【精品】有序多分类logistic回归

【精品】有序多分类logistic回归
有序多分类logistic回归是一种分类算法，适用于多分类问题且类别之间存在一定的顺序关系。

相较于传统的多分类logistic回归，有序多分类logistic回归可以更好地利用类别之间的顺序信息，提高模型的准确率和稳定性。

在有序多分类logistic回归中，假设有m个类别，每个样本属于其中一个类别。

定义一个基准类别为i，模型的目标是预测一个样本属于第i类别、第i+1类别、第i+2类别……第m-1类别的概率。

因此，模型需要预测m-i个概率，这些概率的和为1。

我们可以通过对这些概率做logistic转换，使它们的和为1。

对于一个有序多分类logistic回归模型，我们需要定义m-1个分类器，每个分类器对应一个类别，例如，分类器一对应第一类别和第二类别的区分，分类器二对应第二类别和第三类别的区分，以此类推。

每个分类器的目标是预测一个样本属于该分类器对应的类别的概率。

在训练过程中，我们采用最大似然估计来估计模型的参数。

假设样本x属于第k个分类器的目标类别已知，则有：
P(y=k|x)=σ(αk+βkx),
其中，αk和βk为该分类器的参数，σ( )为logistic函数。

由于该分类器对应的是样本属于第k类别或第k+1类别的区分，因此，可以定义一个指示函数I( )表示样本属于第k类别的情况：
I(y=k)=1, y≤k; I(y=k)=0, y>k.
那么，样本x属于第k个分类器对应的类别的概率为：
P(y=k|x)=P(y≤k|x)-P(y≤k-1|x)=σ(αk+βkx)-σ(αk-1+βk-1x),
其中，P(y≤0|x)=0，P(y=m|x)=1。

为了得到所有分类器的参数，我们采用梯度下降法来最小化损失函数，损失函数定义为所有样本的交叉熵：
L(α,β)=−∑i∑k[I(yi=k)logP(yi=k|x)+(1−I(yi=k))log(1−P(yi=k|x))],
其中，i表示样本的索引。

通过对损失函数求导，我们可以得到参数的更新公式：
其中，η为学习率。

重复以上过程直到收敛，得到所有分类器的参数，即可用该模型对新样本进行分类。