课件高中数学人教A版选修二用数学归纳法证明不等式PPT课件_优秀版

所以当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立.
例4
证明： 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an 的乘积a1,a2,…,an， 那么它们的和a1+a2…+an=1.
在数学研究中，经常用贝努利不等式 把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx 的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式 中可以发挥作用.
在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.
不妨设a >1,a <1 那么它们的和a1+a2…+an=1.
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
那么它们的和a1+a2…+an=1.
1
2
会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│
教学目标
知识与能力
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努力不等式).
过程与方法
通过例题的学习，能够证明含有 任意正整数n的不等式(包括贝努力不 等式).
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
(1)当n=1时，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.即k! ≥2k-1. 当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1) ≥2k-1(k+1) ≥2k. 所以，当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.
2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的
正整数n,不等式 1
1用数学归纳法证明不等式
n
始终小于b ？证明你的结论. 由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.
n = │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│
(2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│
则a1+a2+…+ak≥k.
大于1的自然数，我们用数学归纳法只 当a是实数，并且满足a>1或者0<a<1时，有(1+x)a ≤1+ax(x>-1).
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n N+) 由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.
能对n进行归纳. 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
不妨设a1>1,a2<1
教学重难点
(2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.
不妨设a1>1,a2<1
如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
如果x是实数，且x>-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx
由(1)(2)可知，原命题成立. {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
重点
= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│
{a =n }:1,4,9,16,25,36,…; 由数列的前几项猜想，从第5项起，an<bn即n2<2n(n N+,n≥5)，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形.
2 (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│ n 所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
(1)证明当n=n0时命题成立；
不妨设a1>1,a2<1
会运用数学归纳法证明含有任意 所以当n=k+1时不等式成立.
培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.
正整数n的不等式(包括贝努利不等式). 贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳.
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.
贝努利不等式中涉及两个字母，x 不妨设a1>1,a2<1
在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.
表示大于-1且不等于0的任意实数,n是 {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1
在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.
由(1)(2)知，n2<2n(n N+,n≥5)
分析
由数列的前几项猜想，从第5项起，
an<bn即n2<2n(nN+,n≥5)，用数学归纳
法证明上述猜想时，第(1)步应该证明 n=5的情形.
证明
(1)当n=5时，52<25，命题成立.
{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
即若k个正数的乘积a1a2…ak=1，
数学归纳法的步骤： 那么它们的和a1+a2…+an=1.
(1)证明当n=n0时命题成立；
会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
(1)证明当n=n 时命题成立； 在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.
当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1
{b =2n}:2,4,8,16,32,64,… 这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
n 这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
当n=k+1时， │sin(k+1)θ│ =│sinkθcosθ+coskθsinθ│ ≤│sinkθcosθ│+ │coskθsinθ│ = │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│ =(k+1) │sinθ│
证明 (1)当n=1时，有a1=1，命题成立. (2)假设当n=k时，命题成立，
即若k个正数的乘积a1a2…ak=1， 则a1+a2+…+ak≥k.当 n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,…,ak 满足条件a1a2…ak+1=1.
若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它
们都是1.其和为k+1，命题成立. 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
所以当n=k+1时不等式成立.
如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
不妨设a1>1,a2<1
这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.
若这k+1个正数a ,a ,…,a 不全相等， 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
那么它们的和a1+a2…+an=1.
12
k+1
则其中必有大于1的数，也有小于1的数. 本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.
不妨设a1>1,a2<1
如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
那么它们的和a1+a2…+an=1.
证明
(1)当n=2时，由x ≠ 0得 (1+x)2>1+2x,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立， 即有(1+x)k>1+kx. 当n=k+1时， （1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx） >1+(k+1)x
事实上，贝努利不等式的一般形式是：
当a是实数，并且满足a>1或者a<0时， 有(1+x)a ≥1+ax(x>-1); 当a是实数，并且满足a>1或者0<a<1时， 有(1+x)a ≤1+ax(x>-1).
分析
这是与正整数密切相关的不等式，它 的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时， 应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并 对什么时归纳假设和由它要递推的目标心 中有数.
由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均 成立.
例3
证明贝努利不等式：
如果x是实数，且x>-1,x 0 ,n为大于
1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx
则(1)+(3)=(2).
分析
不妨设a1>1,a2<1
那么它们的和a1+a2…+an=1.
= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│
(2)假设n=k(k≥5)时，命题成立， 即k2<2k. 当n=k+1时，因为 (k+1)2=k2+2k+1<k2+3k<2k2<2k+1
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
由(1)(2)可知，原命题成立.
课堂小结
本节用数学归纳法证明不等式通过4个 例题由浅入深的讨论如何通过“奠 基”“假设和递推”证明含有任意正整 数n的不等式.
随堂练习
1.对任意的n N+,试比较n!与2n-1的大小，
证明你的结论.
解:对任意的n N+,有n!≥2n-1可用数学归
纳法证明此结论.
由1 2 知，命题对任意大于1的正整数成立.
再见
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
由(1)(2)知，n2<2n(n N+,n≥5) 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an
0
不妨设a1>1,a2<1
(2)假设当n=k时命题成立，证明 即有(1+x)k>1+kx.
如果x是实数，且x>-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n>1+nx
n=k+1时命题也成立. (1)当n=5时，52<25，命题成立.
新课导入
由(1)(2)可知，原命题成立. 由(1)(2)可知，原命题成立. 培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.
回顾旧知 本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.
这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
灵活运用数学归纳法.
例1
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立.
由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1.
观察下面两个数列，从第几项起a 这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.
{bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
1 (2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立. 2
k k+1
我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2) 由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1. (3) 则(1)+(3)=(2). 由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0, 即a1+a2-a1a2>1. 于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立.
本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.
在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.
则a1+a2+…+ak≥k.
难点 (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│
有归纳假设可得到： 通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).
本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.
当a是实数，并且满足a>1或者0<a<1时，有(1+x)a ≤1+ax(x>-1).
a +a +…+a +a ≥k (1) =(k+1) │sinθ│