2023-2024学年广东省深圳市宝安区高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省深圳市宝安区高一上册期末数学试题
一、单选题
1．已知集合U =｛0，1，2，3，4，5｝，M =｛3，4，5｝，则U M =ð（）
A ．｛0，1，2，3，4，5}
B ．{0，1，2}
C ．｛3，4，5}
D ．｛1，2，3，4，5}
【正确答案】B
【分析】利用集合的补集运算求解.
【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，所以{}0,1,2U M =ð，故选：B ．
2．函数()f x =）
A ．(],4-∞
B ．()(],33,4-∞U
C ．[]22-,
D ．(]
1,2-【正确答案】B
【分析】根据题意，结合根式与分式有意义的条件，即可求解.
【详解】由题意得，30
40x x -≠⎧⎨
-≥⎩
，解得4x ≤且3x ≠，故函数()y f x =的定义域为()(],33,4-∞U .故选：B.
3．已知()x
f x a =(0a >，且1a ≠)，且(2)(3)f f >，则实数a 的取值范围是(
)
A ．0<a <1
B ．a >1
C ．a <1
D ．a >0
【正确答案】A
【分析】利用指数函数的单调性即可求解.
【详解】由()x
f x a =(0a >，且1a ≠)可知，
当01a <<时，()f x 为单调递减函数；当1a >时，()f x 为单调递增函数，因为(2)(3)f f >，故()f x 为单调递减函数，从而01a <<.
故选：A.
4．下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）
A ．3y x =-
B ．1y x
=-
C ．y x
=D ．y x x
=【正确答案】D
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义逐一判断各个选项即可.【详解】对A ：3y x =-在R 上单调递减，A 错误；对B ：1
y x
=-
在()(),0,0,-∞+∞上单调递增，但在定义域内不是增函数，B 错误；对C ：由x x -=可知：y x =在定义域内是偶函数，C 错误；对D ：由()x x x x --=-可知：y x x =定义域内是奇函数，
∵22,0
,0
x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，2y x =在在[)0,∞+上单调递增，2y x =-在(),0∞-上单调递增，且
y x x =在R 上连续不断，
∴y x x =在R 上单调递增，D 正确.故选：D.
5．若1,1a b >>，且a ≠b ，则22,2，a b ab a b ++中的最大值是（）
A ．22
a b +B ．2ab
C ．a b
+D ．【正确答案】A
【分析】根据1,1a b >>可判断22a b a b +>+，再根据基本不等式即可判断出四个式子的大小关系.
【详解】因为1,1a b >>，所以22a b a b +>+，
根据基本不等式可知222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，
因为a b ¹，所以222a b ab +>；同理a b +>综上所述，上述四个式子中最大值为22a b +.故选：A
6．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一
次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过
30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数
据：lg 20.3≈，lg 30.477)≈（）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【正确答案】A
【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为 1.2(10.2)n y =-，在根据题意列出不等式解出即可．
【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-；过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-；过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；
过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；
要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5()64≥n
，
两边取以10为底的对数可得5lg()lg 64≥n
，
即52
lg(
lg 2lg38
⨯≥+n ，所以lg 2lg 3
13lg 2
n +≥-，
因为lg 20.3,lg 30.477≈≈，所以
lg 2lg 30.30.477
7.7713lg 2130.3
++≈=--⨯，
所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，故排放前需要过滤的次数至少为8次．故选：A ．
7．计算器是如何计算sin x ，cos x
，πx ，ln x 算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出
原函数的值，如357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，246
cos 12!4!6!
x x x x =-+-+ ，
其中!12n n =⨯⨯⨯ ，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x 和cos x 的
值也就越精确．运用上述思想，可得到sin 12π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的近似值为（
）A ．0.50B ．0.52
C ．0.54
D ．0.56
【正确答案】C
【分析】将sin 12π⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为cos1，根据新定义，取1x =代入公式246
cos 12!4!6!
x x x x =-+-⋅⋅⋅中，
直接计算取近似值即可．
【详解】由题意可得，sin 1cos12π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
故246111111
cos1112!4!6!224720
=-+-+=-+-
+ 10.50.0410.0010.54≈-+-+= .故选：C ．
8．函数()()cos f x A x ωφ=+0
ω>2
2
π
π
φ<<
的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()
f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（
）
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点5π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称
C ．函数()f x 在5ππ,1212⎛⎫
- ⎪⎝⎭
单调递增
D ．将函数()f x 的图象向左平移π
3
后得到的关于y 轴对称【正确答案】C
根据条件求出c 的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用三角函数的性质分别进行判断即可．【详解】解：根据函数()()Acos f x x ωφ=+0ω>2
2
π
π
φ<<
的部分图象以及圆C 的对称性，
可得，M N 、两点关于圆心C 对称，故
20323
c π
π+
=
=，
则
1222362
T ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭，解得：2ω=，函数的周期为T π=，故A 错误；∵函数关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，
∴函数的对称中心为,032k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，则当2k =时，对称中心为4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故B 不正确；函数的一条对称轴为
3
6212
x π
π
π-
==，在x 轴负方向内，接近于y 轴的一条对称轴为512212
x πππ
=
-=-，由图像可知，函数的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ，当0k =时，函数的单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故C 正确；
()f x 的一条对称轴为512
x π=-
，∴函数()f x 的图象向左平移
3
π
个单位后，此时，所得图象关于直线512312
x πππ
=-+=-对称，故D 错误.
故选：C
本题考查了三角函数的图象与性质，解决问题的关键是由图象求出函数的性质，再根据图象变换的规则解决问题.
二、多选题
9．(多选)下列函数，值域为()0,∞+的是（）A ．()11y x x =+>-B ．2y x =C ．()1
0y x x
=
>D ．11
y x =
+【正确答案】AC
【分析】对每个选项进行值域判断即可.
【详解】解：A 选项，函数()11y x x =+>-的值域为()0,∞+，正确；
B 选项，函数2y x =的值域为[)0,∞+，错误；
C 选项，函数()1
0y x x
=>的值域为()0,∞+，正确；D 选项，函数1
1
y x =+的值域为()(),00,-∞⋃+∞，错误.故选：AC.
10．,0a b >且1a b +=，则41
a b
+的可能取值为（）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【正确答案】BCD 【分析】将()4141a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
展开，利用基本不等式求的最小值，再比较选项可得正确答案.【详解】
(
)41414555229b a b a b a b a a b ⎛⎫+=++=++≥++⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即23
13a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时等号成立，41a b +取得最小值9，
所以
41
a b
+的不可能为8，可能取值为9,10,11，故选：BCD.
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 满足（
）
A ．(0)0
f =B ．()y f x =是奇函数C ．()f x 在[,]m n 上有最大值()f n D ．(1)0f x ->的解集为(1,)
+∞【正确答案】AB
【分析】由抽象函数满足()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==可得(0)f ，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间[],m n 上的最大值，利用单调性解不等式(1)0f x ->可得解集.
【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，即(0)0f =，A 正确，
令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=，即()()f x f x -=-，函数为奇函数，B 正确，
设12x x ∀<，则120x x -<，12)(0f x x ->，
由题，1122()()()f x f x x f x =-+，即1212()()()0f x f x f x x -=->，所以12()()f x f x >，函数()f x 在R 上单调递减，所以C 错误，
不等式(1)0f x ->可化为(1)(0)f x f ->，由()f x 在R 上单调递减，所以10x -<，即1x <，不等式解集为(),1-∞，D 错误.故选：AB.
12．小明从家里到学校行走的路程S 与时间t 的函数关系表示如图，记t 时刻的瞬时速度为()V t ，区间[]10,t ，[]20,t ，[]
12,t t 上的平均速度分别为1V ，2V ，3V ，则下列判断正确的有（
）
A ．123V V V <<
B ．
13
2
2
V V V +>C ．对于(1,2,3)i V i =，存在()20,i m t ∈，使得()i i V m V =D ．整个过程小明行走的速度一直在加快【正确答案】ABC
【分析】可通过题意，分别表示出1V ，2V ，3V ，再根据选项A 、B 进行比大小，即可确定；选项C 可根据图像，曲线与直线的交点，即可判断，选项D ，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断.
【详解】由题意可知：0
01110202S S V t t -==-，0022200S S V t t -==-，0003
212122()
S S S V t t t t -==--，有图像可知12t t ＜且122t t ＞，因此0
112S V t =
022
S V t =＜，而221122()20t t t t t --=-＞，所以
2212()t t t -＞，因此022S V t =
3212()
S V t t =-＜，此时123V V V <<，所以A 选项正确；由0123212
1112(
)222()V S V V t t t t -=+-+-，可化为222212121121212211221()4()()202()2()2()t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ----==---＞，故1322V V
V +>成立，选项B 正确；
选项C ，有图像可知，直线与曲线的交点为012S t ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，故存在()20,i m t ∈，使得()i i V m V =，
即当1i m t =时，()11V V V =，故C 选项正确；
选项D ，t 时刻的瞬时速度为()V t ，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，有图像可知，当1=t t 时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D 不正确；故选：ABC
三、填空题
13．已知集合{}2log ,1A y y x x ==>，1,12x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B = ______．
【正确答案】1
(0,)
2
【分析】先求出集合A ，B ，利用集合的运算求出A B ⋂即可.【详解】解：由题意得：
1
x >Q 又2log y x = 为增函数，12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭为减函数
22log log 10x ∴>=，11
022x
⎛⎫<<
⎪⎝⎭(0,)A ∴=+∞，1
(0,)
2
B =1
(0,2
A B ∴= 故1(0,)
2
14．定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,∞+上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【正确答案】()
0,1【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式
【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递减，
所以()()()(
)211211f x f f x f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故()
0,115．已知函数()f x 满足对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=，则函数()f x 可能的一个解析式是______.
【正确答案】()0f x =（答案不唯一）
【分析】本题是一个开放性题，只需写出符合要求的答案即可；【详解】解：令()0f x =，则对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=，故()0f x =（答案不唯一）
16．已知函数()2,1
25,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成
立，则实数a 的取值范围是_________．【正确答案】()
,4-∞【分析】通过分析()f x 的函数特征，结合已知条件，对参数a 进行分类讨论并结合图像即可求解.
【详解】因为2y x ax =-+是开口方向向下，对称轴为直线2
a
x =
的一元二次函数，由()2,1
25,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩
可知，
①当
12a
<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =；②当12
a
≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，
则函数图象需满足下图所示：
即125a a -+>-，解得：4a <，所以24a ≤<；综上所述：4a <，从而实数a 的取值范围为(,4)-∞.故答案为.(,4)
-∞四、解答题
17．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.(1)若“命题p ：x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求m 的取值范围.(2)“命题q ：x A ∃∈，x B ∈”是假命题，求m 的取值范围.【正确答案】(1)(],3-∞(2)()()
,24,-∞⋃+∞【分析】（1）由命题:,p x B x A ∀∈∈是真命题得B A ⊆，再根据集合关系求解即可；（2）由命题:,q x A x B ∃∈∈是假命题得A B ⋂=∅，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】（1）解：因为命题:,p x B x A ∀∈∈是真命题，所以B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，
当B ≠∅时，则121
12215m m m m +≤-⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，解得23m ≤≤，
综上m 的取值范围为(],3-∞；
（2）解：因为“命题q ：x A ∃∈，x B ∈”是假命题，所以A B ⋂=∅，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，
当B ≠∅时，则12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121
212
m m m +≤-⎧⎨-<-⎩，解得4m >，
综上m 的取值范围为()(),24,-∞⋃+∞.18．设角α与单位圆交于点(,)P x y ，
(1)若点(,)P x y 在第三象限，且2y x =，求2x xy +的值；
(2)若(0,4
π
α∈，求y x y x x y -++的取值范围．
【正确答案】(1)35
(2)2,1)
【分析】（1）由题意，sin ,cos ,tan 2y
y x x
ααα===
=，代入所求，分子分母同除2cos α，代入tan α值即可求解；（2）将原式代入sin ,cos y x αα==，分子分母同除cos α，令
tan 1m α=+，利用对勾函数求取值范围.
【详解】（1）由题意，sin ,cos ,tan 2y
y x x
ααα===
=，所以22
22x xy x xy x y ++=+2222cos cos sin 1tan 3
cos sin 1tan 5
ααααααα++===++.（2）因为(0,)4
π
α∈，所以0tan 1α<<，
又
y x y x x y -+=+sin cos sin 1tan tan cos cos sin 1tan ααααααααα
--+=+++2
tan 1
1tan αα=+
-+2
tan 12
1tan αα
=++
-+令tan 1m α=+()12m <<，则y x y x x y -+=+22m m
+-，令2
212=+
-<<()()f m m m m
，
则()f m 在单调递减，在2)单调递增，
又12=()()f f ，所以2f m f ==-min ()，11f m f <=()()，
所以21-≤<()f m ，
所以
y x y x x y
-++的取值范围是2,1)-．19．已知函数π
()2sin()6
f x x a =++的最大值为1，
(1)求常数a 的值；
(2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．【正确答案】(1)1
a =-(2)π4π2π,2π,Z
33k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦(3)2π|2π2π,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
【分析】（1）根据()f x 的最大值求得a .（2）利用整体代入法求得()f x 的单调递减区间.（3）解三角不等式求得正确答案.【详解】（1）π
sin(6
x + 的最大值为1，
()211f x a ∴=⨯+=，解得：1a =-．
（2） 由（1）可知π
()2sin()16
f x x =+-．
根据三角函数的性质可得：π
π[2π6
2
x k +∈+，3π
2π](Z)2
k k +∈．即ππ3π2π2π262
k x k +
≤+≤+，()k ∈Z 解得：π4π
2π2π33
k x k +
≤≤+，()k ∈Z ，()f x ∴的单调递减区间为π4π2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
；
（3） 由题意：()0f x ≥，即π2sin()106
x +-≥，可得：π1sin()6
2
x +≥．
ππ5π
2π2π666
k x k ∴+
≤+≤+，()k ∈Z ．解得：2π
2π2π3
k x k ≤≤+
．()k ∈Z ()0f x ∴≥成立的x 的取值范围是2π|2π2π,Z 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．20．已知函数()f x 满足2
2()()(0)f x f x x x x
+-=+≠．
(1)求()y f x =的解析式，并求()f x 在[3,1]--上的值域；(2)若对1x ∀，2(2,4)x ∈且12x x ≠，都有()()212121
()f x f x k
k x x x x ->∈-⋅R 成立，求实数k 的取值
范围．
【正确答案】(1)2()(0)f x x x x =+≠
，11(),3f x ⎡∈--⎢⎣(2)(]
,2∞-【分析】（1）由条件可得2
2()()f x f x x x
-+=--，然后可解出()f x ，然后利用对勾函数的知
识可得答案；
（2）设2142x x >>>，条件中的不等式可变形为()()2121
k k
f x f x x x +>+，即可得2
()()k k g x f x x x x
+=+
=+在区间（2，4）递增，然后分20k +=、20k +<、20k +>三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为2
2()()(0)f x f x x x x
+-=+≠①，
所以2
2()()(0)f x f x x x x
-+=--≠②，联立①②解得2()(0)f x x x x =+≠.
当[3,x ∈-时()f x
为增函数，[1]x ∈-时()f x 为减函数，因为(
)(
()11
3,133
f f f -=-
=--=-
所以11()3f x ⎡∈--⎢⎣（2）对1x ∀，2(2,4)x ∈，12x x ≠，都有
()()212121
()f x f x k
k R x x x x ->∈-⋅，
不妨设2142x x >>>，则由()()()()()21212121212112
f x f x k x x k k k f x f x x x x x x x x x -->⇒->=-
-⋅⋅()()2121k k f x f x x x ⇒+
>+恒成立，也即可得函数2
()()k k g x f x x x x
+=+=+在区间（2，4）递增；
当20k +=，即2k =-时，满足题意；当20k +<，即2k <-时，()()2k k g x f x x x x --⎛⎫
=+=+- ⎪⎝⎭
为两个在(0,)+∞上单调递增函数的和，
则可得()g x 在(0,)+∞单调递增，从而满足()g x 在（2，4）递增，符合题意；
当20k +>，即2k >-时，2
()k g x x x
+=+
，其在递减，在)+∞递增，
若使()g x 在（2，4222k ≤⇒-<≤；综上可得：(,2]
k ∈-∞21．设函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-.
（1）若关于x 的不等式()2f x ≥-有实数解，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()2f x ≥-对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，求实数x 的取值范围；（3）解关于x 的不等式.()1,()
f x a a R <-∈【正确答案】(1)1a ≥-；(2){1}；(3)分类求解，答案见解析.
【分析】(1)将给定的不等式等价转化成2(1)0ax a x a +-+≥，按0a =与0a ≠并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成2(1)0x x a x -++≥，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为2(1)10ax a x +--<，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.【详解】(1)依题意，()2f x ≥-有实数解，即不等式2(1)0ax a x a +-+≥有实数解，当0a =时，0x ≥有实数解，则0a =，
当0a >时，取0x =，则2(1)0ax a x a a +-+=>成立，即2(1)0ax a x a +-+≥有实数解，于是得0a >，
当a<0时，二次函数2(1)y ax a x a =+-+的图象开口向下，要0y ≥有解，当且仅当
221
(1)4013
a a a ∆=--≥⇔-≤≤
，从而得10a -≤<，综上，1a ≥-，
所以实数a 的取值范围是1a ≥-；
(2)不等式()2f x ≥-对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，即2[1,1],(1)0a x x a x ∀∈--++≥，显然210x x -+>，函数2()(1)g a x x a x =-++在[]1,1a ∈-上递增，从而得(1)0g -≥，即2210x x -+-≥，解得1x =，
所以实数x 的取值范围是{1}；
(3)不等式2()1(1)10f x a ax a x <-⇔+--<，当0a =时，1x <，
当0a >时，不等式可化为1()(1)0x x a +-<，而1
0a -<，解得11x a -<<，
当a<0时，不等式可化为1
(1)0x x a
+->，
当1
1a
-=，即1a =-时，,1x R x ∈≠，当11a -<，即1a <-时，1
x a <-或1x >，当1
1a -
>，即10a -<<时，1x <或1x a
>-，所以，当0a =时，原不等式的解集为(,1)-∞，当0a >时，原不等式的解集为1
(,1)a
-，
当10a -≤<时，原不等式的解集为1
(,1)(,)a -∞⋃-+∞，
当1a <-时，原不等式的解集为1
(,)(1,)a
-∞-⋃+∞.
22．已知函数()()()21,1,nx x x n
f x nx x x n ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩
.
(1)当1n =时，对任意的121,,2x x m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，令()()21max h f x f x =-，求h 关于m 的函数解析式，
并写出m 的取值范围；
(2)若关于x 的方程()0f x x -=有3个不同的根，求n 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析；
(2)110,22
⎛⎛⎫⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.【分析】（1）将问题转化为()()max min h f x f x =-，结合()f x 的图像，分类讨论1
12
m ≤<，
1m ≤<
与m ≥()h m 的解析式.（2）法一：分别讨论x n <与x n ≥时，()0f x x -=的解的个数情况，最后综合两者的情况得到()0f x x -=有3个不同的根时，n 的取值范围．
法二：由于()0f x x -=最多只有3个不同的根0x =、21
2n x n
-=
或1n x n +=，所以当
()0f x x -=有3个不同的根时，只需21
21n n n
n n n
-⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩即可，由此可求得n 的取值范围．
【详解】（1）当1n =时，()()()21,1
1,1x x x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩
，
当1x <时，()()2
2122f x x x x x =--=-+，则()f x 开口向下，对称轴为12
x =
，故()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，则()max 1122
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
当1x ≥时，()()2
1f x x x x x =-=-，则()f x 开口向上，对称轴为112
x =<，
故()f x 在[)1,+∞上单调递增，令()12f x =
，即2
12x x -=，解得132
x +=（负值舍去），
又()00f =，()10f =，所以()f x 的图像如图，
因为对任意的121,,2x x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()21max h f x f x =-，即h 为()f x 在1,2m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值与最
小值的差的绝对值，结合图像得，
当
112m ≤<时，()()()()max min 2112222h m f f m f x f m x ⎛⎫
=-=--+ ⎪⎝⎭
=-21222m m =-+；
当13
12
m +≤<时，()()()max min 11110222h f x f x f f ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭；
当132
m +≥
时，()()()()2
max min 1h f x f x f m f m m =-=-=-；综上.()2
21122,1221
13,12
213,2m m m h m m m m m ⎧-+≤<⎪⎪
+⎪=≤<
⎨⎪⎪+-≥
⎪⎩
.
（2）法一：
当x n <时，()()21f x nx x =--，
则()0f x x -=可化得()210nx x x ---=，即()2210nx n x ⎡⎤--=⎣⎦，(i)当0n =时，0x <，故()0f x x -=，即x 0-=无解；(ii)当0n ≠时，()0f x x -=可能有两个解0x =或211
122n x n n
-=
=-；当0n <时，0x n <<，故0x =不是()0f x x -=的解，而2111022n x n n -=
=->，即21
2n x n
-=也不是()0f x x -=的解，故()0f x x -=无解；当0n >时，0x =必然是()0f x x -=的一个解，又由x n <得
212n n n
-<，整理得22210n n -+>，由()2
Δ24240=--⨯=-<可知22210n n -+>恒成立，故()0f x x -=有两个解0x =或21
2n x n
-=
；所以当0n ≤时，()0f x x -=无解；当0n >时，
()0f x x -=有两个解0x =或21
2n x n
-=.当x n ≥时，()()1f x nx x =-，
则()0f x x -=可化得()10nx x x --=，即()10nx n x ⎡⎤-+=⎣⎦，i)当0n =时，0x ≥，故()0f x x -=只有一个解0x =；ii)当0n ≠时，()0f x x -=可能有两个解0x =或1
n x n
+=
，当0n <时，0x =必然是()0f x x -=的一个解，
又由x n ≥得1
n n n +≥，整理得210n n --≥，解得12
n ≤，
即当n ≤
()0f x x -=有两个解0x =或1n x n +=0n <<时，
()0f x x -=只有一个解0x =；
当0n >时，0x n ≥>，故0x =不是()0f x x -=的解，
又由x n ≥得1
n n n +≥，整理得210n n --≤，解得102
n <≤，
即当102
n +<≤时，()0f x x -=只有一个解1n x n +=；当12n +>时，()0
f x x -=无解；
所以当12
n ≤
时，()0f x x -=有两个解0x =或1n x n +=
；当102n <≤时，
()0f x x -=只有一个解0x =
；当0n <≤()0f x x -=只有一个解1
n x n +=；
当n >
时，()0f x x -=无解.综合x n <与x n ≥两种情况可得，
当12
n ≤时，()0f x x -=有两个解0x =或1n x n +=；
当
102n <≤时，()0f x x -=只有一个解0x =；
当102
n +<≤时，()0f x x -=有三个解0x =、212n x n -=或1n x n +=
；当12
n >时，()0f x x -=有两个解0x =或
21
2n x n
-=
.
又因为102n=<≤21=02n n -，不合题意；所以当()0f x x -=有3
个不同的根时，102n <≤且1
2n ≠，
即n
的取值范围为1110,,222⎛⎛⎫⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
.法二：
当0n =时，()()()21,01,nx x x n
f x nx x x n ⎧--<⎪==⎨
-≥⎪⎩
，故()0f x x -=只有一个根0x =，故0n ≠，当x n <时，()()()2
21221f x x nx x x nx n x -=---=-+-，则()0f x x -=可能有两个根
0x =或21
2n x n
-=
；当x n ≥时，()()()2
11f x x nx x x nx n x -=--=-+，则()0f x x -=可能有两个根0x =或
1
n x n
+=
；所以当()0f x x -=有3个不同的根时，这三个根必为0x =、21
2n x n
-=
或1n x n +=，
而0x =要么是x n <时()0f x x -=的根，要么是x n ≥时()0f x x -=的根，即0x =必是()0f x x -=的根，
所以要使得212n x n -=或1n x n +=为()0f x x -=的根，只需要21
21n n n
n n n
-⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，
当0n >时，则22221010n n n n ⎧-+>⎨--≤⎩
，解得R
1122x n ∈⎧⎪⎨+≤≤⎪
⎩
，故102n <≤
；当0n <时，则22221010n n n n ⎧-+<⎨--≥⎩
，解得x n ∈∅⎧⎪⎨≤⎪⎩
x n ∈∅
⎧⎪
⎨≥⎪
⎩
x ∈∅；
又因为11022
n=<≤时，
21=02n n -，不合题意；所以当()0f x x -=有3
个不同的根时，102n <≤且1
2n ≠，
即n
的取值范围为110,22
⎛⎛⎫⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.关键点睛：本题第1小题的关键是要将()()21max h f x f x =-转化为()()max min h f x f x =-，由此结合图像可解；第2小题法一的关键是要分别讨论x n <与x n ≥时，()0f x x -=的解的个数情况，最后综合可得；法二的关键是注意到()0f x x -=最多只有3个不同的根
0x =、21
2n x n
-=
或1n x n +=，由此讨论可得.。