高考数学一轮复习 8.6 双曲线备选练习 文 新人教A版

【优化探究】2015届高考数学一轮复习 8.6 双曲线备选练习 文 新
人教A 版
[B 组 因材施教·备选练习]
1．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )
A. 3
B. 5
C.10
D.13
解析：由题知A 点坐标为(a,0)，
∴过A 且斜率为－1的直线方程为y ＝－x ＋a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋a ，y ＝b a
x 得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋a ，y ＝－b a x 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
a －
b ，－ab a －b . ∵A 、B 、C 三点横坐标成等比数列，
∴a 4
a －
b 2＝a 3
a ＋
b ，
即b ＝3a ，∴e ＝
1＋b 2a
2＝10，故选C. 答案：C 2．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是54
，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．
解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，
故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝54
，得c ＝5，a ＝4， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.
答案：7
3．(2014年南昌模拟)已知双曲线C ：x 24－y 2
5
＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于两点A 、B ，|AB |＝5，则满足条件的直线l 的条数为________．
解析：(1)若A 、B 两点都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，
∵a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，
∴F (3,0)，∴直线AB 的方程为x ＝3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
x
24－y
25＝1得y ＝±52.∴|AB |＝5，满足题意．
(2)若A 、B 两点分别在两支上，∵a ＝2， ∴两顶点间的距离为2a ＝4<5.
∴满足|AB |＝5的直线有两条，且关于x 轴对称． 综上，满足题意的直线有3条．
答案：3。