西安中学2019届高三下学期数学(理)第12次考试卷附答案详析

西安中学2019届高三下学期数学（理）第12次考试卷
一、单选题
1．设全集U =R ，(2){|(1)},{|21}x x M x y ln x N x -==-=<，那么如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤
2．各项不为0的等差数列{}n a ，满足2
3711220a a a -+=，数列{}n b 是各项为正的等比数列，且77b a =，则68b b +的最小值是（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
3．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
①设有一个回归方程ˆ35y
x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位 ①线性回归方程
$ˆy
bx a =+$必过(),x y ①设具有相关关系的两个变量,x y 的相关系数为r ，那么||r 越接近于0，,x y 之间的线性相关程度越高；
①在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，那么2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。

其中错误．．
的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
4．球O 是棱长为12的正四面体S -ABC 的外接球，D ，E ，F 分别是棱SA ，SB ，SC 的中点，那么平面DEF 截球O 所得截面的面积是（ ） A ．36π
B ．40π
C ．48π
D ．54π
5．如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．在二项式2
51()x x -
的展开式中，含4x 的项的系数是m ，那么复数43()|13|34m
i z i i
+=+--在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．(0,3)-
B ．(101,0)-
C ．(2,3)-
D ．(101,0)+
7．在同一个坐标系中画出函数x y a =，sin y ax =的部分图象，其中0a ＞且1a ≠，则下列
图象中可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且
2AF x ⊥轴，若
12
5
3
AF AF =
，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2
B ．3
C ．
2 D ．3
9．在ABC ∆中，2,3,60AB BC ABC ==∠=︒,AD 为BC 边上的高，E 为AD 的中点。

那
么AE AC ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．
32
B ．
52
C ．
92
D ．
112
10．函数12
12
log ,0,()log (),0,x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<⎪⎩假设()()f a f a >-，那么实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)(0,1)-U
B ．(,1)(1,)-∞-+∞U
C ．(-10)(1,)⋃+∞，
D ．(,1)(0,1)-∞-U
二、填空题 11．圆心在直线
y x =上，通过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为____
12．已知整数以按如下规律排成一列：
()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，
()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是 ；
13．已知函数f （x ）=e x -2x+a 有零点，则a 的取值范围是___________．
14．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 15．不等式
213x x m ---<有解，那么实数m 的取值范围是_____
16．如图，①O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为①O 的切线，N 为切点，假设8AP =，6PB =，4PD =，6MC =，那么MN =_____
三、解答题
17．已知直线的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，求点72,4A π⎛⎫
⎪⎝⎭
到这条直线的距离．
18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角的余弦值为1
3。

（1）求2sin
cos 212
B C A +++的值 （2）假设3a =，求ABC ∆面积的最大值
19．今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0．785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0．785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：
A 小区 低碳族 非低碳族
B 小区 低碳族 非低碳族 比例P 1/2
1/2
比例P
4/5
1/5
（1）如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率； （2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A 小区中任选25个人，记表示25个人中的低碳族人数，求E
和D ξ
20．在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC =23，E 、G 分别为PC 、PA 的中点.
（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；
（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求
AN
NC
的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值
21．设n S 是数列
{}n a 的前n 项和，点(,)n n P a S +(,1)n N n ∈≥在直线22y x =-上.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）记n n
n
b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.
22．椭圆22
221x y a b
+=〔a ＞b ＞0〕与抛物线24y x =有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的
交点为M ，满足5
3
MF =. （1）求椭圆的方程；
（2）过点(0,1)P ，斜率为k 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，设AP PB λ=u u u r
u u u r
，假设[2,3]λ∈，求k 的取值范围.
23．函数()ln f x ax x =-，(0,]x e ∈，ln ()x
g x x
=. （1）设2
()()1h x f x x =-+，假设()h x 在()0,1上递减，求a 的取值范围；
（2）假设1a =，求证：121()()2
f x
g x >+
. （3）是否存在实数a ，使得()3f x ≥恒成立，假设存在，求出a 的取值范围，假设不存在，请说明理由.
解析
西安中学2019届高三下学期数学（理）第12次考试卷
一、单选题
1．设全集U =R ，(2){|(1)},{|21}x x M x y ln x N x -==-=<，那么如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤
【答案】B
【解析】由题，知阴影部分表示的为()N C M N I ，算出集合M 、N 表示的范围，根据集合的交集与补集的运算，即可得到本题答案. 【详解】
由题，知阴影部分表示的为()N C M N I ，由10x ->，得1x <，{|1}M x x =<，由(2)
21x x -<，
得02x <<，{|02}N x x =<<，所以{|01}M N x x ⋂=<<，
(){|12}N C M N x x ⋂=≤<，那么如图中阴影部分表示的集合为{|12}x x ≤<.
故选：B 【点睛】
本题主要考查集合的交集与补集的运算，属基础题.
2．各项不为0的等差数列{}n a ，满足2
3711220a a a -+=，数列{}n b 是各项为正的等比数列，且77b a =，则68b b +的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
【答案】C
【解析】由2
3711220a a a -+=求得7a ，然后求得68b b ，最后根据68682b b b b +≥，即可得
到本题答案. 【详解】 因为
{}n a 是各项不为0的等差数列，所以31172a a a +=，联立23711220a a a -+=，得
2
7704a a =-，解得74a =或70a =（舍去）；因为数列{}n b 是各项为正的等比数列，且
77b a =，所以268716b b b ==，686828b b b b +≥=，则68b b +的最小值是8.
故选：C 【点睛】
本题主要考查等差数列性质、等比数列性质与基本不等式的综合问题.
3．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
①设有一个回归方程ˆ35y
x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位 ①线性回归方程
$ˆy
bx a =+$必过(),x y ①设具有相关关系的两个变量,x y 的相关系数为r ，那么||r 越接近于0，,x y 之间的线性相关程度越高；
①在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，那么2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。

其中错误．．
的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】根据用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本概念和基本性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不
变，故①正确；一个回归方程ˆ35y
x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，故①不正确；线性回归方程
$ˆy
bx a =+$必过样本中心点，故①正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r ，||r 越接近于1，相关程度越大，故①不正确；对于观察值2K 来说，2K 越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，故①正确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.
4．球O 是棱长为12的正四面体S -ABC 的外接球，D ，E ，F 分别是棱SA ，SB ，SC 的中点，那么平面DEF 截球O 所得截面的面积是（ ） A ．36π B ．40π
C ．48π
D ．54π
【答案】C
【解析】先算出外接球的半径，然后算出球心到截面的距离，利用勾股定理可求得截面圆的半径，从而可得到本题答案. 【详解】
由正四面体的性质可知：2
63433
CN
=⨯=，2212(43)46SN =-=，因为OS OC =，在Rt ONC ∆中，由勾股定理得36OS OC ==，由平行面分线段成比例可知：
1
262
MS SN =
=，故6MO OS MS =-=，22(36)(6)43ME =-=，故所求截面面积为248ME ππ⋅=.
故选：C
【点睛】
本题主要考查三棱锥外接球的截面圆的面积问题.
5．如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由程序框图可知，美数就是能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，即可得到本题答案. 【详解】
由程序框图知美数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30,40]内的所有整数中，所有的能被3整除的数有30，33，36，39共4个，其中能被12 整除的有36，不能被6整除的有33，39，所以在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是3. 故选：C 【点睛】
本题主要考查程序框图，属基础题. 6．在二项式2
51()x x -
的展开式中，含4x 的项的系数是m ，那么复数43()|13|34m
i z i i
+=+--在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．(0,3)- B ．(101,0)-
C ．(2,3)-
D ．(101,0)+
【答案】B
【解析】由在二项式2
51()x x -
的展开式中，含4x 的项的系数是m ，求得m ，然后算出4334i
i
+-，|13|i -的值，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得()()
52
1
103155(1)r r
r
r r r r T C x x C x ---+=-=-，因为含4x 的项的系数是m ，令2r =，
得10m =，因为
43(43)(34)2534(34)(34)25
i i i i
i i i i +++===--+，101i =-，2|13|1(3)10i -=+-=, 所以，101z =-，在复平面上对应的点的坐标为(101,0)-. 【点睛】
本题主要考查二项式定理与复数的综合应用问题. 7．在同一个坐标系中画出函数x y a =，sin y ax =的部分图象，其中0a ＞且1a ≠，则下列
图象中可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】本题可采用排除法进行判定，再根据指数函数和三角函数的图象的特征进行判定. 【详解】
2T a
π=
，A 项，①2T π>，①1a <与x
y a =为增函数矛盾. B 项，①2T π<，①1a >，①x y a =为增函数，错误.
C 项，2T π=，①1a =，1x y a ==错误.
D 项，2T π>，①1a <，x y a =为减函数，正确答案为D .
故选D . 【点睛】
本题主要考查指数函数和三角函数的函数图像，熟练掌握指数函数、三角函数图像和性质是解决此题的关键.
8．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且
2AF x ⊥轴，若
12
5
3
AF AF =
，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2 B ．3
C ．
2 D ．3
【答案】A 【解析】设
23AF x =，因为
12
5
3
AF AF =
，则15AF x =，根据勾股定理可得124,2F F x c x =∴=①由双曲线的定义知，1222a AF AF x =-=， ,2c
a x e a
∴=∴==，故选A ．
9．在ABC ∆中，2,3,60AB BC ABC ==∠=︒,AD 为BC 边上的高，E 为AD 的中点。

那
么AE AC ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．
32
B ．
52
C ．
92
D ．
112
【答案】A
【解析】以点D 为原点，,DC DA u u u r u u u r
为x ，y 轴建立平面直角坐标系，写出点A 、E 、C 的坐标，
即可得到本题答案. 【详解】
由题，得1,2,3BD CD AD ===.以点D 为原点，,DC DA u u u r u u u r
为x ，y 轴建立平面直角坐标系，
得3(0,3),0,,(2,0)2A E C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以330,,(2,3),22AE AC AE AC ⎛⎫=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r u u u
r u u u r u u u r .
故选：A
【点睛】
本题主要考查解三角形与平面向量的综合问题，建立平面直角坐标系是解决本题的关键.
10．函数12
12
log ,0,()log (),0,x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<⎪⎩假设()()f a f a >-，那么实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)(0,1)-U
B ．(,1)(1,)-∞-+∞U
C ．(-10)(1,)⋃+∞，
D ．(,1)(0,1)-∞-U
【答案】C
【解析】分0a >和0a <两种情况，解不等式即可得到本题答案. 【详解】
当0a >时，由题，得112
2
log log a a ->，12
2log 0a <，得1a >；
当0a <时，由题，得
112
2
log ()log ()a a ->--，12
2log ()0a ->，
得
01a <-<，
即10a -<<； 综上，a 的取值范围为(1,0)(1,)-??.
故选：C 【点睛】
本题主要考查分段函数与不等式的综合问题.
二、填空题 11．圆心在直线y x =上，通过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为____
【答案】2
2(1)
(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=
【解析】由圆心在直线
y x =上，通过原点，可设圆的方程为222()()2x a y a a -+-=,由在x
轴上截得弦长为2，可算得a ，即可得到本题答案. 【详解】 由圆心在直线
y x =上，通过原点，可设圆的方程为222()()2x a y a a -+-=，令0y =，得
21220,0,2x ax x x a -===，由在x 轴上截得弦长为2，得|20|2a -=，1a =±，
所以圆的方程为2
2(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=.
故答案为：2
2(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，属基础题. 12．已知整数以按如下规律排成一列：
()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，
()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是 ；
【答案】
()5,7
【解析】通过观察可知数对按照两数之和为2,3，4,5，……依次排列，和为2的有1个，和为3 的有2个，以此类推可知和为11的有10个，这之前共有55个，从第56个开始为
，所以第60个数对为
13．已知函数f （x ）=e x -2x+a 有零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】
(],2ln 22-∞-
【解析】根据零点定义，分离出a ，构造函数()2x g x e x =-，通过研究()2x g x e x =-的值域来确定a 的取值范围． 【详解】
根据零点定义，则2+0x e x a -= 所以2x a e x -=- 令()2x g x e x =-
则'()2x
g x e =-，令'()20x
g x e =-= 解得ln 2x =
当ln 2x <时，)'(0g x <，函数()2x g x e x =-单调递减 当ln 2x >时，'()0g x >，函数()2x g x e x =-单调递增 所以当ln 2x =时取得最小值，最小值为22ln 2- 所以由零点的条件为22ln 2a -≥- 所以2ln 22a ≤-，即a 的取值范围为(],2ln 22-∞-
【点睛】
本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题． 14．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 【答案】2300 【解析】【详解】 设甲种设备需要生产
天, 乙种设备需要生产
天, 该公司所需租赁费为
元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备 A 类产品
（件）（≥50）
B 类产品 （件）（≥140）
租赁费（元）
甲设备
5
10
200
乙设备 6
20
300
则满足的关系为5650
{10201400,0
x y x y x y +≥+≥≥≥即:6
105
{
214
0,0
x y x y x y +
≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,
当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10
{5
214
x y x y +
=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．
15．不等式
213x x m ---<有解，那么实数m 的取值范围是_____ 【答案】5
(,)2
-
+∞ 【解析】分12x ≤
，1
32
x <≤和3x >三种情况讨论，求得()|21||3|f x x x =---的最小值，即可得到本题答案. 【详解】
设()|21||3|f x x x =---， 当1
2
x ≤时，()12(3)2f x x x x =---=--； 当
1
32
x <≤时，()21(3)34f x x x x =---=-； 当3x >时，()21(3)2f x x x x =---=+；
可知()f x 在1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭单调递减，在1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，(3,)+∞单调递增， 所以，min 15()22f x f ⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
， 又()|21||3|f x x x m =---<有解的等价条件为min ()f x m <，即5
2
m >-， 所以m 的取值范围是5
(,)2
-
+∞. 故答案为：5
(,)2
-+∞ 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式能成立的问题.
16．如图，①O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为①O 的切线，N 为切点，假设8AP =，6PB =，4PD =，6MC =，那么MN =_____
【答案】233
【解析】由相交弦定理算得PC ，再由切割线定理算得MN . 【详解】
由相交弦定理得，PA PB PC PD ⋅=⋅，得12PC
=，则PC 22MD MC PD =++=，由切
割线定理得，2MN MC MD =⋅，得233MN =. 故答案为：233 【点睛】
本题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用，属基础题.
三、解答题
17．已知直线的极坐标方程为2sin 42πρθ
⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，求点72,4A π⎛⎫
⎪⎝⎭
到这条直线的距离． 【答案】
22
【解析】试题分析：，整理得
，
，，在平面直角坐标系到直线
，
，故答案为．
【考点】1、极坐标的应用；2、点到直线的距离公式．
18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角的余弦值为1
3。

（1）求2
sin
cos 212
B C
A +++的值 （2）假设3a =
，求ABC ∆面积的最大值
【答案】（1）
59；（2）
32
8
【解析】（1）由题可得1
cos 3
A =-
，利用诱导公式及二倍角公式化简，即可得到本题答案； （2）结合余弦定理及基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】
（1）由题，得11
cos()cos ,cos 33A A A π-=-==-，
所以，222215sin
cos 21cos 2cos 11(1cos )2cos 2229
B C A A A A A +++=+-+=++=； （2）因为1cos 3
A =-，所以222
sin 1cos 3=-=A A ，
由余弦定理，得2222
2832cos 33
bc b c bc A b c bc =+-=++≥，即98bc ≤，
所以1232sin 238ABC S bc A bc ∆==≤
，即ABC ∆面积的最大值为328
. 【点睛】
本题主要考查利用诱导公式及二倍角公式化简求值，以及利用余弦定理和基本不等式求三角形面积的最大值.
19．今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0．785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0．785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否
符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：
A小区低碳族非低碳族B小区低碳族非低碳族
比例P1/21/2比例P4/51/5
（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地
从A小区中任选25个人，记表示25个人中的低碳族人数，求E和Dξ
【答案】（1）0.33
（2）,
178136
25
252525
Dξ=⨯⨯=．
【解析】（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A
（2）设A小区有a人，2周后非低碳族的概率
2周后低碳族的概率
依题意
17
(25,)
25
B
ξ~,所以,
178136
25
252525
Dξ=⨯⨯=．
20．在三棱锥P—ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=23，E、G分别为PC、PA的中点.
（1）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（2）假设在线段AC上存在一点N，使PN⊥BE，求AN
NC
的值；
（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值 【答案】（1）见解析；（2）
12AN NC =；（3）21
sin 7
θ=
【解析】（1）由BC PA ⊥，BG PA ⊥，得PA ⊥平面BCG ，即可得到本题的结论；（2）
由N 为线段AC 一点，可设为(2,23,0)AN AC λλλ==-u u u r u u u r ，得(22,23,2)PN λλ=--u u u r
，
又由，PN
BE ⊥可确定λ的取值，从而可得到本题答案；（3）求出平面PBN 的法向量
(,,)n x y z =r ，然后套入公式||
sin ||||
BE n BE n θ⋅=⋅u u u r r
u u u
r r ，即可得到本题答案. 【详解】
（1） 因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥， 又AB BC ⊥，AB BP B =I
，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥①，
又2AB PB ==，PAB ∆为等腰直角三角形，G 为斜边PA 的中点，所以BG PA ⊥①， 又BG BC B ⋂=，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ， 则有平面BCG ⊥平面 PAC ；
（2）分别以,,BA BC BP u u u r u u u r u u u r
为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
那么(2,0,0),(0,23,0),(0,0,2),(0,3,1)A C P BE =u u u r ，因此(2,23,0)AC =-u u u r
，
(2,0,2)
PA =-u u u r ，设(2,23,0)AN AC λλλ==-u u u r u u u r ，那么(22,23,2)PN λλ=--u u u r
， 由PN
BE ⊥，得0PN BE ⋅=u u u r u u u r ，解得1
3
λ=.
因此13AN AC =u u u r u u u r ，因此
1
2
AN NC =； （3）由（2）知423
(,
,2)33
PN =-u u u r
，设平面PBN 的法向量为(,,)n x y z =r ，则
0,0n PN n BP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即20
423
203
3z x y z =⎧⎪
⎨+-=⎪⎩， 令3x =，得2y =-，0,z =因此(3,2,0)n =-r
，
设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么2321
sin 727
BE n BE n θ⋅===⨯⋅u u u r r u u u
r r . 【点睛】
本题主要考查面面垂直的证明、向量法求直线与平面所成角以及用向量法确定某点的位置. 21．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(,)n n P a S +(,1)n N n ∈≥在直线22y x =-上.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）记n n
n
b a =
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 【答案】（1）2n
n a =；（2）
1
22
n T ≤< 【解析】（1）当1n =时，得12a =，当2n ≥时，得1
2n
n a a -=，由此可得本题答案； （2）利用错位相减法可求得n T ，由数列{}n T 是递增数列，且2n T <，即可得到本题答案. 【详解】
（1）由题，得22n n S a =-， 当1n =时，1122S a =-，得12a =；
当2n ≥时，22n n S a =-①，1122n n S a --=-①，①-①得，
1
2n
n a a -=； 所以数列
{}n a 是以12a =为首项，以2为公比的等比数列，即2n n a =；
（2）由题，得1()22
n
n n n b n =
=⋅，因为12321n n n n T b b b b b b --=+++++L ，所以 2
3
2
1
11111123(2)(1)222222n n n
n T n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=+⨯+⨯+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
L ①，
2
3
4
1
1
111111123(2)(1)2222222n n
n n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ①，
①-①，得2
3
1
1
11111112222222n n
n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，
所以，12(2)2n n T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭
，
显然，2n T <，因为11
()(1)02
n
n n T T n +-=+>，所以数列{}n T 是递增数列，且1
31
222
T =-
=，
因此
1
22
n T ≤<. 【点睛】
本题主要考查由,n n a S 的关系式求通项公式及用错位相减法求和.
22．椭圆22221x y a b
+=〔a ＞b ＞0〕与抛物线2
4y x =有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的
交点为M ，满足53
MF =. （1）求椭圆的方程；
（2）过点(0,1)P ，斜率为k 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，设AP PB λ=u u u r
u u u r
，假设[2,3]λ∈，求k 的取值范围.
【答案】（1）22143x y +=；（2）6116
[,][,]2222
k ∈--⋃
【解析】（1）由题可得，1c =，点M 的横坐标为
23
，代入抛物线2
4y x =方程可求得M 点纵坐标，然后利用椭圆的定义求出a ，即可得到本题答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得12
2
834k x x k -+=
+①，12
28
34x x k -⋅=+①，由题，得12x x λ=-①，结合以上三个式子，得22
81
234k k λλ=+-+，求出1()2h λλλ=+-在[2,3]的取值范围，即可得到本题答案.
【详解】
（1）由椭圆与抛物线2
4y x =有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的交点为M ，满足
53
MF =
， 得椭圆的1c =，点M 的横坐标为23，代入抛物线2
4y x =方程，可得226,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 因为椭圆焦点为(1,0),(1,0)-，所以
22
2
2
22622621143333a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，得2,3a b ==，则椭圆的方程为22
143
x y +=；
（2）设直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程得：22
(34)880k x kx ++-=，>0∆恒成
立.
设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12
2
834k x x k -+=
+①，12
28
34x x k -⋅=+①， 由AP PB λ=u u u r u u u r 可得，12x x λ=-①，由以上三式可得：22
81
234k k λλ
=+-+，
当[2,3]λ∈时，2
22
11
1
(2)10λλλλλ
-'+-=-=>，因此1()2h λλλ=+-在[2,3]上单调递增，
因此当[2,3]λ∈时，1
14
()2[,]23
h λλλ=+
-∈， 因此，221842343k k ≤≤+，解得6116
[,][,]2222
k ∈--⋃.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆与向量的综合问题. 23．函数()ln f x ax x =-，(0,]x e ∈，ln ()x
g x x
=. （1）设2
()()1h x f x x =-+，假设()h x 在()0,1上递减，求a 的取值范围；
（2）假设1a =，求证：121()()2
f x
g x >+
. （3）是否存在实数a ，使得()3f x ≥恒成立，假设存在，求出a 的取值范围，假设不存在，请说明理由.
【答案】（1）(,22]-∞；（2）见解析；（3）存在实数2a e ≥ 【解析】（1）由()h x 在()0,1递减，得()0h x '≤在()0,1恒成立， 1
2a x x
≤+
，即可得到本题答案；
（2）要证明1a =时，121()()2
f x
g x >+
，只需证明当1a =，min max 1
()()2f x g x >+，算出
()f x 的最小值和()g x 的最大值，即可得到本题答案；
（3）分0a ≤和0a >考虑()f x 的最小值，即可得到本题答案. 【详解】
（1）2
()ln 1h x ax x x =--+，1
()2h x a x x
'=-
-， 由()h x 在
()0,1递减，得()0h x '≤在()0,1恒成立，所以1
20a x x
-
-≤， 即12a x x ≤+
，而1222x x +≥，当且仅当22
x =时，等号成立，因此22a ≤，
即a 的取值范围是(,22]-∞； （2）要证明1a =时，121()()2
f x
g x >+
，只需证明当1a =，min max 1
()()2f x g x >+，
21 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x
-'=-=，令()0f x '=，得1x = 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，
当(1,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 递增，
因此min ()(1)1f x f ==，
21ln ()x g x x
-'=，令()0g x '=，解得x e = 当(0,)x e ∈时，()0,()'>g x g x 递增，当(,)x e ∈+∞时，()0,()g x g x '<递减，因此
max 1()()g x g e e ==，而2e >，11111222
e +<+=，因此min max 1()()2
f x
g x >+成立，即1a =时，121()()2
f x
g x >+
； （3）11()ax f x a x x -'=-=，(0,]x e ∈， ①当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在(0,]e 上递减，因此min ()()1f x f e ae ==-
假设()3f x ≥恒成立，那么13ae -≥，即4a e ≥
，与0a ≤矛盾； ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a
=. 1.当1e a ≤时，即1a e ≥，当1(0,)x a
∈时，()0,()f x f x '<递减，当1(,]x e a ∈时，()0,()f x f x '>递增，因此，当1x a
=时，()f x 取到唯一的极值，又是极小值，因此min 11()()1ln f x f a a
==-. 假设()3f x ≥恒成立，即11ln 3a
-≥，解得2a e ≥. 2.当1e a >时，即1a e
<，当(0,]x e ∈时，()0,()f x f x '<递减，因此min ()()1f x f e ae ==-， 假设()3f x ≥恒成立，那么13ae -≥，即4a e ≥，与1a e
<矛盾. 综上，存在实数2a e ≥，使得()3f x ≥恒成立.
【点睛】
本题主要考查已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，以及导数与不等式的综合问题.。