朝阳区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)

朝阳区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 有以下四个命题：①若=，则x=y ．②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2．则是真命题的序号为（ ）A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
2． 下列式子表示正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、{}00,2,3⊆{}{}22,3∈{}1,2φ∈{}
0φ⊆3． 已知、、
的球面上，且，，球心到平面的距离为A B C AC BC ⊥30ABC ∠=o
O ABC 1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
M BC M O
A B ．
C
D ．34
π3π
4． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（
）
A ．
B ．
C ．4
D ．
5． 若为等差数列，为其前项和，若，
，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（
）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．146． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．7
25
-
C. 7
25
±
D ．
2425
7． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）
A ．（￢p ）∨q
B ．p ∨q
C ．p ∧q
D ．（￢p ）∧（￢q ）
8． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
9． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）
A ．15，10，25
B ．20，15，15
C ．10，10，30
D ．10，20，20
10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则+
+…+
=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A
D
O
C B
11．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
12．已知菱形ABCD 的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A ．15π
B ．
C ．
π
D ．6π
二、填空题
13．抛物线的焦点为，经过其准线与轴的交点的直线与抛物线切于点，则2
4x y =F y Q P FPQ ∆外接圆的标准方程为_________.14．如果椭圆+
=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．
15．复数z=
（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．
16．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ．
17．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于　_________　。

18．已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的
x y ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ay x z +=2)4,3(a 取值范围是
．
三、解答题
19．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．
20．已知等差数列{a n }的首项和公差都为2，且a 1、a 8分别为等比数列{b n }的第一、第四项．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设c n =
，求{c n }的前n 项和S n ．
21．已知椭圆，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x2+y2=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．
22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，
．
求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（Ⅲ）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．
23．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域．
24．设集合{}
{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =
，判断集合A 与B 的关系；（2）若，求实数组成的集合C ．
A B B =I
朝阳区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：①若=，则
，则x=y ，即①对；
②若lgx 有意义，则x ＞0，即②对；
③若x=y ＞0，则
=
，若x=y ＜0，则不成立，即③错；
④若x ＞y ＞0，则 x 2＞y 2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A ．　
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：空集是任意集合的子集。

故选D 。

考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。

3． 【答案】B
【解析】∵，∴，
AC BC ⊥90ACB ∠=o
∴圆心在平面的射影为D 的中点，
O AB
∴
，∴．1
12
AB ==2AB =
∴，
cos30BC AC ==o
当线段为截面圆的直径时，面积最小，BC
∴截面面积的最小值为．234
ππ⨯=4． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故
=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为
，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．　
5． 【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．
10a >0d <
6． 【答案】A 【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.7． 【答案】B
【解析】解：命题p ∧（￢q ）是真命题，则p 为真命题，￢q 也为真命题，可推出￢p 为假命题，q 为假命题，故为真命题的是p ∨q ，故选：B ．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p ∨q 全假时假，p ∧q 全真时真．　
8． 【答案】B
【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．∵AC=
=2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|=
=
=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
800×=20，600×=15，600×=15，
故选B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
12．【答案】A
【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R 2=
∴球的表面积为15π．故选：A ．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．　
二、填空题
13．【答案】或()2
2
12x y -+=()2
2
12
x y ++=【解析】
试题分析：由题意知，设，由，则切线方程为，代入()0,1F 2001,
4P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
1'2y x =()200011
42y x x x x -=-得，则，可得，则外接圆以为直径，则()0,1-02x =±()()2,1,2,1P -PF FQ ⊥FPQ ∆PQ ()
2
212
x y -+=或.故本题答案填或．1
()2212x y ++=()2212x y -+=()22
12x y ++=考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．14．【答案】　x+4y ﹣5=0　．
【解析】解：设这条弦与椭圆
+
=1交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
由中点坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，把P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得
，
①﹣②，得2（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0，∴k=
=﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y ﹣1=﹣（x ﹣1），即为x+4y ﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y ﹣5=0．故答案为：x+4y ﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．
15．【答案】 ．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
16．【答案】　3π　．
【解析】解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体，如图
∵球与三棱锥各条棱都相切，
∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，
而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点
由此可得该球的直径为，半径r=
∴该球的表面积为S=4πr2=3π
故答案为：3π
【点评】本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．
17．【答案】
【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：。

18．【答案】(,2)
-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,(1,0),(0,1),(3,4)A B C ∴，，．2A z =B z a =64C z a =+∴，解得．
642
64a a a
+<⎧⎨
+<⎩2a <-三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；当a ≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a ﹣2），（，0）．
∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a ﹣2=
，解得a=2或a=0；
（2）∵A （﹣2，4），B （4，0），∴线段AB 的中点C 坐标为（1，2）．又∵|AB|=
，
∴所求圆的半径r=|AB|=
．
因此，以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=13．　
20．【答案】
【解析】解：（1）由等差数列通项公式可知：a n =2+（n ﹣1）2=2n ，当n=1时，2b 1=a 1=2，b 4=a 8=16，...3设等比数列{b n }的公比为q ，则， (4)
∴q=2， (5)
∴
…6
（2）由（1）可知：log 2b n+1=n ...7∴ (9)
∴
，
∴{c n }的前n 项和S n ，S n =
． (12)
【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），
则，得y1=﹣，y2=，
MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，
椭圆的离心率为：==．
（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，
设过点A且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0，
由于圆x2+y2=4内切于△APQ，所以r=2=，得k=±（b＞2），
即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，
∴y Q=y P=﹣2，
不妨设点Q在y轴左侧，可得x Q=﹣x P=﹣2，
则=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
22．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．
（II）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．
∵E是PC的中点，∴．
∴．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴，∴所求AM 的长为．
【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数
是奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ）∴，∵a ≠0，∴﹣x+b=﹣x ﹣b ，∴b=0（3分）
又函数f （x ）的图象经过点（1，3），
∴f （1）=3，∴
，∵b=0，∴a=2（6分）
（2）由（1）知
（7分）当x ＞0时，，当且仅当，即时取等号（10分）
当x ＜0时，，∴当且仅当，即时取等号（13分）
综上可知函数f （x ）的值域为
（12分）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．
24．【答案】（1）；（2）.
A B ⊆{}5,3,0=C 【解析】
考点：1、集合的表示；2、子集的性质.。