高二数学数列的概念练习试题百度文库

一、数列的概念选择题
1．若数列的前4项分别是
1111,,,2345
--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --
B ．(1)n n -
C ．1
(1)1
n n +-+
D ．(1)1
n n -+
2．已知数列{}n a 满足11a =
),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
3．在数列{}n a 中，10a =
，1n a +，则2020a =（ ）
A ．0
B ．1
C
．D
4．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知(
)*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=，若
23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，则（ ）
A ．63243a a a ≤-
B ．2736+a a a a ≤+
C ．7662)4(a a a a ≥--
D ．2367a a a a +≥+
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）
A ．2n a n =
B ．3,1
2,2n n a n n =⎧=⎨
≥⎩
C ．21n a n =+
D ．3n a n =
7．已知数列{}n a 的前n 项和为(
)*
22n
n S n =+∈N ，则3
a
=( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
8．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+
B ．21n +
C ．2(1)1n -+
D ．2n
9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．3-
10．在数列{}n a 中，()11
11,1(2)n
n
n a a n a --==+
≥，则5a 等于
A ．
32
B ．
53
C ．85
D ．
23
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1
3n n S +=，则34a a +=（ ）
A ．81
B ．243
C ．324
D ．216
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
13．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30
B ．20
C ．40
D ．50
14．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()
*
11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，
22017a =，则100S =（ ）
A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
15．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，
12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24
B ．26
C ．28
D ．30
16．定义：在数列{}n a 中，若满足
21
1n n n n
a a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则2020
2018
a a 等于（ ） A ．4×20162－1
B ．4×20172－1
C ．4×20182－1
D ．4×20182
17．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
18．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(
)*
3n n N
≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，
若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
19．已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
，若{}n a 为周期数列，则1a 的
可能取到的数值有（ ） A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
20．已知数列{}n a 的通项公式为23n
n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．
89
B ．
23
C ．
6481
D ．
125
243
二、多选题
21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．222
2123202020202021a a a a a a ++++=
22．已知数列0,2,0,2,0,2,
，则前六项适合的通项公式为（ ）
A ．1(1)n
n a =+-
B ．2cos
2
n n a π= C ．(1)2sin
2
n n a π
+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
23．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114
a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为递增数列 24．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小
B ．130S =
C ．49S S =
D ．70a =
25．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A ．数列{}n a 的公差d <0
B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10
C ．S 10>0
D ．S 11>0
26．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）
A ．1:17:2a d =-
B ．180S =
C ．当0d >时，6140a a +>
D ．当0d <时，614a a >
27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值
D ．613S S =
28．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
29．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <
B ．70a =
C ．95S S >
D ．170S <
30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且32019
11
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
31．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
32．在数列{}n a 中，若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 33．数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和2
n S n =
C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D ．数列{}n a 为递减数列
34．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-
B ．23n a n =+
C ．2
23n S n n =-
D ．2
4n S n n =+
35．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】
设所求数列为{}n a ，可得出()11
1
111
a
+-=
+，()21
2
121
a
+-=
+，()31
3
131
a
+-=
+，()41
4
141
a
+-=
+，
因此，该数列的一个通项公式为()1
11
n n
a n +-=
+.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.
2．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥，将此等式变形得2
11n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
由累乘法得22
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n
--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈，22cos 3
n n b n π
∴=， ()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭592
k =-，
因此，数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
⨯+++++-⨯=⨯
-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．A
解析：A
【分析】
写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】
10a =，1
n a +
1n =时，
2
a 2n =时，3a 3n =时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是3
20206733110a a a ⨯+∴===
故选：A. 【点睛】
本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.
4．A
解析：A 【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32
n n n
S =，发现不存在这样的偶数能满
足此式，当n 为奇数时，可得21+34
2
n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32
n n
=，
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ⨯+⨯====，
所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722S a a +⨯-=+=+，
25111513514
13752
S a a +⨯-=+=+，
又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.
5．C
解析：C 【分析】
由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-，然后可得
3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-，即可推出选项C 正确.
【详解】
因为*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+，，
所以12133n n n n S S S S -+-≤--，所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-，
所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-
所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选：C
【点睛】
本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系，解答的关键是由条件得到
11n n n n a a a a -+-≤-，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据11,1,2n n
S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；
【详解】
解：因为2
1n S n n =++①，
当1n =时，2
11113S =++=，即13a =
当2n ≥时，()()2
1111n S n n -=-+-+②，
①减②得，()()2
2
11112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦
=⎣
所以3,1
2,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩
故选：B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.
7．D
解析：D 【分析】
根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】
()()3233222224a S S =-=+-+=.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.
8．A
解析：A 【分析】
由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】
因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，
因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，
以上各式相加得：()()()21246.1221..212
n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦
-=
+++==+--，
又11a =，所以2
1n a n n =-+.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.
9．C
解析：C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
10．D
解析：D 【解析】
分析：已知1a 逐一求解234512
2323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解234512
2323
a a a a ==
==，，，．故选D 点睛：对于含有()1n
-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．
11．D
解析：D 【分析】
利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】
利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，
34216a a ∴+=
故选：D 【点睛】
本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
13．B
解析：B 【分析】
利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】
由13920a a a ++=，得131020a d +=，
则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】
考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.
14．A
解析：A 【分析】
根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案． 【详解】
解：因为12018a =，22017a =，()
*
11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，
则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-， 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=，
76511(2017)2018a a a a =-=--==， 8762201812017a a a a =-=-==，
…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以
()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++
12342016a a a a =+++=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．
15．B
解析：B 【分析】
先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.
16．C
解析：C 【分析】
根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】
由题意可得：3
23a a =，
211a a = ，3221
1a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首先为1，公差为2的等差数列，
则()1
11221n n
a n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，2019
2018
220181a a =⨯-， 所以
()()2202020202019
201820192019
220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】
本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.
17．C
解析：C 【分析】
利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】
当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C
18．A
解析：A 【分析】
根据条件得出数列{}n b 的周期即可.
【详解】
由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……
则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A
19．B
解析：B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2
+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
③若13a =，则26a =，33a =，46a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意
的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，
此时，{}n a 为周期数列；
⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.
下面说明，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
（1）当(
34
12,2a ⎤∈⎦
且1N a *
∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么
当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
⎤∈≥∈⎦时.
若1a 为正偶数，则(11
22,22
k k a a +⎤=
∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，
由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
20．A
解析：A 【分析】
由12233n
n n n a a +-⎛⎫
-=⋅ ⎪⎝⎭
，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得
到n ＝2时，a n 最大. 【详解】
解：112222(1)3333n n n
n n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；
当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239
a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】
此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.
二、多选题
21．BCD 【分析】
根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，
解析：BCD 【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得
135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2
121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，
()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222
123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.
22．AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，
解析：AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，1(1)n
n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；
对于选项B ，2cos 2
n n a π
=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC
23．ABC 【分析】
数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出． 【详解】
数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：，
∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得
解析：ABC 【分析】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11
4
a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1
n
S ，n S ，2n ≥时，()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---，进而求出n a ． 【详解】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），11
4
a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：
1
11
4n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，公差为4， ∴()1
4414n n n S =+-=，可得14n S n
=，
∴2n ≥时，()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---， ∴()1
(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪
=⎨⎪-≥-⎪⎩
，
对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为
1
11
4n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题
24．BCD 【分析】
由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
设等差数列数列的公差为. 由有，即
所以,则选项D 正确.
选项A. ,无法判断其是否有最小
解析：BCD 【分析】
由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
设等差数列数列{}n a 的公差为d .
由13522,a a S +=有()111254
2252
a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176
773212
S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113
137131302
a S a a +=
⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件
13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,
属于中档题.
25．AC 【分析】
由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解：因为，所以，且，
所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误， 所以，，
所以C 正确，D 错误， 故选：AC
解析：AC 【分析】
由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，
所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()
5()02a a S a a +=
=+>，11111611()1102
a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC
26．ABC 【分析】
因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项
解析：ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，
140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，
对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=，故选项B 正确；
对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；
对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，
所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.
27．ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确； ∵，，故有，故B 正确； 该数
解析：ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()11187
5282
a a d a d ⨯++=+
，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；
∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119
2
22
n n n n S na d d d n -=+
=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，
故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，1311312
13392
S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
28．ABD 【分析】
由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正
解析：ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.
29．ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】
由，可得，故B 正确； 由，可得， 由，可得，
所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确； 又，所以，故C 不正确
解析：ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】
由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，
所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()
117179171702
a a S a +=
=<，故D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及
()
12
n n n a a S +=
，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 30．AC 【分析】
将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由，可得，令， ，
所以是奇函数，且在上单调递减，所以， 所以当数列为等差数列时，；
解析：AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为32019
1111
01212
a a e e -+-≤++，构造函数()11
12
x
f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由
3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()11
12
x f x e =-+， ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，
所以()11
12
x
f x e =
-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()
320192*********
a a S +=
≥；
当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021
202110110T a =>.
故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题
31．ABD 【分析】
由，判断，再依次判断选项. 【详解】 因为，，
，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；
由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB
解析：ABD 【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】
因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，
788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；
()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.
32．BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，
则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数
解析：BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，
则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}
n a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121
[(1)][(1)]0n n n n a
a ---=---=是常数， {(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；
对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，
数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，
，
()(
)()()
22222222
12132221k k k k k k k k a
a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()
22
222
2221
2
1
3
2
221k k
k k k k k k a
a a a a a a a kp +++++--+-+-+
+-=，222k k a a kp ∴-=，
()
221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列，
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
33．ABD 【分析】
首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】
对选项A ，因为，， 所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：
解析：ABD
首项根据11,121n n n a a a a +=
=+得到
1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A ，因为121
n
n n a a a +=
+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n n
a a +-= 所以1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.
对选项B ，由A 知：
1
121
21n
n n a
数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.
对选项C ，因为1
21n n a =-，所以121
n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为1
21
n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
34．AC 【分析】
由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】
由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
解析：AC 【分析】
由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式
由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232
n n n S n n --==-.
故选：AC. 【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
35．AC 【分析】
由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】
解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．
故正确，错误；
可得数列的
解析：AC 【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)
3963
a a d ---=
==-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。