数字电子技术基础 第1章

第1章 数制与编码
1.1 数制 1.2 编码
1.1 数 制
1.1.1 进位计数制 按进位的原则进行计数，称为进位计数制。每一种进 位计数制都有一组特定的数码，例如十进制数有 10 个数 码， 二进制数只有两个数码，而十六进制数有 16 个数码。 每种进位计数制中允许使用的数码总数称为基数或底数。 在任何一种进位计数制中，任何一个数都由整数和小 数两部分组成， 并且具有两种书写形式：位置记数法和 多项式表示法。
(10110.11) 2 1 24 1 22 1 21 1 2 1 1 2 2 ( 22.75)10
同理，若将任意进制数转换为十进制数，只需将数 (N)R 写成按权展开的多项式表示式，并按十进制规则进行 运算， 便可求得相应的十进制数(N)10。
2) 十进制数转换成二进制数 ① 整数转换 —— 除2 取余法。若将十进制整数 (N)10 转换 为二进制整数(N)2，则可以写成
n 1
例如：
( N )16
i m
a 16
i
i
(3 AB 11)16 3 162 10 161 11 160 1 161 1 162 (939.0664)10
1.1.2 进位计数制之间的转换
1. 二进制数与十进制数之间的转换 1) 二进制数转换成十进制数——按权展开法 二进制数转换成十进制数时，只要将二进制数按式(13)展开，然后将各项数值按十进制数相加，便可得到等值 的十进制数。 例如：
( N )10 an 1 2n 1 an 2 2n 2 a1 21 a0 20 （ 2 an 1 2n 1 an 2 2n 3 a2 21 a1） a0 2Q1 a0
如果将上式两边同除以2，所得的商为
例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数： 二进制 001 101 111 010 . 101 100 八进制 所以 1 5 7 2 . 5 4
(01101111010.1011)2=(1572.54) 8
二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进 制数的转换相似，从小数点开始分别向左、向右将二进制 数按每四位一组分组 ( 不足四位补 0) ，然后写出每一组等 值的十六进制数。
435.86 4 102 4 101 5 100 8 101 6 102
上式左边称为位置记数法或并列表示法，右边称为多项式表 示法或按权展开法。 一般，对于任何一个十进制数N， 都可以用位置记数法 和多项式表示法写为
( N )10 an 1an 2 a1a0 a1a 2 am an 1 10n 1 an 2 10n 2 a1 101 a0 100 a1 101 a2 102 am 10m
10 A16
16! 2.9 1010 (16 10)!
表 1-2 几种常用的BCD码
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 5421码 0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100 2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 BCD Gray码 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1000
i m
2. 二进制数 二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数R=2， 每位数码的取值只能是0或1，每位的权是2的幂。表1-1列出 了二进制位数、权和十进制数的对应关系。 表1-1 2的幂与十进制值
任何一个二进制数，根据式(1-2)可表示为
( N ) 2 an 1an 2 a1a0 a1a 2 am an 1 2n 1 an 2 2n 2 a1 21 a0 20 a1 2 1 a 2 2 2 a m 2 m
1. 十进制数(Decimal) ① 采用 10 个不同的数码0、 1、 2、 …、 9和一个小数点(.)。 ② 进位规则是“逢十进一”。 若干个数码并列在一起可以表示一个十进制数。例如在 435.86 这个数中，小数点左边第一位的5代表个位，它的数值 为5； 小数点左边第二位的 3 代表十位，它的数值为3×101； 左边第三位的 4 代表百位，它的数值为4×102；小数点右边第 一位的值为 8×10-1 ；小数点右边第二位的值为 6×10-2 。可 见，数码处于不同的位置，代表的数值是不同的。这里102、 101、100、 10-1、10-2 称为权或位权，即十进制数中各位的权 是基数 10 的幂，各位数码的值等于该数码与权的乘积。因此 有
Q1 ( an 1 2n 2 an 2 2n 3 a2 21 a1 )
余数就是a0。
同理，这个商又可以写成
Q1 2( an 1 2n 3 an 2 2n 4 a2 ) a1
显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是a1。重 复上述过程，直到商为 0 ，就可得二进制数的数码 a0 、 a1、…、an-1 。
令小数部分 ( a2 2 则上式可写成
1
a3 2 )10 a1 F1
因此，2(N)10乘积的整数部分就是a-1。若将2(N)10乘积的小 数部分F1再乘以2，则有
2 F1 a2 ( a3 2 1 a4 2 2 am 2 m 2 )
2. 二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换 八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24， 所 以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相 当一位十六进制数， 它们之间的相互转换是很方便的。 二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始， 分 别向左、向右，将二进制数按每三位一组分组(不足三位的 补0)，然后写出每一组等值的八进制数。 例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数：
目 录
第 1 章 数制与编码 第 2 章 逻辑代数基础 第 3 章 集成逻辑门 第 4 章 组合逻辑电路 第 5 章 触发器 第 6 章 时序电路的分析与设计 第 7 章 常用集成时序逻辑器件及应用 第 8 章 脉冲波形的产生与整形 第 9 章 存储器和可编程逻辑器件 第 10 章 数-模转换和模-数转换 第 11 章 数字系统设计实例
i a 2 i n 1
i m
例如：
(1011.011) 2 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 1 2 3 (11.375)10
可见，一个数若用二进制数表示要比相应的十进制数的 位数长得多，但采用二进制数却有以下优点： ① 因为它只有0、1 两个数码，在数字电路中利用一个 具有两个稳定状态且能相互转换的开关器件就可以表示一 位二进制数，因此采用二进制数的电路容易实现， 且工作 稳定可靠。 ② 算术运算规则简单。二进制数的算术运算和十进制 数的算术运算规则基本相同，惟一区别在于二进制数是“逢 二进一”及“借一当二”，而不是“逢十进一”及“借一当十”。
所得乘积的整数部分就是 a-2 。显然，重复上述过程，便可 求出二进制小数的各位数码。 例如，将(0.724)10转换成二进制小数。
可见，小数部分乘2取整的过程，不一定能使最后乘 积为0，因此转换值存在误差。通常在二进制小数的精度 已达到预定的要求时，运算便可结束。 将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数 时，必须将整数部分和小数部分分别按除 2 取余法和乘 2 取整法进行转换，然后再将两者的转换结果合并起来即 可。 同理，若将十进制数转换成任意R进制数(N)R，则整 数部分转换采用除R取余法；小数部分转换采用乘R取整 法。
例如：
3. 八进制数(Octal) 八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数R=8，采用 的数码是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的权是 8 的幂。 任何一个八进制数也可以根据式(1-2)表示为
( N )8
例如：
i m
a 8
i
n 1
i
(376.4)8 3 82 7 81 6 80 4 81 3 64 7 8 6 0.5 ( 254.5)10
4. 十六进制数(Hexadecimal) 十六进制数的特点是： ① 采用的 16 个数码为0、 1、 2、 …、 9、 A、 B、 C、 D、 E、 F。 符号A~F分别代表十进制数的10~15。 ② 进位规则是“逢十六进一”，基数R=16，每位的权 是16的幂。 任何一个十六进制数， 也可以根据式(1-2)表示为
an 1 R n 1 an 2 R n 2 a1 R1 a0 R 0 a1 R 1 a 2 R 2 a m R m
i a R i n 1
(1-2)
式中， n 代表整数位数， m 代表小数位数， ai 为第 i 位数码，它可以是 0 、 1、 …、(R-1)个不同数码中的任何一个，Ri为第i位数码的权值。
例如，将(57)10转换为二进制数：
② 小数转换——乘2取整法。若将十进制小数(N)10转换 为二进制小数(N)2，则可以写成
( N )10 a1 2 1 a2 2 2 am 2 m
将上式两边同时乘以2， 便得到
2( N )10 a1 ( a2 2 1 am 2 m 1 )
例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数： 00 11 01 10 10 11 . 10 10 3 6 B . A (1101101011.101)2=(36B.A)16