2022届全国普通高中高考考前模拟数学理(四)试题(解析版)

理 科 数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}3A x x =∈<N ，集合{}0,3,4,5B =，则()U A B =（ ） A ．{}4,5
B ．{}3,4,5
C ．{}0,4,5
D ．{}0,3,4,5
2．复数z 满足()1i 1i z -=-，则复数z 的实部是（ ） A ．1-
B ．i
C ．
2
i 2
D ．
22
3．小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（ ）
A ．10%
B ．8%
C ．5%
D ．4%
4．已知4sin 25θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 225πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A ．()2sin e x x x f x =
B ．()2cos e x x x f x =
C ．()2s e in x
x f x x =
D ．()2c e os x
x f x x =
6．若0,0a b >>，则“2a b +<”的一个必要不充分条件是（ ） A ．
111a b
+< B ．1ab < C ．222a b +< D 2a b <-7．在数列{}n a 中，12a =，135a a +=，134a a =，则n a 等于（ ） A ．2ln n n +
B ．2(1)ln n n n +-
C ．2ln n n n +
D ．1ln n n n ++
8．若平面上两点()2,0A -，()1,0B ，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹与直线
()2:l y k x =-的公共点的个数为（ ） A ．2
B ．1
C ．0
D ．与实数k 的取值有关
9．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的左､右焦点，点M 为双曲线的左支上一点，满足1122MF F F =，且125
cos 16
MF F ∠=-，则该双曲线的离心率e =（ ） A 2
B ．
32
C 3
D ．2
10．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B 点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为11PQ ，22P Q ，…，55P Q ，且116BQ =米．为使距地面6米高的看台第一排A 点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则5BQ =（ ）
A ．40.5米
B ．54米
C ．81米
D ．121.5米
11．已知函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()()ln ln 21f x f x f +-<的解集为（ ） A ．()e,+∞
B ．()0,e
C ．()10,1,e e ⎛⎫
⎪
⎝⎭
D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，
BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则下列说法中正确的个数是（ ）
①点B 到平面α的距离与点1A 到平面的距离之比为1:2 ②平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为732
③平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25 ④平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的形状为四边形 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．5
22x x ⎛ ⎝的二项展开式中，5x 的系数是__________． 14．已知向量a ，b 满足4⋅=a b ，()5⋅+=a a b ，则=a _______．
15．已知225的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2222535=⨯，所以225的所有正约
数之和为()()()()()
222222221335535355353133155++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=
403，参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为_________．
16．已知函数()1ln x f x x
+=，若对()12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12f x f x -≤
12ln ln k x x -，则k 的取值范围是________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等比数列{}n a 中，0n a >，2320a a +=，4580a a +=，314S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设()1
21log n n n b a -=-，求1
n
i i b =∑．
18．（12分）第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口成功举办，为全世界提供了一场声势浩大的体育盛宴，北京成为全球首个“双奥之城”．北京冬奥会的成功举办充分展现了我国的风采，让各国人民感受到中国文化的博大精深和源远流长．让世界看到中国的变化，中国人民正在用自身的力量充分阐释着奥林匹克所倡导的更快、更高、更强、更团结精神．北京冬奥会期间，我国健儿顽强拼搏，取得了9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌的优异成绩．为了调查北京市民对北京冬奥会举办的满意程度，现对居民按年龄(单位：岁)进行调查，从某小区
年龄在[15,65)内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)分成5组，同时对这100人的满意程度进行统计得到频率分布表．经统计在这100人中，共有78人对北京冬奥会的成功举办感到非常满意．
（1）求a和b的值；
（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[35,45),[45,55)内的居民中抽取9人进行访谈，再从这9人中抽取3人参加电视台的座谈，记录抽取参加座谈的3人中年龄在[35,45)的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）如图，在三棱锥A BCD
⊥，
△是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD CD
-中，ABC
点E，F分别是BC，DC的中点．
（1）证明：平面ACD⊥平面AEF；
（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小．
20．（12分）已知函数1()2ln f x mx x x
=+．
（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线l 与直线30x y +=垂直，求实数m 的值； （2）若()12,0,x x ∃∈+∞，()()2112x f x x f x =，且12
1
1x x =≠，求实数m 的取值范围．
21．（12分）已知双曲线()222210,0:x y a b a C b
-=>>的离心率为2，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，()2,3A 是双曲线C 上的一个点． （1）求双曲线C 的方程；
（2）若过点()4,0B 且不与渐近线平行的直线l （斜率不为0）与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为1l ，2l ，点P 为直线1l 与直线2l 的交点，试求
点P 的轨迹方程（注：若双曲线的方程为22
221x y a b
-=，则该双曲线在点()00,x y 处的切线方程为002
21x x y y
a b
-=）．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3x y t
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 是参数）．以O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2225sin 360ρρθ+-=．
（1）求l的极坐标方程和C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求
11
||||
OA OB
+的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()11
f x x x
=--+．
（1）解不等式()1
f x≥；
（2）若()
x m f x
-≥恒成立，求实数m的取值范围．
理 科 数 学（四）答 案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】
{}3,4,5U
A =，则(){}U 3,4,5A
B =，故选B ．
2．【答案】D
【解析】依题意1i -=)()()1i 1i 1i z +=
==-+，
故z 的实部为2
，故选D ． 3．【答案】A
【解析】由题图②知，小张一星期的食品开支为30401008050300++++=元，
其中肉类开支为100元，占食品开支的1
3
，而食品开支占总开支的30%，
所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为1
30%10%3
⨯=，故选A ．
4．【答案】C
【解析】因为4sin 25θπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，所以4sin 25θ=-，
因为3
sin 225
πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 25θ=，
所以24sin 2sin cos 02225θθθ==-<，227
cos cos sin 02225
θθθ=-=-<，
所以θ是第三象限角，故选C ． 5．【答案】A
【解析】对于B 选项，02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，与题图不符；
对于C 选项，当32x ππ<<时，sin 0x >，则()2
0sin e
x
f x
x x =>，与题图不符；
对于D 选项，02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，与题图不符，
排除BCD 选项，故选A ． 6．【答案】B
【解析】因为0,0a b >>， 对于A ，当2a b +<，取12a b ==，明显可见，11
1a b
+<不成立，故必要性不成立， A 错误；
对于B ，当2a b +<，02b a <<-，得2(2)(1)11ab a a a <-=--+<，必要性成立； 当1ab <，取2a =，1
4
b =，明显可见，2a b +>，则2a b +<不成立，充分性不成立；则B 正确；
对于C ，当2a b +<，取31,24a b ==，明显可见，2291
2416
a b +=+>，则222a b +<不成立，
故必要性不成立，则C 错误；
对于D ，当
2a b +<成立，则02a b <<-< 当
<2a b +<，充分性也成立，D 错误， 故选B ． 7．【答案】C
【解析】因135a a +=，134a a =，则有
1n(1)ln 1l n
n a n n a n
n +-=+-+， 于是得，当2n ≥时，23111223)()()(1121
n n n a a a a a a a
a n n n -=-+-+-++-
()()()2ln 2ln1ln3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-+
+--=+⎣⎦，
因此2ln n a n n n =+，显然12a =满足上式， 所以2ln n a n n n =+，故选C ． 8．【答案】A
【解析】设点(),P x y ，由题意2PA PB ==
整理得到点P 的轨迹方程为2240x y x +-=，即()2224x y -+=， 因为直线()2y k x =-过定点(2,0)，即所求圆的圆心， 故直线和圆2个交点，故选A ．
9．【答案】D
【解析】∵11224MF F F c ==，由双曲线的定义得21242MF MF a c a =+=+， 所以采用余弦定理：()()()222
2
2
2
1122
12112
42425cos 224216
c c c a MF F F MF MF F MF F F c c
+-++-∠=
=
=-
⋅⨯⨯，
即2291640c ac a --=，即291640e e --=，解得2e =（负值舍去）， 则该双曲线的离心率2e =，故选D ． 10．【答案】C 【解析】依题意
1212
42,816Q Q Q Q ==，
232342
,12168Q Q Q Q ==+， 3434
42
,1816812Q Q Q Q ==++，
4545
42
,271681218Q Q Q Q ==+++，
所以516812182781BQ =++++=米，故选C ． 11．【答案】D
【解析】函数()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，
()()()()()2
2sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，即函数()f x 为偶函数，
()()cos 22cos f x x x x x x '=+=+，当0x >时，2cos 0x +>，则()0f x '>， 所以，函数()f x 在[)0,∞+上为增函数，
由()()()()ln ln 2ln 21f x f x f x f +-=<，可得()()ln 1f x f <，得ln 1x <，
即1ln 1x -<<，解得1
e e
x <<，
故选D ． 12．【答案】D
【解析】对于①：因为平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等，由平面α过A 1A 的三等分点M 可知，
点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍，因此，点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍．故命题①正确；
延长DA ，DC 交直线EF 于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M 、N ，连接D 1M ，ME ，D 1N ，NF ，可得五边形D 1MEFN ．故命题④错误；
由平行线分线段成比例可得AP =BF =1，故DP =DD 1=3，则△DD 1P 为等腰三角形． 由相似三角形可知，AM =AP =1，A 1M =2，则1122D M D N ==2ME EF FN === 连接MN ，则22MN =，
因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN ． 等腰梯形MEFN 的高()
2
2
222622h ⎛⎫-=
-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 则等腰梯形MEFN 的面积为222633+． 又1
1
=226=232D MN S ⨯△，所以五边形D 1MEFN 337323=+，
故命题②正确；
记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为V 1、V 2，
则1
2111111253331111113232326D DPQ M PAE N CFP V V V V ---=--=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，
所以1111
122547
1266
ABCD A B C D V V V -=-=-=，12:47:25V V =．故命题③正确， 综上得说法中正确的是①②③，故选D ．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】5
2
（或25．
） 【解析】由二项式5
2
2x x ⎛ ⎝
展开式的通项为5102521551()(()22r r r r r r r T C x C x
x --+=⋅=-⋅，
令51052
r
-
=，解得2r =， 将2r =代入可得2
255351522T C x x ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭
，所以5x 的系数是52， 故答案为
52
．
14．【答案】1
【解析】因为()225⋅+=+⋅=+⋅=a a b a a a a b b ， 又4⋅=a b ，所以21=a ，则1=a ， 故答案为1． 15．【答案】1092 【解析】2350025=⨯，
∴500的所有正约数之和为
2222223332(122)(55252)(55252)(55252)++++⨯+⨯++⨯+⨯++⨯+⨯ 232(1555)(122)1092=+++++=，
故答案为1092．
16．【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
【解析】()2ln x
f x x
'=-
，则当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 不妨设121x x <<，则()()12f x f x >，12ln ln x x <，
由已知()()()1221ln ln f x f x k x x -≤-，即()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+， 令()()ln g x f x k x =+，则()g x 在()1,+∞上不存在减区间，
从而当1x >时，()2
ln 0x k g x x x '=-
+≥恒成立，即ln x
k x
≥恒成立， 令()ln x h x x =，则()2
1ln x
h x x
-='， 当()1,e x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，
所以()
()max
1e e h x h ==，所以1
e
k ≥．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）2
n
n a =；（2）()
()1
1
1112
4
n n n +--+-⋅+
．
【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则2452380
420
a a q a a +===+， ∴2q =或2q =-（舍去）， 由(
)3
13121412
a S -=
=-，得1
2a
=，
∴1222n n n a -=⨯=．
（2）设()()()()()()
()0
1
2
3
4
2
1111213141511n
n n i i T b n -===-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--∑
()
1
1n n -+-①
()()()()()()()()
2
3
4
5
1
1112131415111n n
n T n n --=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--+-②
∴()()()()()1
2
3
1
2111111n n n T n -⎡⎤=+-+-+-+⋅⋅⋅+---⎣
⎦
()()(
)()()
()1
1
1
1
11111111112
n n n n n n --++-⋅--+-=+-+
=-+
--，
∴()()1
1
1112
4
n n n
T
n +--+-=
⋅+
．
18．【答案】（1）20a =，0.8b =；（2）分布列见解析，53
．
【解析】（1）∵100位居民中，共有78位居民非常满意， ∴208161478a ++++=，解得20a =， 又
2081614
1000.80.80.80.7
a b ++++=，解得0.8b =． （2）由（1）可知，年龄在[35，45)的居民共有25人，年龄在[45，55)的居民共有20人， 按分层抽样抽取9人，则共有5人年龄在[35，45)内，4人年龄在[45，55)内． 由题可知X 所有可能的取值分别为0123X =，，，．
34
39C 1(0)C 21P X ===，125439C C 5(1)C 14P X ===，215439C C 10(2)C 21P X ===，3539C 5(3)C 42
P X ===
， 则X 的分布列为：
X 0
1
2
3
P 1
21
514
1021
542
∴151055()0123211421423
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）点G 为BD 的中点时．
【解析】（1）因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ， 又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ，AE ⊂平面ABC ， 所以AE ⊥平面BCD ，
又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥AE ，
因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF //BD ， 又因为BD ⊥CD ，所以CD ⊥EF ， 又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF E =，
AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ， 又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF ． （2）在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ， 设BC =4，则23EA =，DF =FC =l ，3EF =．
以{,,}EH EF EA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系E xyz -，
则(0,0,0),(0,0,23),(3,0),3,0)E A C D -，
设(1,,0)G y ，则(0,0,23),(1,3,3)EA AD ==-，(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，
设平面AEG 的法向量为1111(,,)x y z =n ，
由1100
EA EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，得11100x yy ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =-，故1(,1,0)y =-n ；
设平面ACD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，
则2200
CD AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即222220
0x x =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)=n ，
设平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，
则12cos |cos ,||
|θ=<>==
n n ，
当0y =，cos θ最大，此时锐二面角θ最小，
故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小． 20．【答案】（1）2m =；（2）()1,+∞． 【解析】（1）依题意，()2ln 1
22f x x m m x
=+-
'，故()121f m '=-， 又()()11121133f m ⎛⎫⎛⎫
'⋅-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得2m =．
（2）因为121x x =，不妨设1210x x >>>， 由()()2112x f x x f x =，得211212
2l n 2n l x x m m x x x x +
=+， 故112
221
2ln
x x x m x x x =-，故0m >， 设1
21x t x =
>，则12ln m t t t =-，令()12ln g t t m t t
=--， 因为()10g =，由题意可知，()y g t =在区间()1,+∞上有零点，
而()2
2
21t mt
g t t -+'=， 设()0g t '=的两根为1t ，2t ，由2210t mt -+=，得121t t =， 由()g t '在()1,+∞上有零点，则()1220g m '=-<，解得1m >，
故实数m 的取值范围为()1,+∞．
21．【答案】（1）2
2
13
y x -=；
（2）14m =． 【解析】（1）据题意2c
e a
=
=，则2c a =， 点()2,3A 在双曲线C 上，则2249
1a b -=，
又22223b c a a =-=，则2243
1a a
-=，∴21a =，23b =，24c =，
∴双曲线C 的方程为2
2
13
y x -=． （2）设()11,M x y ，()22,N x y
，直线4:x ty t l ⎛=+≠ ⎝⎭， 联立()
22224
312445013x ty t y ty y x =+⎧⎪
⇒-++=⎨-=⎪⎩
，
()2
22244453180361800Δt t t =-⨯⨯+=+>，122
2431
t
y y t -+=-， 由题知，切线111:13yy l xx -
=，切线222:13
yy
l xx -=， 记(),P m n ，则112213
1
3ny mx ny mx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
两式相加得()()()()121212122823
3
n y y n y y m x x m t y y ++⎡⎤+-=⇒++-
=⎣⎦，
将122
2431
t
y y t -+=
-代入得21434m t tn -=-③； 两式相加得()()()()12121212003
3
n y y n y y m x x mt y y ----=⇒--
=，
由12y y ≠，得3n
t m
=
④， 联立③和④得()2222241414333n n n m m m m m -=-=-，故()2211403n m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，
又3
t ≠±2
213n m ≠，则14m =，
故点P 的轨迹方程为14
m =
． 22．【答案】（1）:()6l π
θρ=∈R ，22
1366
x y +=；
（2）12． 【解析】（1）消去直线l 参数方程中的参数t
得x =， 显然直线l 过原点，倾斜角为
6
π，直线l 的极坐标方程为
()6πθρ=∈R ，
曲线C 的极坐标方程化为22226sin 36cos ρθρθ+=，
将cos sin x y
ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得22636x y +=，即22
1366x y +=，
所以l 的极坐标方程为()6π
θρ=∈R ，C 的直角坐标方程为22
1366
x y +=．
（2）把()6
π
θρ=
∈R 代入2225sin 360ρρθ+-=，得216ρ=，解得4ρ=±，
因此，||||4OA OB ==，所以
11111
||||442
OA OB +=+=． 23．【答案】（1）12x x ⎧⎫
≤-⎨⎬⎩
⎭；（2）[)1,+∞．
【解析】（1）由题意得()2,
12,112,1x f x x x x -≥⎧⎪
=--<<⎨⎪≤-⎩
，
由()1f x ≥可得211x -≥⎧⎨≥⎩或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩或211x ≥⎧⎨≤-⎩，解得1
12x -<≤-或1x ≤-，
所以不等式的解集为12x x ⎧⎫
≤-⎨⎬⎩
⎭．
（2）如图所示，函数y x m =-图象是顶点为(,0)m ，开口向上的“V”型折线，其左支y x m =-+过点(1,2)-时，1m =．
①当1m ≥时，函数y x m =-图象在函数()y f x =的图象上方（有1个交点），不等式
()x m f x -≥，显然成立；
②当1m <时，函数y x m =-图象有部分在函数()y f x =的图象下方，()x m f x -≥不恒成立，
综上所述，实数m的取值范围为[)
1,+∞．。