第一学期高三年级期中考试理科数学试卷含答案

广州市岭南中学２019学年第一学期高三年级期中考试数学试卷(理科)
考试时间:120分钟; 满分１5０分
第Ⅰ卷(共
6０分)
一。

选择题:本大题共1２小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、 (1)１、设集合,,则( )
(A) (B) (C) (D) (2)已知,是虚数单位,若与互为共轭复数,则
(A) (B) (Ｃ) (Ｄ) (３)已知命题:N , ,命题:Ｎ, , 则下列命题中为真命题的是
(A) (B) (C) (D)
(4)已知在上是奇函数,且满足,当时,,则＝
(A) (Ｂ) (Ｃ) (D) (5)执行如图所示的程序框图,输出的结果为
(A) (Ｂ) (C) (Ｄ)
(６)若实数满足约束条件 则的取值范围是
(Ａ) (B) (C) (D)
(7)如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是
(Ａ) (B) (Ｃ) (D) (8)已知,且,函数的图像
的相邻两条对称轴之间的距离等于,则的值为
(A) (B) (C) (D)
(9)设各项均为正数的数列的前ｎ项和为,且满足,ｎ∈Ｎ*、 则数列的通项公式是( )
A B C D
(1０)过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足为点,与另一条渐近线交于点,若,则此双曲线的离心率
为
(A) (B) (C)２ (D) (11)将5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这3所大学就读,每所大学至少保送１
人,则不同的保送方法共有
(A) １5０种 ﻩ (B) 18０种 (C) 240种 (D)540种 (12)(12)设函数的定义域为R , , 当时,
, 则函数在区间上的所有零点的和为
(A) (B) (C) (D)
开始
x =1，y =1，k =0
s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t
k =k +1
k ≥3输出(x ，y )
结束是否
F
A
B
C
E D 第Ⅱ卷
二。

填空题:本大题共4小题,每小题5分、 (1３)设向量
(1４)已知,则 、
(15)展开式中的常数项为,则 、 (１6)已知为R 上的连续可导函数,且,则函数
的零点个数为______＿____、
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤、
(１7)(本小题满分12分)在△ＡBC 中, 、、分别为角A 、B 、Ｃ的对边,若, ,且、
(1)求角A 的大小;
(2)当,且△ＡBC 的面积时,求边的值和△AB Ｃ的面积。

(１8)(本小题满分12分) 设为数列的前项和,已知,对任意,都有、 (Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列的前项和为,求证:、 1９、(本小题满分12分) 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试,依照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下2×2列联表: 班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计
甲队
80 40 1２0 乙队
2４0 20０ 24０ 合计 ３20
24０ 56０ (Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0。

０2５的前提下认为成绩与学校有关系;
(Ⅱ)采纳分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学、现从这１6名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验,记这3名同学来自甲学校的人数为X,求X 的分布列与数学期望、附: P(K ２≥k) 0、1５ 0。

10 0、０５ 0。

02５ 0、010 0。

005 0、0０1 k ２、07２ 2。

７0６ 3、841 5、024 ６。

63５ 7。

87９ 1０、828 (参考公式:K 2＝,n=ａ+b +c +d) (2０)(本小题满分12分)
如右图,在多面体ABC ＤE 中,ＤＢ⊥平面ABC,AE ∥DB,且△ABC 是边长为2的等边三角形,2ＡE ＝ＢＤ＝2、
(Ⅰ)若F 是线段CD 的中点,证明:直线ＥF ⊥面ＤB Ｃ;
(Ⅱ)求二面角D －EC －B 的平面角的余弦值。

ﻩ (21)(本小题满分12分) 已知函数
(１)若直线过点,同时与曲线相切,求直线的方程; (2)设函数在上有且只有一个零点,求的取值范围。

(其中为自然对数的底数)
2２在直角坐标系中,以原点为极点,ｘ轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲
线C :ρsin 2 θ=２a c ｏｓ
θ(a＞0),已知过点P(－２,－4)的直线l的参数方程为错误!,直线l与曲线C分别交于M,N两点、(１)写出曲线C和直线ｌ的普通方程;
(2)若｜PM|,|ＭＮ｜,｜PＮ|成等比数列,求ａ的值。

201９学年第一学期高三年级期中考试数学答案(理科)
一、选择题
(5)B (6)B
(１)C ﻩ(2)Ａﻩ(3)Aﻩ(４)Bﻩﻩ
(7)Ｂﻩ(8)Bﻩﻩ(9)Ａ(10)Cﻩ(11)Ａﻩ(12)Ａ
二、填空题
(13)ﻩ)14( ﻩ(１５)或(16)０
(其中第13、１5题中,答对2个给5分,答对1个给３分)
三、解答题
(１７)17、解:(1)由于m⊥ｎ,
因此ｍ·n = —2ｓｉn２+cos 2Ａ+1＝—2sin2+2ｃos２A
＝—2cos２＋2ｃos2A =2cos2Ａ-ｃos A-1 =(2cos A+1)(cｏs A—1) ＝0、……、。

4分
因此coｓA＝－或1(舍去),
∴…………………………、、6分
(2)由S= =及余弦定理得ｔan C=,
∴Ｃ＝,∴B=。

……、、8分
又由正弦定理∴。

得 ,……、、1０分
因此△ABC的面积S=aｃsｉn B＝…………………………。

、12分
1８。

证明:(Ⅰ)因为,当时,, 两式相减,得,
即,…………………………、、２分
因此当时,、…………………………。

、3分
因此、……………………、、4分
因为,因此、 (5)
(Ⅱ)因为,,, 因此、 (7)
因此
、…………………………。

9分
因为,因此。

因为在上是单调递减函数,………。

10分
因此在上是单调递增函数、因此当时,取最小值、……、。

11分
因此、…………………………。

1２分
(19)(ⅰ)证明:取的中点,连接
又因为
为平行四边形,。

—-—-—————-——６分
(ⅱ)连接,过在面内作的垂线,垂足为
连接、
因为,
又
因此易证得为二面角D－EC－Ｂ的平面角
在中,因此易求得
在直角中,,,
因此二面角的平面角的余弦值为—-—-———--—12分
方法二:
取ＢD的中点为G,以为原点,为轴,为轴,为轴建立如图空间直角坐标系,则,,,
取平面DEC的一个法向量
又, Array由此得平面ＢCE的一个法向量
则,
因此二面角的平面角的余弦值为
(20)【解答】解:(Ⅰ)由题意得Ｋ2=≈５、6５7＞5。

0２4,…………
∴能在犯错误的概率不超过0。

025、、4分(Ⅱ)16名同学中有甲学校有4人,乙学校有12人…、、…5分
X的估计取值为０,１,2,3…。

、…６分
P(X=0)==,P(X=１)==,P(X=2)＝=,Ｐ(X=3)==………、。

8分
Ｘ的分布列为
X 0 １ 2
P
…、、…………………………、、10分∴EX=0×+1×+2×+3×=…………………………………………………………………………12分
(２１)21、解:(1)设切点坐标为,则切线的斜率为
因此切线的方程为………………2分
又切线过点(１,0),因此有即,解得
因此直线的方程为…………………………………………４分
(或:设,则单增,单减
有唯一解,
因此直线的方程为……………………………………………4分) (２)因为,注意到g(1)=0
因此,所求问题等价于函数在上没有零点。

又
因此由＜0＜00＜＜＞0〉
因此在上单调递减,在上单调递增、……………6分
①当即时,在上单调递增,因此>
此时函数g(x)在上没有零点……………………………………………………7分
②当1＜<e,即1＜ａ＜2时,在上单调递减,在上单调递增、
又因为g(1)=０,g(e)=e－aｅ+ａ,在上的最小值为
因此,(i)当1〈a时,在上的最大值ｇ(ｅ) 0,即此时函数g(x)在上有零点。

………………………………８分
(ｉｉ)当＜a<2时, g(e) 〈0,即此时函数g(x)在上没有零点。

…10分
③当即时,在上单调递减,因此在上满足〈此时函数g(x)在上没有零点
综上,所求的a的取值范围是或〈a………………………………………12分
(22)解:解(１)由Ｃ:ρsin2θ＝２ａｃｏs θ,得(ρsiｎθ)2＝２aρcos θ ,因此曲线的普通方程为ｙ2=２aｘ。

由直线l的参数方程错误!消去参数t,得ｘ－y－2=０。

…………………………5分
(2)直线l的参数方程为错误!(t为参数),
代入ｙ2=2ａx, 得到ｔ2－２错误!(4+ａ)ｔ＋8(4+a)=０,
则有ｔ1+t2=22(4+a),t1·t2＝8(4＋a)。

因为｜MＮ｜2=｜PM|·｜PN｜,因此(t1－t２)2＝(t１＋t２)2－４t１·t２＝ｔ1·t2。

解得ａ＝1、…………………………10分。