浙江省温州市第二外国语学校高三数学10月阶段性检测试试题理(含解析)

浙江省温州市第二外国语学校2016届高三数学10月阶段性检测试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}22{≤≤-=x x M ，}1{x y x N -==，那么=N M A ．}12{<≤-x x B ．}12{≤≤-x x C ．}2{-<x x D ．}2{≤x x【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}{|10|1,N x y x x x x ==-≥=≤又因为}22{≤≤-=x x M ，所以=N M {}|1x x ≤⋂{22}x x -≤≤=}12{≤≤-x x ，所以应选B.考点：集合的运算.2.设k R ∈，“1k ≠”是“直线:l y kx =221x y +=不相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：圆221x y +=的圆心是（0,0）,半径为1，直线:l y kx =,可化为0kx y -=，它到原点的距离1d ==时，1k =±，所以“1k ≠”时“直线:l y kx =与圆221x y +=有可能相切，所以不充分；“直线:l y kx =与圆221x y +=不相切”则“1k ≠”必要，所以 “1k ≠”是“直线:l y kx =221x y +=不相切”的必要不充分条件. 考点：充分条件必要条件的判定.3.各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则=+11272log log a a A ．1 B ．2 C ．3D ． 4【答案】C 【解析】试题分析：因为各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，所以2414414(22),8a a a a =∴=，=+11272log log a a 32711241422log ()log ()log 8log 23a a a a ⋅====，故选C.考点：等比中项及对数的运算.4.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为侧视图俯视图正视图22113A ．4πB ．283πC ．443π D ．20π【答案】B考点：由三视图求三棱柱的外接球的表面积.5.已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，边AB 的中点为D ，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中R λ∈，则P 点一定在A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上C ．AC 边所在的直线上D ．ABC ∆的内部 【答案】C 【解析】试题分析：因为2(1)PD PA CB λ=-+，所以2()PA AD PA PA CB λ+=-+,22PA AD PA PA CB λ+=-+,2PA AD CB PA λ+-=-,因为D 边为AB 的中点，所以PC PA λ=-,所以P 点一定在AC 边所在的直线上. 考点：向量在几何中的应用.6.函数22x y x -=的图象大致是A B C D 【答案】A考点：函数的图像.7.．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为21,F F ，421=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点1,APF A ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1=PQ |，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．2C 3D 21F 2F PAxyO xQO【答案】B 【解析】试题分析：由题意如图∵|PQ|=1，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ， ∴根据切线长定理可得AM=AN ，11,F M F Q PN PQ ==∵12||||AF AF = ∴AM+F 1M=AN+PN+NF 2，F 1M=PN+NF 2=PQ+NF 2,所以|PF 1|-|PF 2|=F 1Q+PQ-PF 2=F 1M+PQ-PF 2=PQ+NF 2+PQ-PF 2=2PQ=2， ∵421=F F ，∴双曲线的离心率是221c e a ===.考点：双曲线性质的应用.8.设函数2()32t h x tx t =-，若有且仅有一个正实数0x ，使得600()()t h x h x ≥对任意的正数t 都成立，则0x =A ．5B ．6C ．7D ． 8 【答案】D 【解析】试题分析：令200()32,()34g t tx t g t x t '=-=-，令003()340,t 4g t x t x '=-==，当03t ,()0,4x g t '<>函数20()32g t tx t =-单调递增；当03t ,()0,4x g t '><函数20()32g t tx t =-单调递减，所以20()32g t tx t =-的最大值为03()4g x ，由题意有且仅有一个正实数0x ，使得600()()t h x h x ≥对任意的正数t 都成立，所以0036,84x x ==故选D.考点：函数恒成立问题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题(本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分) 9.已知tan （+α）=，α∈（，π），则αtan 的值是 ；αααcos sin sin 2+的值是 ；⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值是 ． 【答案】﹣_,253-,10343-【解析】考点：三角函数的应用.10.平面直角坐标系中，已知)01(，F ，动点),1(t P -，线段PF 的垂直平分线与直线t y =的交点为M ，设M 的轨迹为曲线ℜ，则ℜ的方程为 ，A 、B 、C 为曲线ℜ上三点，当=++时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 个。

【答案】x y 42=,无数个 【解析】试题分析：点)01(，F 和),1(t P -垂直平分线为22ty x t =+，与直线t y =的交点为M 2(,)4t t ，设M (x,y)，则24t x y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩消参得M 的轨迹为曲线x y 42=; A 、B 、C 为曲线ℜx y 42=上三点，当0=++FC FB FA ,F 为三角形ABC 的内心，：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）抛物线x y 42=焦点坐标F （1，0），准线方程：x=-1， 则x 1+x 2+x 3=3，y 1+y 2+y 3=0，满足这样条件抛物线上的点有无数个，所以应填无数个. 考点：抛物线的定义及性质.11.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ ，则f(1)= 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是【答案】54， 599(,)(,1)244----【解析】试题分析：当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 所以55(1)sin 424f π==；因为关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，令()t f x =，则20t at b ++=，作出()y f x =的图像，由图像知：1y t =在(0,1)有两个交点，2y t =在5(1,)4有四个交点，由12t t a +=-，即9(1,),4a -∈即9(,1),4a ∈--或54y =与()y f x =有两个交点，y t =在5(1,)4有四个交点，由595(,)442t a +=-∈，可得59(,)24a ∈--，综上a 的取值范围是599(,)(,1)244----.考点：分段函数的应用12.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥092,,0y x x y x ，这y x z -=的最小值是 .【答案】0 【解析】试题分析：画出满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥092,,0y x x y x 可行域因为y x z -=，则y x z =-，z 的几何意义是直线y x z =-在y 轴截距的相反数，易得最小值为0. 考点：线性规划.13.设,21==b a ，若向量c 满足b a b a c -=+-)(，则c 的最大值是 【答案】52考点：向量的运算性质.14.在侧棱长为a 的正三棱锥S ABC -中，2BSA π∠=,P 为ABC ∆内一动点，且P 到三个侧面SAB ,SBC ,SCA 的距离为123,,d d d ．若123d d d +=，则点P 形成曲线的长度为【答案】22a 【解析】试题分析：由题意可设得个侧面SAB ,SBC ,SCA 的面积为212a ,由等积法可得231231111()3232a d d d a ⨯++=⨯，又因为123d d d +=，312d a =，作一个平面//α平面SCA ，与平面ABC 交线DE 为点P 形成轨迹，由三角形相似可得122DE BC a ==. 考点：点线面距离的运算.15.已知等比数列{}n a 的首项为，公比为，其前项和记为S ，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为【答案】45 【解析】试题分析：由题意，411()1331()1313n n s ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==--+ 当2n =时，n B 的所有非空子集为：1313137,,,,22424244s ⎧⎫⎧⎫⎧⎫∴=⨯+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭； 当3n =时，n B 的所有非空子集为：135133515135135,,,,,,,,,,,4124248244828248248s ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫∴=⨯+⨯+⨯=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭； 当4n ≥时，当最小值为212nn - 时，每个元素都有或无两种情况，共有1n - 个元素，共有121n --个非空子集，121;2n s -=当最小值为123,2n n --不含21,2n n -含123,2n n --共2n -个元素，有221n --个非空子集，2232n s -=21221237531222442n n n n T S S S ---∴=+++=+++++=，22014,S T +≥211()120143n n ∴--+-≥，解得45n ≥.考点：数列和的求法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分15分）在ABC ∆中，三内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且c a C b -=2cos 2．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3π=B ；(Ⅱ) 3sin sin 0,4AC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦试题解析：考点：正余弦定理的应用.17.（本小题满分15分）如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆ 沿线段EC 翻折到PAC （点D 与点P 重合），使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB .(Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求二面角C AB P --的大小.【答案】(Ⅰ)证明见解析， (Ⅱ) 5【解析】试题分析：（1）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（2）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值; （3) 空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备. 试题解析：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中， ∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠, ∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ……… 6分(Ⅱ)如图，以O 为原点，直线OA ，OB 分别为x 轴，y 轴，平面PAC 内过O 且垂直于直线AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，可设点),0,(z x P又)0,0,32(A ，)0,2,0(B ，)0,0,3(-C ，)0,1,3(-E ，且由2=PE ，7=PC 有⎩⎨⎧=++=++-7)3(41)3(2222z x z x，解得x z ==，∴P则有(AP =，设平面PAB 的法向量为),,(c b a n =， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，取(1,3,n =又易取得平面ABC 的法向量为)1,0,0(，并设二面角C AB P --的大小为θ，∴cos 3θ==， ∴二面角C AB P --的角为arccos 3. 考点：（1）线面垂直;(2)二面角.18.（本小题满分15分）已知函数321,(1)()(1),(1)x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，（Ⅰ）若1)]1([-=-e f f ，求c 的值；（Ⅱ）函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围； （III ）当e c =时，讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数。