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对偶性质
对偶理论的性质及证明
性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题
证明设原问题为
max z ..0CX
AX b s t X =≤??≥? (1)
对偶问题为
min ..0w Yb
YA C s t X =≥??≥? (2)
对偶问题的对偶问题为
max ..0CU
AU b s t U ?=≤??≥? (3)
⽐较式(1)和式(3), 显然⼆者是等价的, 命题得证.
性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意⼀个可
⾏解,Y 是对偶问题的任意⼀个可⾏解,那么总有
CX Yb ≤ (4)
证明根据式(1), 由于AX b ≤, ⼜由于0Y ≥, 从⽽必有
YAX Yb ≤ (5)
根据式(2), 由于YA c ≥, ⼜由于0X ≥, 从⽽必有
YAX CX ≥ (6)
结合式(5)和式(6), ⽴即可得CX Yb ≤,命题得证.
性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可⾏解,*Y 是对偶问题式(2)的可⾏解,当是
**CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明设X 是式(1)的最优解, 那么有
*CX CX ≥ (7)
由于**CX Y b =,那么
*CX Y b ≥ (8)
根据弱对偶性质, ⼜有
*CX Y b ≤ (9)
从⽽*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。

同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。

性质4(⽆界性) 设原问题为⽆界解，则对偶问题⽆解。

证明⽤反证法证明。

设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。

假定对偶问题有解，那么存在⼀个可⾏解为Y 。

这时对偶问题的⽬标函数值为Yb T =。

由于原问题为⽆界解，那么⼀定存在⼀个可⾏解X 满⾜CX T >，因此CX Yb >。

⽽根据弱对偶性，⼜有CX Yb ≤，发⽣⽭盾。

从⽽对偶问题没有可⾏解。

性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优⽬标函数值相等。

（复习矩阵算法）
证明设B 为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。

选择不同地区、不同⾏业、不同发展规模、不同历史、不同风
格的企业⾼层管理⼈员或技术部门负责⼈，进⾏半结构化的访谈，进⼀步收集信息并完善研究思路。

（2）协同学⽅法。

运⽤协同学⽅法对装备制造业突破性创新系统的演进进⾏仿
真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进⾏分析，从产业⽣命周期的四阶段提出装备制造业突破性创新机制系统根据⽣命周期发展过程的不同策略。

（3）结构⽅程模型。

通过规范的问卷调查程序和数据处理⽅法，建⽴起合乎研
究要求的数据库，再通过对获得的数据采⽤结构⽅程模型(SEM)等统计分析⽅法，以验证提出的概念模型与假设是否成⽴。

为B 时的检验数为1B C C B A --，其中B C 为由基变量的价值系数组成的价值向量。

既然B 为原问题式(1)的最优基，那么有10B C C B A --≤。

令1B Y C B -=，那么有0C YA YA C -≤?≥，从⽽1B Y C B -=是对偶问题式(2)的可⾏解。

这样⼀来，1B Y C B -=是对偶问题的可⾏解，1B X B b -=是原问题的最优基可⾏解。

由于1B B N N B CX C X C X C B b -=+=，⽽1B Y b C B b -=，从⽽有CX Yb =。

根据性质3，命
题得证。

性质6(对偶松弛定理、松弛性) 若??, X
Y 分别是原问题和对偶问题的可⾏解，那么?0s YX =和?0s
Y X =，当且仅当??, X Y 为最优解。

证明设原问题和对偶问题的标准型是
原问题对偶问题
max z ..0CX
AX b s t X =≤??≥? min ..0w Yb YA C s t X =≥??≥?
将原问题⽬标函数中的系数向量C ⽤s C YA Y =-代替后，得到
()s s Z CX YA Y X YAX Y X ==-=- (10)
将对偶问题的⽬标函数中系数列向量，⽤s b AX X =+代替后，得到
()s s Yb Y AX X YAX YX ω==+=+ (11)
若?0s YX =，?0s
Y X =，则CX YAX Yb ==，由最优性可知??, X Y 分别是原问题和对偶问题的最优解。

⼜若??, X
Y 分别是原问题和对偶问题的可⾏解，再根据最优性，则有??CX Yb = 由式(10)和(11)，必有?0s YX =，?0s Y X =。