备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题六 平面向量的数量积问题

I ．题源探究·黄金母题【例1】已知||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为60︒，求(2)(3)a b a b +⋅-． 【解析】(2)(3)a b a b +⋅- ＝6a a a b b b ⋅-⋅-⋅＝22||6||a a b b -⋅-＝22||cos 6||a a b b θ-⋅-＝22664cos6064-⨯⨯︒-⨯ ＝72-．II ．考场精彩·真题回放【例2】 【2016浙江高考卷】已知向量,a b ，||1a =，||2b =，若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤，则a b ⋅的最大值是___________．【答案】12【解析】|()|||||6||6a b e a e b e a b +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤，∴22||||26a b a b ++⋅≤，则12a b ⋅≤，即最大值为12． 【例3】（2016年天津高考理）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为（ ） A ．85-B ．81C ．41D ．811【答案】B【例4】 【2015年天津高考理】在等腰梯形ABCD 中,已知,2,1ABDC AB BC ==，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值为___________．A【答案】2918【解析】因为19DF DC λ=，12DC AB =，所以19CF DF DC DC DC λ=-=-＝199DC λλ-＝1918AB λλ-，则AE AB BE =+＝ AB BC λ+，AF AB BC CF =++＝1918AB BC AB λλ-++＝1918AB λλ+＋BC ，所以 ()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭＝221918AB BC λλλ++＋19118AB BC λλλ+⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭＝19199421cos1201818λλλλ++⨯++⨯⨯⨯︒＝ 21179218λλ++≥17291818=，当且仅当 2192λλ=，即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918． 【例5】【2015广东高考卷文】在平面直角坐标系x y O 中， 已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【例6】【2014山东高考卷理】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 ________. 【答案】16【解析】由tan AB AC A ⋅=得，||||cos tan ,||||AB AC A A AB AC ⋅=⋅＝tan cos AA＝ tan263cos 6ππ=，所以，1||||sin 2ABCS AB AC A ∆=⋅＝ 1221sin 23636π⨯⨯==． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修四第105页例3【母题评析】本题中,a b 是利用两个已知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两个新向量的数量积，求解时通常直接利用数量积公式可直接解决．高考命题常常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向量的数量积．【思路方法】求由两个已知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的数量积，通常利用乘法法则展开，然后利用两个已知向量模与夹角进行求解． 【命题意图】本类题主要考查平面向量数量积的求法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小．也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中．【难点中心】（1）平面向量的数量积公式有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（2）在平面几何图中进行向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个向量的模及夹角是已知的． III ．理论基础·解题原理考点一 向量数量积的定义及运算公式已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅＝||||cos a b θ，其中θ为a 与b 的夹角．规定：零向量与任意向量的数量积为0． 数量积的坐标形式：若向量1122()()a x y b x y ==，，，，则1122a b x y x y ⋅=+． 考点二 向量的投影||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．考点三 向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积． 考点四 数量积的性质 （1）0a b a b ⊥⇔⋅=．（2）当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-．特别地2||a a a ⋅=或||a a a =⋅．（3）||||||a b a b ⋅≤⋅． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇． 【技能方法】（1）求已知两个向量的数量积，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据向量数量积的大小或关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量数量积公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为两步：①简化向量的表达式；②利用向量夹角公式建立方程（组）；③解方程（组）求得参数；（3）求向量的投影通常可利用数量积的变形公式，即向量a 在b 方向的投影为||cos ||a ba b θ⋅=． 【易错指导】（1）正确理解向量的数量积，注意它与普通乘法的区别；（2）确定数量积中向量的夹角时必须注意向量的方向，易错误确定为夹角的补角； （3）利用平面向量的数量积公式的变形公式时，易错误认为向量a 在b 方向的投影为||a ba ⋅． V ．举一反三·触类旁通 考向1 求向量的数量积【例1】【2016重庆市巴蜀中学第三次月考】已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3CB CA ==，ABC ∆所在平面内一点M 满足：1133AM AB AC =+，则MB MC ⋅=（ ）A ．1-B ．3-C ．D ．3 【答案】A【归纳总结】求两个向量的数量积主要有三种题型：（1）求给出坐标的两个向量的数量积，利用公式1212a b x x y y ⋅=+求解；（2）求非坐标形式的两个向量的数量积，利用公式||||cos a b a b θ⋅=求解；（3）在平面几何图求向量向量的数量积，有两种策略：①选择基底，将所求向量利用基底表示，然后利用公式||||cos a b a b θ⋅=求解；②建立平面直角坐标系，将向量利用坐标表示出来，然后利用公式1212a b x x y y ⋅=+求解．【跟踪训练】已知向量a b 、满足2,3a b ==，且a 与a b +夹角的余弦值为13，则a b ⋅可以是（ ）A ．4B ．-3C ．-D ．-2【答案】D【解析】由已知向量a b 、满足2,3a b ==，且a 与a b +夹角的余弦值为13，则 12()49233a a b a a b a b ⋅+=+⨯=⨯++⋅，即221323a ab a b +⋅=⨯+⋅，所以2a b ⋅=-或469a b ⋅=-，故选D ． 考向2 根据平面向量的数量积求解参数问题【例2】【2016湖北黄冈中学高三5月一模】已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ⋅=，则AD 与BE 的夹角为___________． 【答案】0120【名师点睛】根据向量的夹角求相关参数的值或取值范围，无论是坐标形式的向量还是非坐标形式的向量夹角，都必须要建立方程（组）来解决． 考向3 求数量积的最值或取值范围【例3】【2016成都七中高三下三练】已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则⋅MA MB 的取值范围是（ ）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[]1,3-D ．[]1,4- 【答案】C【解析】建立坐标系如图所示，设(),M x y ，其中()1,1A --，()1,1B -，易知221x y +≤，而()()()221,11,111MA MB x y x y x y ⋅=++⋅-+=++-．若设()0,1E -，则21M AM BM E⋅=-，由于 02ME ≤≤，所以21MA MB ME ⋅=-的取值范围是[]1,3-，故选C.【方法归纳】求平面向量的数量积的最值或取值范围通常有如下途径：（1）根据条件建立函数，通常求函数的最值来解决，而建立函数时有时可通过建立坐标系来处理；（2）如果条件中的向量具有几何意义，可转化为平面几何问题，利用图形的直观性来解决．【跟踪训练】在等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，M N ，为AC 边上的两个动点，且满足 MN =BM BN ⋅的取值范围为___________． 【答案】3[,2]2【解析】建立直角坐标系，设(0,0)B ，(2,0)A ，(0,2)C ，则利用MN 00(,2)N x x -，00(1,3)M x x --，其中0[1,2]x ∈，那么2002(33)BM BN x x ⋅=-+3,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3,22BM BN ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.考向3 利用平面向量的数量积求向量的投影【例3】【2016湖北襄阳五中高三5月高考模拟一】若向量,a b 满足22a a b =+=，则a 在b 方向上投影的最大值为（ ）A B ． D ． 【答案】B【技巧点拨】求向量a 在b 上的投影主要有两种途径：（1）利用公式||cos ,a a b <>求解；（2）根据向量的数量积公式的变形公式求解，即||cos ,||a ba ab b ⋅<>=． 考向4 平面向量的数量积与三角函数的交汇【例4】【2016江西南昌市八一中学等高三上期末联考】已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，3(0,3),(cos ,sin ),(,)22B C ππααα∈，若1A C B C ⋅=-，则ααα2s i ns i n 2t a n12++=__________. 【答案】59-【解析】由题(cos 3,sin )AC =α-α，(cos ,sin 3)BC =αα-．又1A C B C ⋅=-，得c o s (c o s 3)αα-＋sin (sin 3)1αα-=-，化简的得：2sin cos 3α+α=，则 21tan 2sin sin 2+αα+α＝cos sin cos 2sin (sin cos )α+αααα+α＝ 12sin cos αα．又245(sin cos ),2sin cos 99α+α=αα=-，得21tan 92sin sin 25+α=-α+α． 【例5】【2016河北衡水中学二调】已知A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角，向量()sin ,sin m A B =，()cos ,cos n B A =，且sin 2C m n ⋅=． （1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sinC ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求边c 的长． 【答案】（1）3C π=；（2）6c =．【规律总结】平面向量的数量积与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的数量积大小或范围，求解三角函数问题或向量问题等．解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量数量积公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量数量积公式求解． 考向5 平面向量的数量积与函数的交汇【例6】【2016福建上杭县一中高三12月考】已知函数()y f x =的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+，若向量12(log ,1)a m =-，(1,2)b =-，则满足不等式()(1)f a b f ⋅<-的实数m 的取值范围___________．【答案】102m <<或8m >. 【解析】12log 2a b m ⋅=+，从条件“对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+”得到抛物线的对称轴为1x =，结合图象12()(1)|log 21||11|f a b f m ⋅<-⇔+->--，即12|lo g 1|2m +>利用绝对值的定义去掉绝对值符号，得12log 12m +>或12log 12m +<-，解得102m <<或8m >．【方法点睛】（1）本题关键是先根据(1)(1)f x f x -=+，找出抛物线的对称轴，结合开口向下利用抛物线的对称性去掉f ，把抽象不等式转化为具体的绝对值不等式；（2）解绝对值不等式时，利用绝对值定义去掉绝对值符号，转化为对数不等式；（3）解对数不等式时要注意限制真数大于零，化同底，根据对数函数的单调性转化为不等式组求解． 考向6 平面向量的数量积与解析几何的交汇【例7】【2016山东实验中学高三一模】已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A ．1B ．0CD 1 【答案】A【解析】由题意得，2()()()PA PB PO OA PO OB PO PO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅＝22PO r -，即为22d r -，其中d 为圆外点到圆心的距离，r 为半径，以内当d 取最小值时，PA PB ⋅的取值最小，可知d =，故PA PB ⋅的最小值211-=，故选A ．【例8】【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A ．2[,1]3 B ．[1,9] C ．2[,9]3 D ． 【答案】B【解析】设00(,)A x y ,因22200()(1)MA BA MA BM MA MA x y ⋅=⋅+==-+,且2200114y x =-,故 2000322(11)4MA BA x x x ⋅=-+-≤≤，所以min 342()221493MA BA ⋅=⨯-⨯+=，max ()MA BA ⋅ ＝342(2)294⨯--+=，故选B ． 【名师指引】因为解析几何中曲线上的点是利用坐标表示的，这与向量的坐标运算完全融合在一起，因此圆锥曲线中的数量积问题与平面向量中的数量积问题也有紧密联系．解答此类题主要是抓住向量的坐标表示及坐标间的关系，有时与韦达定理结合来处理．。