开口方向和对称轴左右两侧的增减性即可得出结论；
（3）根据抛物线的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减，即可得出结论.
【详解】解：（1）y=2x2-12x+13=2（x2-6x）+13=2（x2-6x+9-9）+13=2（x-3）2-5
∵2＞0
∴当x=3时，y有最小值,最小值是-5；
（2）∵2＞0，对称轴为x=3
∴抛物线的开口向上
∴当x＜3时，y随x的增大而减小；
（3）∵将该抛物线向右平移2个单位,再向上平移2个单位,
∴平移后的解析式为：y=2（x-3-2）2-5+2=2（x-5）2-3
即新抛物线的表达式为y=2x 2-20x+47
【点睛】
此题考查的是二次函数的图像及性质，掌握用二次函数的顶点式求最值、二次函数的增减性和二次函数的平移规律是解决此题的关键.
21、（1）()4,1；（2）4l 的函数表达式为()21412
y x =--+，24x ≤≤；（3）120a a +=，理由详见解析 【分析】（1）设x=1，求出y 的值，即可得到C 的坐标，根据抛物线L 3：21(2)12y x =
--得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标；
（2）由（1）可知点D 的坐标为（4，1），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得（a 1+a 2）（h-m ）2=1．可得120a a +=．
【详解】解：（1）∵抛物线l 3：21(2)12
y x =
--， ∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=1，则y=1，
∴C （1，1），
∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，1）；
（2）解：设4l 的函数表达式为()241y a x =-+
由“友好”抛物线的定义，过点()2,1- ()21241a ∴-=-+
12
a ∴=- 4l 的函数表达式为()21412
y x =--+ 3l ∴与4l 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是24x ≤≤
（3）120a a +=
理由如下：
∵ 抛物线()21y a x m n =-+与抛物线()2
2y a x h k =+－互为“友好”抛物线，
()()2122k a h m n n a m h k ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩①② ①+②得：()()2
210+-=a a m h m h ≠
120a a ∴+=
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
22、 (1)见解析；(2) （4，1），（1，1）．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B 、C 点的对应点B ′、C ′即可；
（2）利用（1）所画图形写出点B ′的坐标，点C ′的坐标．
【详解】解：（1）如图，△ABC ′为所作；
（2）点B ′的坐标为（4，1），点C ′的坐标为（1，1）．
故答案为（4，1），（1，1）．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的变化-旋转，作出图形，利用数形结合求解更加简便
23、 (1)作图见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）根据AB=2CD ，AB=BE ，可知BE ＝CD ，再根据BE//CD ，可知连接CE ，CE 与BD 的交点F 即为BD 的中点，连接AF ，则AF 即为△ABD 的BD 边上的中线；
（2）由（1）可知连接CE 与BD 交于点F ，则F 为BD 的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD ，EF=12AD ，则可得四边形ADFE 要等腰梯形，连接AF ，DE 交于点O ，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD ，再结合BA=BD
可知直线BO 是线段AD 的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD 的AD 边上的高 .
【详解】（1）如图AF 是△ABD 的BD 边上的中线；
（2）如图AH 是△ABD 的AD 边上的高.
【点睛】
本题考查了利用无刻度的直尺．．．．．．
按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键. 24、（1）135AOC ∠=︒； （2）30OCE ∠=︒.
【分析】（1）根据题意连接OB ，利用圆的切线定理和平行四边形性质以及等腰直角三角形性质进行综合分析求解； （2）根据题意连接OE ，OF ，过点O 作OH EC ⊥于点H ，证明EOF △是等腰直角三角形，利用三角函数值进行分析求解即可.
【详解】解：（1）连接OB ，如下图，
∵BC 是圆的切线，
∴OB BC ⊥，90OBC ∠=︒，
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴//OA BC ，AOC ABC ∠=∠，
∴OB OA ⊥，又OA OB ⊥，
∴AOB 是等腰直角三角形，
∴45ABO ∠=︒，
∴4590135ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴135AOC ∠=︒；
（2）连接OE ，OF ，过点O 作OH EC ⊥于点H ，如下图，
∵EF AB = ，
∴90EOF AOB ∠=∠=︒，
∵OE OF =，
∴EOF △也是等腰直角三角形，
∵OH EC ⊥，
∴HE HF =， ∴111222
OH EF AB OC =
==， ∴1sin 2OH OCE OC ∠==， ∴30OCE ∠=︒.
【点睛】
本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质是解题的关键.
25、（1）证明见解析；（2）143
． 【分析】（1）根据切线的性质得OC ⊥DE ，则可判断OC ∥BE ，根据平行线的性质得∠OCB ＝∠CBE ，加上∠OCB ＝∠CBO ，所以∠OBC ＝∠CBE ；
（2）由已知数据可求出AC ，BC 的长，易证△BEC ∽△BCA ，由相似三角形的性质即可求出CE 的长．
【详解】（1）证明：∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC ⊥DE ，
而BE ⊥DE ，
∴OC ∥BE ，
∴∠OCB ＝∠CBE ，
而OB ＝OC ，
∴∠OCB ＝∠CBO ，
∴∠OBC ＝∠CBE ，
即BC 平分∠ABE ；
（2）∵⊙O 的半径为3，
∴AB ＝6，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵cos A ＝3
，
∴AC AB ＝3
，
∴AC ＝，
∴BC ，
∵∠ABC ＝∠ECB ，∠ACB ＝∠BEC ＝90°，
∴△BEC ∽△BCA ， ∴CE AC ＝BC AB
，
，
∴CE ＝
3． 【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
26、（1）221201000=-+-W x x ；（2）销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元；（3）单价定为25元
【分析】（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出W 与x 之间的函数表达式；
（2）根据二次函数的性质即可求出最大值；
（3）令750W =,求出x 值即可.
【详解】解：（1）2
(2100)(10)21201000W x x x x =-+-=-+-
（2）由（1）知，22212010002(30)800W x x x =-+-=--+
∵20-<，
∴当30x =时，W 有最大值,最大值为800元
即销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元.
（3）令750W =，即221201000750x x -+-=
解得25x =或35x =
因为要确保顾客得到优惠
所以35x =不符合题意，舍去
所以在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为25元
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.。