概率论与数理统计课件第6章

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概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1

概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1
6.1
�总体与样本
基本概念: 总体:研究的问题所涉及的对象的全体 个体:总体中的每个成员 样本:从总体中抽取部分个体 样本容量:样本所包含的个体数量 样本观测值:
数的属性 样本的二重性 随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为 n的 样本。若它满足 独立性,即X1,X2, …,Xn 相互独立; 同分布性,即每个 Xi都与总体X服从相 同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本,简称为 样本。
�统计量
设是总体X的样本,g(X1,X2, …,Xn)是样本 的实值函数,且不包含任何未知参数,则 称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
例2.若X1,X2, X3是来自总体X~N(μ, σ 2)的 其中参数μ未知, σ2已知,则
X 1 X 3 − 3µ , X12 + 4 X 22 + 5µ 都不是统计量
�定理
若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本,设X 的分布函数为 F(x),则样本X1,X2, …,Xn的 联合分布函数为
n
∏ F (x )
i i =1
例1.若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本,设 X的分布函数为 F(x),则样本 X1,X2, …,Xn的联合分布函数为
⎧ n − λ xi (1 − e ), xi > 0(i = 1, 2,⋯ , n) ⎪∏ F ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = ⎨ i =1 ⎪ 0 , 其他 ⎩
1/8, 25 ≤ x<27 2/8, 27 ≤ x<30 3/8, 30 ≤ x<33 Fn(x)= 5/8, 33 ≤ x<35 6/8, 35 ≤ x<45 7/8, 45 ≤ x<65 1, 65 ≤ x

概率论与数理统计第2版教学课件第6章

概率论与数理统计第2版教学课件第6章

极值的分布
定理2 设总体X的分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn为其样本,则
(1) X(n)的密度函数f(n)(u)=nf(u)[F(u)]n-1;
(6-11)
(2) X(1)的密度函数f(1)(v)=nf(v)[1-F(v)]n-1;
(6-12)
其中f(x)为总体X的密度函数。
证明略。
6.2
同的分布。
(2) 要有独立性。每次抽取是独立的,即每个观测结果既不影响其他观测结果,也不受其他观测
结果的影响。
满足上述两条要求的抽取个体的办法称为简单随机抽样法。换句话说,简单随机抽样法就是独立
地、重复地做随机试验。今后,凡是提到随机抽样,都是指简单随机抽样。
6.1
随机样本与统计量
6.1.1
总体、个体与样本
6.1.2
样本统计量
(4) 样本k阶原点矩
(5) 样本k阶中心矩

n−1 2
应当注意的是:M1= X ,υ2=
S。
n
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
定义3 (顺序统计量) 设x1,x2,…,xn为样本X1,X2,…,Xn的一个观察值,将x1,x2,…,xn由小到大重新
排列为
x(1)≤x(2)≤…≤x(k)≤…≤x(n),
由定义知,对于x的每个数值而言,经验分布函数Fn∗(x)为样本X1,X2,…,Xn的函数,它是一个统计
12
k
nn
n
量,即为一个随机变量,其可能取值为0, , ,…,1。事件“Fn∗(x)= ”发生的概率为
P Fn∗ (x) =
其中F(x)=P{X<x}是总体X的分布函数。
k

概率论与数理统计ppt课件

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04
理解基本概念和原理
做大量练习题,培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文,拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值,通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数,如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间,如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性,然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时,如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体,用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量,需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式,它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较,可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤:首先,对实验数据进行分组;其次,计算每组的均值;接 着,计算总的均值和总的变异性;然后,计算组间变异性和组内变异性;最后,通过比较这两 种变异,得出因素的显著性。

概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件大数定律和中心极限定理

概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件大数定律和中心极限定理
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上,n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明,当n充分大时,Yn近似服从N 0,1.
n
即: X(i 近似)~N (n, n 2 ), i=1
从而,P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案:N (, 2 )
关键词: 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言:数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道,由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性,因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察,各种结果的规律性一定能清楚 地呈现,但是实际上所允许的观察永远是有限 的,甚至是 少量的。 例如:若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品,如何确定次品率?由于灯泡寿命试验是 破坏性试验,不可能把整批灯泡逐一检测,只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验,以样本 的信 息来推断总体的信息,这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体:研究对象的全体。如一批灯泡。 个体:组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样:从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本:随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本:满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969

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m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如:
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A=S时, P(B|S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.

概率论与数理统计完整ppt课件

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化学
在化学领域,概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布,如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中,概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布, 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n),在概 率论中,分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合,样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ,如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数,如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间,表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设,然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验,X,Y是定义在E上,取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X,Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X,Y)是一个二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y),在概率论中,分别定义了X的边缘分布和Y的

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概率论数理统计课件第6讲

概率论数理统计课件第6讲

(2) X的分布函数为
F x
x

5 3 5 3 (3) P X F F 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
2.3.3 常见的连续型随机变量
均匀分布、指数分布、正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量X 的概率密度为:
(2).
f ( x) dx 1;

这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与x轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解:
若x是 f(x)的连续点,则 x x f (t )dt P( x X x x) x lim lim x 0 x 0 x x =f(x), 故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量,f (x)相当于物理学中的线密度。
这100个数据中,最小值是128,最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 (a, b); a = 最小数据-ε/ 2,b = 最大数据+ε/ 2,
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = 7, 组距 d = (b − a) / m=28/7=4,
1

p k 0, k 1,2,,
2。
p
k 1

k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量X的 各个取值所 对应的概率
常用的离散型随机变量的分布
1.两点分布( 0-1分布) 模型:一个人射击,射中的概率为p,不中的概 率为 q=1-p. 规定:

西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计

西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计
最大概率的思想就是最大似然法的基本思想 .
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值,则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述: 设某试验的可能结果为: A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中,某结果 Ai 出现,则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L

ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m ), k 1,2,,m;
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为

东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布

东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布

X

n



本的
观察

,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ,其中p 是未知参数,
X1,
,
X

5
来自X的简

随机样本.试指出
X1
X

2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量,为什么?
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下,进行n次重复、独立观察,其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本,其特点是:
1. 代表性:X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性:X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知,可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X

n


F的

个Hale Waihona Puke 本,用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.

概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件

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~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立,

2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α(0<α<1)
(1)称满足
P{ 2
2
(n)}
,即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
(2)称满足
注:在研究中,往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时,每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或,总体:研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征,按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息,这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
(1)称满足条件 P{X>Xα} =α,
α

( x)dx
X
的点Xα为N(0,1)分布的上100α百分位点.
X1-α
0
由于 P{X X } 1 记 -Xα= X1-α
(2)称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0,1)分布的双侧100α百分位点.
X
2

E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)

第六章《概率论与数理统计教程》课件

第六章《概率论与数理统计教程》课件

1

例5. 设X服从[0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求λ的最大似然估计. 1 解:由题意得: X ~ f ( x; )
1 L( x1 , x 2 ,..., x n ; ) n 0
0 x
0 其它 0 x1 , x 2 ,..., x n
dL n n1 0 d
其它
无解.
应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现 取 max( x1 , x 2 ,..., x n ) 此时,L取值最大, 所以,所求最大似然估计为 max( x1 , x 2 ,..., x n )
考虑L的取值,要使L取值最大,λ应最小, 0 x1 , x 2 ,..., x n


例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) ,其中 及 2 都是未知参数,如
果取得样本观测值为 x1 ,, x n , 求 及 2 的矩估计值。
解: 因为总体X的分布中有两个未知参数,所以应考虑一、二阶 原点矩,我们有 v1 ( X ) E ( X )
v 2 ( X ) E( X 2 ) D( X ) [ E( X )]2 2 2
e

e
1 2
2
2
( x )2 2 2
e
L( x1 , x 2 ,..., x n ; , )
2
i 1
1 2
2
( xi )2
(
2
1 2
2

1 2 2
) e
n

i 1
n
( xi )2

1 n 2 n 1 n 2 2 ) 2 ( x i ) ln 2 ln L n ln( ( xi ) 2 i 1 2 2 2 n 2 2 i 1 1 ln L 1 n Xi X 2 ( xi ) 0 n i 1 i 1 1 n 2 1 n n ln L n 1 ( xi )2 ( xi X )2 2 2 4 ( x i ) 0 n i 1 n i 1 2 2 2 i 1

概率论与数理统计课件(完整)

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人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理由 怀疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待来访者, 即认为其接待时间是有规定的。
1.3 频率与概率
某人向目标射击, 以A表示事件“命中目标”, P( A) =? 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次,则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0;
(2) P()=1;

(3) 可列可加性:设A1,A2,…, 是一列两两互不 相容的事件,即AiAj=,(ij), i , j=1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )= P(A1) +P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性:设A1,A2,…An , 是n个两两互 不相容的事件,即AiAj= ,(ij), i , j=1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)= P(A1) +P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性:若事件AB,则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件, 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球,2个红球,现从合中 任抽2个球,求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2

CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地,设盒中有N个球,其中有M个白 球,现从中任抽n个球,则这n个球中恰有

大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第6章

大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第6章

第6章数理统计的基本概念一. 统计的基本概念二. 统计量的分布三. 抽样分布,由大数定律:(3)则在 8.1,需确定估计区间()。

(2)构造2σ甲μ甲μ乙μμ−→−PX1.8=x统计工作最基本内容:1.估计电视机寿命的平均值µ,估计电视机寿命的方差2.比较两厂电视机寿命值有无差别,方差有无差别。

总体样本统计量参数点估计假设检验区间估计目的:(方差同理)方法:()··21是否一致与μμ()··2221是否一致与σσ()··0是否一致与μμ()··22是否一致与σσ().,...,21n x x x 统计工作的基本步骤1.收集资料:2.统计分析:对数据整理和分析3.统计推断:i )点估计:确定未知参数θ的估计量ii )区间估计:确定(左,右)区间(1)参数估计:(2)假设检验:i )推断两个总体均数是否一致ii )推断两个总体方差是否一致iii )推断一个总体均数有无变化iv )推断一个总体方差有无变化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-2221212σσμμσμθ一. 统计的基本概念()为样本一组观察值。

,21n x x x ⎩⎨⎧总体有限总体(观察值有限个)无限总体(观察值无穷多个)随机变量 X 总体⇔(n 为样本容量)研究对象观察值的全体(样本是从总体中抽取的部分个体)n X X X 21,个体:每个观察值。

独立同分布,则称()n X X X 21,为简单随机样本,简称为样本。

(),,21n X X XnX X X 21,(),...2,1,===i p x X P i i ()n n x X x X x X P ===,...,2211()∏===ni i x X P 1样本联合分布列:(1)代表性:保证总体中每个个体有同等机会被抽到。

(2)独立性:每次抽取独立进行,各个体值互不影响。

(1)离散型:总体X 的分布列()发生的概率x x x 样本点n 21,与总体同分布()n x x x F ,...,21()n x x x f ,...,21(2)连续型:总体X 的分布密度f (x )样本联合密度:(3)总体X 的分布函数F (x )样本联合分布函数为:()()()n x f x f x f 21=()()()n x F x F x F 21=()发生的可能性x x x 样本点n 21,n X X X ,,21n X X X ,,21()n X X X 21,设为总体X 的样本,()n X X X T T 21,=函数,且不含任何未知参数,称T 为统计量。

概率论与数理统计ppt课件

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注:P( A) 0不能 A ; P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证:令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....

5.1 大数定律 5.2 中心极限定理

第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A=B B A
B A
S
例: 记A={明天天晴},B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车},B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次,A={第一次是正面},B={至少有一次正面}
BA
13


事件的运算
A与B的和事件,记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象:结果确定 不确定性现象:结果不确定

例:
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖

概率论与数理统计教程_第五版_课件

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五、随机事件的关系及运算
(1)、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为Ω, 而 A, B, Ak (k = 1,2,L 是Ω 的子集 ) .
出现, 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 1、包含关系 则称事件 则称事件 B 包含事件 A,记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B. 记作
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B. 2.两事件的和与并
ω ω
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果,称 为基本事件,随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间,用Ω或S表示。则Ω中的 点就是基本事件,也称作样本点,常用w表 w 示。
四、随机事件的概念
随机事件 随机事件E的样本空间Ω的子(或 某些样本点的子集),称为E的随机事件, 简称事件。 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
概率论与数理统计教程
沈恒范 编
高等教育出版社
目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 事件与概率 离散型随机变量 连续型随机变量 大数定律与中心极限定理 数理统计的基本概念 点估计 假设检验 方差分析与回归分析
第一章
事件与概率
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
至少发生一个” “二事件 A, B至少发生一个”也是一 个事件, 称为事件 A与事件B的和事件.记作AU B,显然 AU B = {e | e ∈ A或e ∈ B}.
推广:

《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布

《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
o
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4,相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知,二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数,则:当 s < 0 时,F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时,F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时,曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1),于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数,求Z = g (X, Y )的概率密度.
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• 3. F分布 分布

X ~ χ 2 (m), Y ~ χ 2 (n),且X与Y 独立,记 与 独立,
X /m F= Y /n
服从自由度为m, 的 分布 分布, 则F服从自由度为 ,n的F分布,记为 F ~ F ( m, n), 服从自由度为 m、n分别称为第一、第二自由度。 、 分别称为第一 第二自由度。 分别称为第一、
20
6.4.1 常用抽样分布
• F分布具有如下性质: 1 (1)当 F ~ F (m, n) 时,则 F ~ F (n, m) 2 (2)当 T ~ t (n) 时,则 T ~ F (1, n)

21
6.4.1 常用抽样分布 X 1 , X 2 ,K , X 10 是来自总体 X ~ N (0, σ 2 ) 的样本, • 例6.4.1 设 的样本,
N (µ ,
) ,或 ~ N (0,1) (1) X ~ n σ/ n 2 n (n − 1) S 1 χ 2 (n − 1) (2) = 2 ∑ ( X i − X )2 ~ 2
σ
X −µ
σ
σ
i =1
(3) X 和 S 相互独立
2
23
6.4.2 抽样分布定理
X 为来自总体X的样 推论 设总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) , 1 , X 2 ,L, X n 为来自总体 的样 分别为样本均值和样本方差, 本,X , S 2分别为样本均值和样本方差,则 X −µ ~ t ( n − 1) ; (1) )
(4)样本 阶原点矩 )样本k阶原点矩 (5)样本 阶中心矩 )样本k阶中心矩
1 n k M k = ∑ X i ; k = 1,2, L n i =1
1 n M = ∑ ( X i − X ) k ; k = 1,2, L n i =1
* k
11
6.2.1 样本矩统计量 样本均值
(1) ∑ ( X i − X ) = 0;
试判断下列统计量分别服从何种分布? 试判断下列统计量分别服从何种分布? 10 1 1 1 2 2 (1) Y1 = 2 [ ( X 1 − X 2 ) + ( X 3 + X 4 ) + ∑ X i2 ] ) σ 2 2 i =5 (2) Y = 2 ( X 1 − X 2 ) )
2

10
X
i=3
2 i
定义 2 n 1 n Xi − µ 2 = 2 ∑ ( X i − µ ) 2 ~ χ 2 ( n) χ = ∑ σ σ i =1 i =1
16
6.4.1 常用抽样分布
• 卡方分布具有如下两个重要性质: 卡方分布具有如下两个重要性质: 2 2 χ ~ χ ( n ) ,则 E χ 2 = n , χ 2 = 2 n D (1)设 ) χ 12 ~ χ 2 (n1 ) ,χ 22 ~ χ 2 (n2 ) ,且 χ12 和 )(可加性 (2)(可加性)设 )(可加性) χ 22相互独立,则 相互独立,
则T 服从自由度为n的t分布,记为T ~ t ( n) 服从自由度为 的 分布, 分布
18
• t 分布有如下性质: • 当 n > 1 时, ET = 0 n • 当 n > 1时, DT = n − 2 • 其密度函数是偶函数,密度曲线关于y 轴对称。
6.4.1 常用抽样分布
19
6.4.1 常用抽样分布
9
(1)样本均值 ) (2)样本方差 ) (3)样本标准差 )
6.2.1 样本矩统计量 1 n X = ∑ Xi n i =1 1 n 2 S = (X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
1 n S = S2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
10
6.2.1 样本矩统计量
χ + χ ~ χ (n1 + n2 )
2 1 2 2 2
X 2 ~ χ 2 (1) 特别地, 特别地,当 X ~ N (0,1) 时,有
17
• 2.t 分布 . 2 相互独立, 设 X ~ N (0,1), Y ~ χ (n) ,且 X 与Y 相互独立,记
6.4.1 常用抽样分布
T=
X Y /n
5
• 为了获取对总体分布的知识,一般是对总体进行观察 为了获取对总体分布的知识, 和试验得到数据。对个体逐个进行试验显然不实际。 和试验得到数据。对个体逐个进行试验显然不实际。 通常是对总体进行抽样观察,如每次抽取n 抽样观察 通常是对总体进行抽样观察,如每次抽取 个个体进 行试验, 行试验,得到一组数值 x1 , x 2 , K , x n ,由于这组数值是 随着每次抽样结果而变化的,所以, 随着每次抽样结果而变化的,所以,每次抽样得到的 实际上是一个 一个n维随机变量 数值 x1 , x2 ,K , xn 实际上是一个 维随机变量 X 1 , X 2 ,K , X n 的一个观察值。 的一个观察值。
第6章 数理统计的基本概念
1
第6章 数理统计的基本概念 章 • 数理统计与概率论是联系紧密的两个学科分支,一般而 数理统计与概率论是联系紧密的两个学科分支, 言概率论是数理统计的数学基础。从本章开始, 言概率论是数理统计的数学基础。从本章开始,将转入 学习数理统计学。与概率论一样, 学习数理统计学。与概率论一样,数理统计学也是研究 随机现象统计规律性的重要学科分支, 随机现象统计规律性的重要学科分支,不同的是概率论 是一门严格意义上的数学学科, 是一门严格意义上的数学学科,而数理统计学属于统计 学中比较基础和比较核心的内容。 学中比较基础和比较核心的内容。
F(1) ( x) = P{X (1) ≤ x} = 1− P{X (1) > x} = 1 − P{min( X1,L, X n ) > x} = 1− P{X1 > x,L, X n > x} = 1− ∏ P{Xi > x}
i =1 n
= 1− [P{X > x}]n = 1− [1− F ( x)]n (6.2.11) dF(1) ( x) 连续型时最小顺序统计量的密度: 连续型时最小顺序统计量的密度: f(1) ( x) = = n[1 − F ( x)]n−1 f ( x) dx
S/ n
2σ 4 ES 2 = σ 2 , DS 2 = (2) ) n −1
i =1 i=1 n n
(6.2.12)
连续型时最大顺序统计量的密度: 连续型时最大顺序统计量的密度: f ( n ) ( x) =
dF( n ) ( x) dy
= n[ F ( x)]n −1 f ( x)
14
χ • 1. 分布 . 且都服从标准正态分布 设 X 1 , X 2 ,L, X n 为n个独立且都服从标准正态分布N (0,1) 个独立且都服从 n 的随机变量, 的随机变量,记 2 2
13
6.2.2 顺序统计量 • 最大顺序统计量的分布: 最大顺序统计量的分布:
F(n) (x) = P{X(n) ≤ x} = P{max{X1,L, Xn} ≤ x} = P{X1 ≤ x, X2 ≤ x,L, Xn ≤ x} = ∏P{Xi ≤ x} = ∏P{X ≤ x} = [F(x)]n
7
6.1 总体与样本 • 要使抽取的样本能对总体作出尽可能好的推断,需要对抽样方法 要使抽取的样本能对总体作出尽可能好的推断, 提出一些要求,这些要求需要满足以下两点: 提出一些要求,这些要求需要满足以下两点:
相互独立的随机变量 的随机变量; (1)独立性 要求样本 X 1 , X 2 ,K , X n 为相互独立的随机变量; ) 总体X具 (2)代表性 要求每个样本 分量 X i (i = 1,L , n) 与总体 具 ) 有相同分布。 有相同分布。
i =1
具有如下性质: X 和样本方差 S 2具有如下性质: n
2 (2)若总体 的均值、方差存在,且 EX = µ , DX = σ ,则 若总体X的均值 方差存在, 若总体 的均值、
EX = EX = µ
ES 2 = DX = σ 2
1 σ2 DX = DX = n n
12
6.2.2 顺序统计量 • 最小顺序统计量的分布: 最小顺序统计量的分布:
2
第6章 数理统计的基本概念 章 • 概率论是在已知随机变量分布的情况下,研究它的性质、 概率论是在已知随机变量分布的情况下,研究它的性质、 特征和规律性,计算随机事件的概率。但在实际问题中, 特征和规律性,计算随机事件的概率。但在实际问题中, 随机变量服从什么分布以及如何确定分布中的各个参数 显得更重要。 显得更重要。数理统计学正是研究怎样用有效的方法去 收集和处理带随机性影响的数据,形成统计结论, 收集和处理带随机性影响的数据,形成统计结论,为决 策提供依据。 策提供依据。
3
6.1 总体与样本
• 在统计学中,我们称研究对象的全体为总体,称 在统计学中,我们称研究对象的全体为总体, 组成总体的每个基本单元为个体。 组成总体的每个基本单元为个体。从总体中随机 抽取n个个体 称这n个个体为容量为 个个体, 个个体为容量为n的样本。 抽取 个个体,称这 个个体为容量为 的样本。
(3) )
3 ( X 1 − X 2 )2 + ( X 3 + X 4 )2 Y3 = 10 2 X i2 ∑
i= i =5
22
6.4.2 抽样分布定理 定理6.4.1 设总体 X ~ N ( µ , σ 2 ),X 1 , X 2 ,L, X n为来自 的样本, 为来自X的样本 的样本, 定理
分别为样本均值和样本方差, X,S2 2 分别为样本均值和样本方差,则
称满足以上要求抽取的样本为简单样本。 称满足以上要求抽取的样本为简单样本。本书今后提到的样本都是 指简单样本。 独立同分布的随机变量 的随机变量。 指简单样本。即样本 X 1 , X 2 ,K , X n 为独立同分布的随机变量。
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