天津市高考数学一轮复习不等式及其线性规划的综合问题

不等式及其线性规划的综合问题
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
；则x y -的取值范围为_____
例2设不等式组⎩
⎨⎧≤≤≤≤20,
20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标
原点的距离大于2的概率是 （ ） （A ）4π （B ）22π- （C ）6
π （D ）44π-
例3若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为
（ ）
A ．21
B ．1
C ．2
3
D ．2
例4已知变量,x y 满足约束条件2
41y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则3z x y =+的最大值为( )
()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1
演练方阵
A 档（巩固专练）
1．不在 3x + 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 （ ） A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（0，2）
D ．（2，0）
2．已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 （ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24
C ．m ＝－7或m ＝24
D ．－7≤m ≤ 24
3．若2,
2,2x y x y ≤⎧⎨≤+≥⎩
，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）
A ．[2 ，6]
B ． [2，5]
C ． [3，6]
D ． [3，5] 4．不等式(5)()0,
03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩
表示的平面区域是一个
（ ）
A ．三角形
B ．直角三角形
C ．梯形
D ．矩形
5．在△ABC 中，三顶点坐标为A （2 ，4），B （－1，2），C （1 ，0 ）， 点P （x ，y ）在△
ABC 内部及边界运动，则 z= x – y 的最大值和最小值分别是
（ ）
A ．3，1
B ．－1，－3
C ．1，－3
D ．3，－1
6．在直角坐标系中，满足不等式 x ２
－y 2
≥0 的点（x ，y ）的集合（用阴影部分来表示）的是（ ）
x
A B C D
7．不等式3
<
+y
x表示的平面区域内的整点个数为（）
A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个
8．不等式3
|
2|<
+
+m
y
x表示的平面区域包含点(0,0)和点(1,1),
-则m的取值范围是（）
A．23
m
-<<B．06
m
<<C．36
m
-<<D．03
m
<<
9．已知平面区域如右图所示，)0
(>
+
=m
y
mx
z在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为）
A．
20
7
B．
20
7
-
C．
2
1
D．不存在
10．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是）A．
2,
3260,
y
x y
x
≥-
⎧
⎪
-+>
⎨
⎪<
⎩
B．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≤
⎩
C．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+>
⎨
⎪≤
⎩
D．
2,
3260,
y
x y
x
>-
⎧
⎪
-+<
⎨
⎪<
⎩
B档（提升精练）
1．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的
面积等于2，则a 的值为 ( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知D 是由不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ≥0，
x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2
＝4在区域D 内的弧
长为 ( )
A.
π4 B.π2 C.3π4 D.3π
2
3．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
则目标函数z ＝2x ＋3y 的 最小值为
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23
4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小
值，则a 的取值范围是 ( )
A ．(－1,2)
B ．(－4,2)
C ．(－4,0]
D ．(－2,4)
5．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )
A ．2 000元
B ．2 200元
C ．2 400元
D ．2 800元 6．设x 、y 均为正实数，且
32＋x ＋3
2＋y
＝1，则xy 的最小值为 ( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16
7．设a >0，b >0.若3是3a 与3b
的等比中项，则1a ＋1b
的最小值为 ( )
A ．8
B ．4
C ．1 D.1
4
8．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a
y
)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为
( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2 9．设a 、b 是正实数， 以下不等式
①ab >
2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2
；④ab ＋2ab
>2恒成立的 序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
10．若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab
|a |＋|b |
的最大值为 ( )
A. 2 B ．1 C.
24 D.22
C 档（跨越导练）
1．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b
y
时取等
号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，1
2
))取得最小值时x 的值为 ( )
A ．1 B.15 C ．2 D.1
3
2．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．
3．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1
＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1
b
取最小值时，函数f (x )的解析式是________．
4．已知关于x 的不等式2x ＋2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．
5．已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0.
(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值。

6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，
求证：(1a －1)(1b －1)(1
c
－1)≥8.
7．（设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则2+3x y 的最大值为
A ．20
B ．35
C ．45
D ．55
8．若,x y 满足约束条件1030330
x y x y x y -+≥⎧⎪⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。

9．设函数ln ,0
()21,0
x x f x x x >⎧=⎨
--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的
切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ．
10．设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的取值范围为
成长足迹
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高三不等式及线性规划的综合问题答案四、典题探究
例1 解析：x y -的取值范围为_____[3,0]-
约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2
A B C
则[3,0]t x y =-∈-
例２ 解析：题目中⎩
⎨⎧≤≤≤≤202
0y x 表示的区域如图正方形所示，而动点
D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此
4
422241
222
ππ-=
⨯⋅-⨯=P ， 【答案】D
例3答案B ：
解析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。

解答：可行域如下：
所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，
则m
m 23≥-，即1≤m 。

例4 解析选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22
A B C 则3[8,11]z x y =+∈
五、演练方阵
B 档（提升精练）
1． 答案：D
解析：不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
所围成的区域如图所示．
则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )
且a >－1，∵S △ABC ＝2，∴1
2
(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.
2．答案： B
解析：如图，l 1、l 2的斜率分别是k 1＝12，k 2＝－1
3
，不等式组表示的平面区域为阴影部分．
∵tan∠AOB ＝12＋1
3
1－12×13
＝1，
∴∠AOB ＝π4，∴弧长＝π4·2＝π
2
.
3．答案：B
解析：约束条件 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3
表示的平面区域如图
易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值．
∴z min
＝2×2＋3×1＝7. 4．答案：B
解析：解析：可行域为△ABC ，如图
当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a
2＞k AC ＝－1，a
＜2.
当a ＜0时，k ＝－a
2＜k AB ＝2，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.
5． 答案：B
解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约
束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，
0≤y ≤8，
求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值．
解得当⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝2时，z min ＝2 200.
6．答案：D 解析：由32＋x ＋3
2＋y
＝1可得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数，
∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0， 可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 7．答案B
解析：∵3是3a
与3b
的等比中项，∴(3)2
＝3a ·3b . 即3＝3
a ＋b
，∴a ＋b ＝1.
此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．
8．解析：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y
x
＋a ≥a ＋1＋2
a ·x y ·y
x
＝a ＋2 a ＋1， 当且仅当a ·x y ＝y x
等号成立， 所以(a )2
＋2a ＋1≥9，
即(a )2
＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4.
答案：C
9．解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab
a ＋b
.
当且仅当a ＝b 时取等号， ∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立； ③a 2
＋b 2
－4ab ＋3b 2
＝(a －2b )2
≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立； ④ab ＋2
ab
≥2
ab ·2
ab
＝2 2>2恒成立． 答案：D
10．解析：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2
＝2－b 2
⇒a 2
＋b 2
＝2. 根据基本不等式知2ab |a |＋|b |≤2|a |·|b |
|a |＋|b |≤
a 2＋
b 2
2＝1. 即2ab
|a |＋|b |
的最大值为1. 答案：B
C 档（跨越导练）
1． 答案：B ．
解析：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y 得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )
＝25. 当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15
时f (x )取得最小值25. 答案：B 2．答案：(－7,24)
解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，
说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，
所以(9－2＋a )(－12－12＋a )＜0， 解之得－7＜a ＜24. 答案：(－7,24)
3．解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32
＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12
a ＋
b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1
＋1.
答案：f (x )＝(22－2)x ＋1＋1
4．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a ＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32
.
5．解析：解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y ≤1，
x ＋2≥0
表示的平面区域，如图
所示．
由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，
x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)， ∴u max ＝3×2－1＝5.
∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.
6．解析：证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，
∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc
＝
(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13
时取等号．
7．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D.
8．答案：1-
解析：利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-。

]
9．答案：2
解析：当2>x 时，()x
x f 1'=，()11'=f ，∴曲线在点(1,0)处的切线为1-=x y
则根据题意可画出可行域D 如右图：
目标函数z x y 2
121-=， 当0=x ，1-=y 时，z 取得最大值2
10． 解析：2z x y =-的取值范围为 [3,3]-
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-。