北师大版初一(上)数学讲义第四章：基本平面图形.docx

最新北师大版初一(上)数学讲义第四章：基本平面图形.d o c x
第四章：基本平面图形
◆ 4.1线段、射线、直线
1．线段、射线、直线的概念
(1)线段
概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段．
线段的特征：①线段是直的；②线段有 2 个端点；③线段的长度是有限的，可度量．
线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的．
(2) 射线
概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形．如图，把线段AB向一个方向无限延伸，就是一条射线．
射线的特征：①射线是直的；②射线有一个端点；③因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短，不可测量．
射线可以反向延长；射线没有粗细之分．
(3) 直线
概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的．
直线的特征：① 直线是直的；②直线没有端点；③向两个方向无限延长，没有长短，不可测
量．因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延
长．
【例 1】下列说法正确的有()．
①画一条射线等于 5 cm；②线段 AB 为直线 AB 的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线
与其反向延长线形成一条直线．
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
2.线段、射线、直线的表示方法
(1) 线段的表示方法
①用两个表示端点的大写字母来表示．如图，以A， B 为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．
②用一个小写字母来表示．如线段AB 也可记作“线段 a”．
(2) 射线的表示方法
用两个大写字母表示．一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线
AB ”(端点必须在前面 )．
射线的识别：
判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么
这两条射线是同一条射线．
①端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB， MC ，MN 都表示同一条射线．
②端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB， AC 就不是同一条射线．
③端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN 的延伸方向一致，但端点不同，所以不是
同一条射线．
【例 2－ 1】射线 OA， OB 表示同一条射线，下面的图形正确的是()．
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(3) 直的表示方法
直有两种表示方法：①可以用表示条直上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直上任意
两个点的字母没有序性．如甲中的直可作“直 AB”或“直 BA”；②可用一个小写字母来表示，
如乙中的直可作“直 l ”．
甲
乙
辨区段、射、直的系
①表示段、射、直，都要在字母前面注明“ 段、射或直”；②用两个大写字母表示段
和直，两个字母没有序性，可以交位置，如“ 段 BA”和“ 段 AB”表示同一条段，“直AB”和“直 BA”表示同一条直；③表示射的两个大写字母有一定的序，表示端点的字母必写在前面．
【例 2－ 2】如所示，下列法()．
A ．都
B ．都正确C．只有一个正确 D ．有两个正确
3．直的性
(1)两点有且只有一条直．
①它包含两含：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条⋯⋯；
②它可地成“两点确定一条直”．
(2)直的其他性：① 一点的直有无数条；②不同的两条直最多有一个交点．
【例 3】工人傅要将一条板固定在机器上，至少要用__________ 个螺．
4．射、段的数方法
射和段可以看做直的一部分，因此在一条直上，取一些点，会出射和段．
(1) 点数与射的条数
射向一方无限延伸，因此射的条数是由端点的个数决定的．在直上，以一个点端点的射有
2 条，若直上有n 个点，共有2n 条射．
(2) 点数与段的条数
段有两个端点，直上每两个点之的部分就是一条段．因此，数段，只要判断些点共有
多少种合即可．
析律数段条数的方法
确定段的条数，可以先固定第一个点一个端点，再以其余的点另一个端点成段，然后固
定第二个点一个端点，与其余的点 (第一个点除外 )成段⋯⋯，依此推，直到找出最后的段止．
【例 4】画出段 AB：
(1)如 (1)，在段AB 上画出 1 个点，中共有几条段？
(2)如 (2)，在段AB 上画出 2 个点，中共有几条段？
(3)如 (3)，在段AB 上画出 3 个点，中共有几条段？
(4)如 (4)，在段AB 上画出 n 个点，猜一猜：中共有几条段？
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5．直性的用
生活中的很多要用到直的性，如木工傅在木料之前，先在木板上画出两个点，然后
两个点条墨，就是利用了直的“两点确定一条直”的性，沿着条能成直的，而不会歪斜．
【例 5】建房屋，建筑工人都要在的两端固定子，利用所学的知，明其中道理．
6.与直有关的律探究
(1) 两点确定一条直，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直．当任意三点均不在同一直上，点数与直条数的关系下表：
点的个数最多直条数
21
33
46
⋯⋯
n( n>1)n( n－ 1)
2
1
(2)平面上若有 n(n>1)条直两两相交，交点个数最多有2n(n－ 1)个．
【例 6】平面上有五个点，其中任意两点画一条直，最多能得到多少条直
画出另外三种不同情况的形．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆ 4.2 比较线段的长短
1．段的性
（1）两点之的距离：两点之段的度，叫做两点之的距离。

（2）段的性
两点之的所有中，段最短。

述：两点之，段最短。

◇延伸拓展
①距离是指两点之段的度，是一个非数，而不是段本身。

比如M , N两点之的距离不能成是段MN，而成段MN的度。

② 接两点的有无数条，段的度最短。

是指以两个点端点的任意，包括段，折和曲。

接AB 是指画段 AB 。

【例 1-1】已知段 AB 5cm，在段 AB 上截取 BC2cm， AC
【例 1-2】如是 A, B 两地之的公路，在公路工程改造，使A, B 两地行程最短，在中画出改造后的公路，并明你的理由。

A B
2. 段的画法精品文档
（ 1）尺作法
用直尺和作一条段等于已知段a 。

a
A B M
如，其作法是：①画射AM ；②在射 AM 上用截取段AB a ，段 AB 就是所求作的段。

上面作法中的“截取”是指以点 A 心，以a的度半径画弧，角射AM 于点 B ；尺作要保留作痕迹，最后要指出所求作的形；注意画段，不要向任何一方延伸。

（ 2）度量法
用刻度尺画一条段等于已知段 a 。

画法是：先用刻度尺量出已知段 a 的度，再画一条段，使其度等于段 a 的度。

◇延伸拓展段和差的画法
已知两条段 a,b(a b) 。

两条段和的画法是：①先画段AB a ；②在段 AB 的延上截取 BC b ，段 AC 就是段a, b的和，即 AC a b ，如 1.
两条段差的画法：①先画段AB a ；②再在段AB 上截取 AC b ，段 BC 就是段a,b的
差，即 BC a b ，如 2.
a
a
a b b
b
A B C A C B
图 1图 2
【例 2】已知段a, b(2 a b)，用直尺和作一条段，使条段等于2a b 。

a b
3. 段的中点
段的中点：把段分成相等的两条段的点叫做段的中点。

A M B
如， M 段 AB 的中点，AM BM 1
AB 或AB 2 AM 2BM。

2
◇延伸拓展
似的，有段的三等分点、四等分点等。

三等分点，把段分成相等的三条段叫做段的三等分点；
四等分点，把段分成相等的四条段叫做段的四等分点；
⋯⋯⋯
n 四等分点，把段分成相等的 n 四条段叫做段的 n 四等分点；
【例 3】若P是段CD的中点，（）
A. CP CD
B. CP DP
C. CD PD
D. CP PD
4. 段短的比
借助不同的方法比两条段的短。

【例 4-1】如，若 AB CD ， AC 与 BD 的大小关系是（）
A B C D
【例 4-2】已知三角形ABC ，比 AC BC 与 AB 的大小关系。

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C
A
B
5. 段的有关算
段的有关算是以后学几何知的前提。

【例5-1】如所示，已知AB : BC : CD 3: 2: 4 ，E, F分是AB, CD的中点，且EF 22cm ，求AB, BC, CD 的。

A E
B
C F D
【例 5-2】如，已知点C在段AB上，段AC6cm, BC 4cm ，点 M , N 分是 AC , BC 的中点。

（ 1）求段MN的度；
AB a ，其他条件不，你能猜出MN 的度表述你
（ 2）根据第（ 1）的算程和果，
的律。

A M C N B
6. 段性的用
段的性在生活和生中用非常广泛，可以根据“两点之，段最短”确定位置。

【例6-1】某地区有A, B, C , D 四个村庄如所示，了解决当地的缺水，政府准投修建一个蓄
水池，不考其他因素，你帮忙画出蓄水池O 的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。

A
D
B C
【例6-2】如所示，有一个正方体盒ABCD A ' B 'C ' D '，在点 C '有一只小虫，它要爬到 A 点吃食物，沿着怎的路，才能使行程最短你能出条路
B A
C
D
B'
A'
C'D'
7. 易辨析
【例 7-1】若AC 1
AB ，点C是段AB的中点，种法正确什么2
【例 7-2】已知段
的度。

AB8cm，点 C 在直AB 上，且 BC3cm ，点M段AC 的中点，求段MC
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆4.3 角
1．角的定
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(1) 静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图
甲．角的有关概念：
顶点：两条射线的公共端点．
边：组成角的两条射线．
(2) 动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点角的理解
(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大
小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．
【例 1】下列说法错误的有()．
①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A ．1 个
B ． 2 个C．3 个D． 4 个
2．角的表示方法及画法
角的表示方法有四种．
(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠ AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A， B 写在两旁．
(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图 (1) 中的∠ AOB 也可记为∠ O.
(3) 阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2) 中的∠ AOB 可记为∠ 1.
(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母 (α，β，γ等 )，就可以用这个小写希腊字
母来表示角，如图 (2)中的∠ BOC 可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠ ”．
②表示角所用的符号“∠ ”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图 (2)中以 O 为顶点的角有∠ 1，∠α，∠ AOC，就不能用∠ O 来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，、如
图 1.
(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等
于360 °.
(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．
平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射
线就是周角．角必须有顶点和两边．
【例 3】下列说法是否正确，为什么？
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①平角是一条直；② 表上的分 1 小形成一个周角．
4．度、分、秒的算
(1) 角的位及意
角的位是度、分、秒．
意：
①把一个平角180 等分，每一份就是一度的角，作1°；
②把一度的角60 等分，每一份就是一分的角，作1′；
③把一分的角60 等分，每一份就是一秒的角，作1″.
(2) 度、分、秒的率及算方法
度、分、秒的率是60.即 1°＝ 60′， 1′＝ 60″，1°＝ 60′＝ 3 600 ″.
6060
秒
度垐垎分垐垎
6060
(3) 度、分、秒有关的算
60 才向高位1，而借 1 表示低位的
度、分、秒的率是六十制，不同于十制．在运算中
60.
在行度、分、秒的加减法或乘除法的运算，要按行，即分按度、分、秒算，不减、不
除的要借位．从高位借的，位要化低位的位后才能行运算．
在相乘或相加，当低位大于或等于60 ，要向高位位．
【例 4－ 1】 (1) 用度、分、秒表示 48.13 ° __________ ；
(2) 用度表示 23° 9′ 36″．
【例 4－ 2】算：
(1)13° 29＋′78° 37；″(2)61 ° 39－22′° 5′；32″(3)23 ° 53′×3；
(4)107 4°3′÷ 5.
5.角的数方法
数角的个数与数段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始数法：先以某条始(固定一 )，按方向或逆方向找到与之构成的所有的角，
然后再以另一条射，重复上面的程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的个数．
②分数法：先数清基本的角，再数由两个基本角成的角，由三个基本角成的角⋯⋯ 【例 5】如，中共有
多少个角？用字母分表示出来．
6．角的用
角在生活和生中随可．本的有关角的用主要是表中的角．
面上共有 12 个大格，把周角平均分，即 360°÷12＝ 30°.表面上有 60 个小格， 360°÷60＝ 6°.因此，每小30°，分每分 6°.
与分的角的求法：
先确定与分之有几个大格，即有多少个30°.用 30°乘大格数．
特注意：
①从开始数，所形成的角有需要按数，如 3： 40；有需要按逆数，如 2：50. ②从开始，按形成的角，两
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【例 6】如是部分目的播出，分确定出表上与分所成的最小的角的度数．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆ 4.4 角的比较
1．角的大小比
(1) 度量法：先用量角器量出各角的度数，再按照角的度数比大小，从而确定两个角的大小关系．
(2) 叠合法：两个角比大小，把两个角的点和一条分重合，另一条放在重合的同，根据另一条的位
置确定角的大小．
如比∠ ABC 和∠ DEF 的大小，可把∠DEF 移到∠ ABC 上，使它的点 E 和∠ ABC 的点 B 重合，一 ED 和 BA 重合，另一EF 和 BC 落在 BA 的同一．
①如果 EF 和 BC 重合 (如 1) ，那么∠ DEF 等于∠ ABC，作∠ DEF ＝∠ ABC；
②如果 EF 落在∠ ABC 的外部 (如 2)，那么∠ DEF 大于∠ ABC，作∠ DEF ＞∠ ABC ；
③如果 EF 落在∠ ABC 的内部 (如 3)，那么∠ DEF 小于∠ ABC，作∠ DEF ＜∠ ABC .
【例 1】如，求解下列：
(1)比∠ COD 和∠ COE 的大小；
(2)借助三角尺，比∠EOD 和∠ COD 的大小；
(3)用量角器度量，比∠BOC 和∠ COD 的大小．
2．角的平分
(1) 定：从一个角的点引出的一条射，把个角分成两个相等的角，条射叫做个
角的平分．
①角平分是以角的点端点的特殊射，它在角的内部；②角平分把角分成两个相等的角．
(2) 角平分的表示：
①OC 是∠ AOB 的平分；②∠ AOC＝∠ COB ＝1
∠ AOB，∠ AOB＝ 2∠ AOC ＝2∠ COB . 2
(3) 作角平分的方法：①利用量角器量出角的度数，取角的度数的
一半并画出射；②折叠：把已知角的两重合后再折叠，可得已知
角的平分．
【例 2】如，已知∠ AOC ＝ 80°，∠ BOC＝50°， OD 平分∠ BOC ，求∠ AOD.
3．角平分线及角的和、差计算
(1) 角的和、差的意义
如图，①和：∠AOB＝∠ 1＋∠ 2；
②差：∠ 1＝∠ AOB －∠ 2，∠ 2＝∠ AOB－∠ 1.
(2) 角平分线及角的和、差计算
与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点．
解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或
把未知量转化为已知量．
求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，
(3) 三角板中角的和与差
一副三角板有两块，一块含30°角， 60°角， 90°角；一块含45°角， 45°角， 90°角．
借助于三角板，即可以画出上面的角．
利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15°，75°， 105°， 120°，135°， 150°， 165°.【例 3－ 1】已知∠ AOB＝ 30°，∠ BOC＝ 20°，则∠ AOC 的角度是 __________．
【例 3－ 2】如图， AOC 为一直线， OD 是∠ AOB 的平分线，∠BOE＝1
∠ EOC，∠ DOE ＝ 72°，求∠
EOC 2
的度数．
4．角的分类
(1) 角的分类：
根据角的度数，常常把大于0°而小于 180°的角分为锐角、直角、钝角三类．
(2) 各种角的规定：
锐角：大于0°且小于 90°的角．
直角：等于90°的角．
钝角：大于90°且小于 180°的角．
平角：等于180°的角．
周角：等于 3 60°的角．
(3)角之间的关系：
锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角．
1 平角＝
2 直角＝ 180 °；
1 周角＝
2 平角＝ 4 直角＝ 360 °.
若没有特别说明，我们平常所说的角是指小于平角的角．
(1)比中∠ AOB，∠ AOC，∠ AOD 的大小；
(2)找出中的直角、角和角．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
◆ 4.5 多边形和圆的初步认识
1．多形和多形的角
多形的定：由若干条不在同一直上的段首位次相成的封平面形叫做多形。

多形的重要特征：①多形是封形；②多形是平面形。

如，三角形、四形、五形、六形等都足多形的定，是多形。

三角形
四边形五边形六边形
多形的角：接多形不相两个点的段叫做多形的角。

如 AD, BD , CE 都是多形ABCDE 的角。

EAB , ABC , BCD , CDE , DEA 是多形的内角。

D
E
C
A B
n 形的基本性：
任意一个 n 形都具有如下特征：
①有 n 个点；②有n 条；③有 n 个内角；
④从任意一个点引角有(n 3) 条角，把n 形分成 (n 2) 个三角形。

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⑤ n 边形的对角线的总条数为n(n
3)。

思考为什么？2
【例 1-1】一个多边形从一个顶点能引12 条对角线，则这个多边形为边形；
【例 1-2】九边形的对角线的条数是。

2. 正多边形
正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的特征：①各边相等；② 各个角相等。

如图分别是：正三角形，正四边形（正方形），正五边形，正六边形，正八边形。

【例 2】下列说法正确的有个
①由四条线段首位顺次相接组成的图形是四边形；
②各边都相等的多边形是正多边形；
③各角都相等的多边形是正多边形；
3. 圆与扇形
如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。

固定的端点 O 称作圆心，线段OA 称作半径，过圆心O 且两端点在圆上的线段AC 乘坐直径。

A
B O
C
圆上任意两点A, B 之间的部分叫做圆弧，简称“弧” ，记作AB ，读作：“圆弧AB”或“弧AB”；由弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB 组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角。

◇延伸拓展：
①圆可以看作是圆心角为 360 的扇形；
②圆心角的取值为 0 ~ 360 。

AOB
【例 3-1】如左下图，将圆平均分成四份，则度；
D
O
A C
O
B
【例 3-2】如右上图所示，在一个圆中任意画 4 条半径，可以把这个圆分成几个扇形？
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4. 多形的角条数
从任意一个点引角有(n 3) 条角，把n 形分成 ( n 2) 个三角形；n 形的角的
条数 n(n 3) 。

2
【例 4-1】填空：
（ 1）十形有个点，个内角，从一个点可画条角，它共有条角；
（ 2）从多形一个点出画角将它分成了四个三角形，个多形是形。

【例 4-2】下列材料并填空。

平面上有 n( n 3) 个点，任意三个点不在同一直上，任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
（ 1）分析：当有 3 个点，可作几个三角形？当有 4 个点，可作几个三角形，当有 5 个点刻作几个三角形？
（ 2）：察点的个数n 和可作出的三角形的个数S n。

填写下表。

点的个数 / 个可作出的三角形个数/个
3
4
5
⋯⋯
n
5. 心角
利用心角性求度数。

【例 5-1】如左下，把一个分成五个扇形，求每个扇形的心角度数。

C
A
D18.75%
12.5%B
C
6.25%
A
O
25%O
37.5%D
E B
【例 5-2】如右上，在两个同心中，两半径分2,1, AOB 120 ，求阴影部分的面。

【例 5-3】下列法正确的是
①扇形是的一部分；② 的一部分是扇形；③扇形的周等于它的弧；④ 心角不能等于180°。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
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︿﹀
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