高二数学证明不等式的基本方法2
2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(二
1.2 基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a 、b 、c ∈R ＋时，a ＋b ＋c3≥3abc a ＝b ＝c 时，等号成立，称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a 、b 、c 的几何平均值. 2.如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立.基础自测1.设a 、b 、c ∈R ，下列各不等式中成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2|ab | B.a ＋b ≥2ab C.a 3＋b 3＋c 3≥3abcD.a ＋b ＋c3≥3abc解析 由a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2－2|ab |＋|b |2＝(|a |－|b |)2≥0，故选A. 答案 A2.函数y ＝x 2·(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值为( )A.4675 B. 2657 C.4645D.2675解析 由y ＝x 2·(1－5x )＝425·52x ·52x (1－5x ) ≤425⎝⎛⎭⎪⎪⎫52x ＋52x ＋1－5x 33＝4675.答案 A3.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析 利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63知识点1 利用平均值不等式证明不等式 【例1】 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 证明 a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝2， [(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）·313（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）＝9⇒1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. ●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92(a ，b ，c ∈R ＋).证明 ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a ) ≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ），1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.知识点2 利用平均值不等式求最值【例2】 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围. 解 方法一：∵a 、b ∈R ＋，且ab ＝a ＋b ＋3≥333ab ， ∴a 3b 3≥81ab .又ab >0，∴a 2b 2≥81. ∴ab ≥9(当且仅当a ＝b 时，取等号). ∴ab 的取值范围是[9，＋∞). 方法二：∵ab －3＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab －2ab －3≥0且ab >0，∴ab ≥3，即ab ≥9(当且仅当a ＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞).●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求y ＝sin x cos 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最大值.解 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin x >0，y >0.y 2＝sin 2x cos 4x ＝2sin 2x cos 2x cos 2x2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x 33＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝854＝427.故y ≤427＝239，此时，2sin 2x ＝cos 2x ，tan 2x ＝12， y 有最大值239. 知识点3 平均值不等式的实际应用【例3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n ＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1.给出如下数据： ①27，②25，③13，④12，⑤23， 则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( ) A.①② B.①③ C.②③④D.②⑤解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x (x >0)，则a 4＝a 1(1＋x )3＝a 1(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋P 1＋1＋P 2＋1＋P 333＝⎝ ⎛⎭⎪⎫433. ∴1＋x ≤43，即x ≤13，对比所给数据，只有①③满足条件，故选B. 答案 B3.设长方体的体积为1 000 cm 3，则它的表面积的最小值为__________ cm 2. 解析 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则abc ＝1 000，且a >0，b >0，c >0.∴它的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ca )≥2×33（abc ）2＝600. 当且仅当a ＝b ＝c ＝10 (cm)时取“＝”号. 所以它的表面积S 的最小值为600 cm 2. 答案 600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2<ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析f (x )＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1（x －2），又∵x ≥52，x －2≥12，则f (x )≥12·2（x －2）1（x －2）＝1.答案 D3.函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的最大值是________.解析 由y ＝x 2·(1－3x ) ＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝3243.答案32434.用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 解析 设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x ) cm ， 面积S ＝x (8－x ).由于x >0，8－x >0，可得S ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x 即x ＝4时，S max ＝16. 所以矩形的最大面积是16 cm 2. 答案 16基础达标1.若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( )A.9B.3336C.13D.不存在解析 ∵x >0，∴4x ＋9x 2＝2x ·2x ·9x2≥332x ·2x ·9x2＝3336.答案 B2.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝⎛⎭⎪⎫1b －1⎝⎛⎭⎪⎫1c－1，则x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C.[1，8)D.[8，＋∞)解析 ∵x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝1－a a ·1－b b ·1－cc＝（b ＋c ）（c ＋a ）（a ＋b ）abc ≥2bc ·2ca ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案 D3.已知x ，y 都为正数，且1x ＋4y＝1，则xy 有( )A.最小值16B.最大值16C.最小值116D.最大值116解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋4y＝1，∴1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，∴xy ≥4，∴xy ≥16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝4y ，1x ＋4y ＝1，x ，y ∈（0，＋∞），即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，时取等号，此时(xy )min ＝16. 答案 A4.已知a ，b ，∈R *，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝1＋1＋1＋ac b 2＋a 2bc ＋b 2ac ＋ab c 2＋bc a 2＋c 2ab ≥3＋2ac b 2·b 2ac＋2a 2bc ·bc a 2＋2abc 2＋c 2ab＝9. 答案 95.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元). 解析 利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x (x >0).因为x ＋4x≥2x ·4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元). 答案 1606.已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( ) A.V ≥π B.V ≤π C.V ≥18πD.V ≤18π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3，于是有V ＝πr 2h ≤π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝π，当且仅当r ＝h 时取等号. 答案 B8.如果圆柱的轴截面周长l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析 l ＝4r ＋2h ，即2r ＋h ＝l2，V ＝πr 2h ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.答案 A9.定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立. 答案210.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值. (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v ＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.答案 (1)1 900 (2)10011.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 设AN 的长为x 米(x >2)，矩形AMPN 的面积为y . ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝3x x －2， ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2x －2(x >2)(1)由S 矩形AMPN >32得3x2x －2>32，∵x >2，∴3x 2－32x ＋64>0，即(3x －8)(x －8)>0，∴2<x <83或x >8，即AN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞). (2)令y ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋12（x －2）＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥23（x －2）·12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2， 即x ＝4时，y ＝3x2x －2取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值24平方米.(3)令g (x )＝3x ＋12x(x ≥4)，设x 1>x 2≥4，则g (x 1)－g (x 2)＝3(x 1－x 2)＋12（x 2－x 1）x 1x 2＝3（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2，∵x 1>x 2≥4，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>16，∴g (x 1)－g (x 2)>0，∴g (x )在[4，＋∞)上递增. ∴y ＝3(x －2)＋12x －2＋12在[6，＋∞)上递增. ∴当x ＝6时，y 取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值27平方米.12.甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例常数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？ 解 (1)因为汽车每小时的运输成本为bv 2＋a (元)， 全程时间为sv (小时)，故y ＝s v(bv 2＋a )，即y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由于a v＋bv ≥2ab ，当且仅当v ＝ ab时取等号，故 ①若 ab ≤c ，则当v ＝ ab时，y 取最小值. ②若a b >c ，则先证y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数，事实上，当v 1、v 2∈(0，c ]，且v 1<v 2，则y 1－y 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1＋bv 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 2＋bv 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1－a v 2＋（bv 1－bv 2）＝s (v 1－v 2)⎝⎛⎭⎪⎫b －a v 1v 2 ＝sb (v 1－v 2)·v 1v 2－abv 1v 2，∵v 1、v 2∈(0，c ]，v 1<v 2， ∴v 1－v 2<0，v 1v 2>0，v 1<ab ，v 2< a b. 进而v 1v 2<a b，从而y 1－y 2>0.故y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数，由此知当v ＝c 时，y 取得最小值. 综上可知，若ab ≤c ，则当v ＝ ab时，y 取得最小值；a b >c，则当v＝c时，y取得最小值.若。
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修4-5
ab
ab 2 abba.
【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出 结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常 用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. (2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比 较法.
第二节 证明不等式的基本方法、数学 归纳法证明不等式
1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
理论依 据
适用类 型
作差比较法 a>b⇔_a_-_b_>_0_ a<b⇔_a_-_b_<_0_ a=b⇔_a_-_b_=_0_
作商比较法 b>0, a >1⇒a>b
b
b<0, a >1⇒a<b
(5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.( )
【解析】(1)错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y.
(2)正确.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0, 1 1 .
a 1 b 1
(3)错误.
b1b a1 a
a∵aba>b1a>, 0,∴a-b<0,
a(a+1)>0,b1b,st.
a1 a
(4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好
【互动探究】在本例(2)的条件下，证明
ab
ab 2
abba.
【证明】
abba
ab
ab 2
ba ab
a 2 b 2
(b)a2b， a
当a=b时，( b
)
a
2
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课
2.1 比较法课堂导学三点剖析一,作差法证明不等式【例1】 (1)已知正数a,b,c成等比数列，求证:a2-b2+c2≥(a-b+c)2;(2)设a,b∈R,求证:a2+b2≥2(a-b-1).思路分析:证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题.(1)证明:∵ac=b2,b>0,∴b=ac.∴a2-b2+c2-(a-b+c)2=a2-b2+c2-a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-2b2-2ac+2bc=2ab-4b2+2bca )2=2b(a-2b+c)=2b(c≥0.∴a2-b2+c2≥(a-b+c)2.(2)证明:∵a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1).温馨提示作差法证明不等式的步骤:作差—变形—判定符号—结论.这里变形的目的是能判断出差式的符号.为此有分解因式和配方两种变形方式,但是,不是每个问题都可用此两种变形方式.能分解因式确定符号的,配方就不能;不能分解因式的,往往能配方确定符号.各个击破类题演练1已知a,b是正数且a≠b，试探讨能否确定a3+b3与a2b+ab2的大小？解析:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)-(ab2-b3)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2,∵a,b是正数，∴a+b>0.又∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴(a+b)(a-b)2>0.∴a3+b3>a2b+ab2.变式提升1a,b,c满足怎样的条件能使a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2?解析:a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=ab(a-b)-c(a2-b2)+c2(a-b)=ab(a-b)-(ac+bc)(a-b)+c2(a-b)=(a-b)(ab-ac-bc+c2)=(a-b)［a(b-c)-c(b-c)］=(a-b)(b-c)(a-c)<0,∴要使a 2b+b 2c+c 2a<ab 2+bc 2+ca 2,则a<b<c 或b<c<a 或c<a<b.温馨提示作差法证明是最基本的证明方法，变式越彻底，越有利于符号的判断.最后最好出现常数、平方、几个因式之积,再逐一论证各因式的符号,从而得出差式整体的符号.二、作商法证明不等式【例2】 已知a>b>c>0,求证:a 2a b 2b c 2c >a b+c b c+a c a+b .思路分析:证明这种含有幂指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小较为容易.证明:∵a>b>c>0,∴a b+c b c+a c a+b >0. 作商b a a c c b c b a cb ac b a +++222=a 2a-b-c b 2b-c-a c 2c-a-b =a a-b a a-c b b-c b b-a c c-a c c-b =(c b c a b a c b c a b a ---)()()(.(*) ∵a>b>c>0,∴a -b>0,a-c>0,b-c>0,且1,1,1>>>c b c a b a . ∴(*)式大于1.从而a 2a b 2b c 2c >a b+c b c+a c a+b .温馨提示一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，若两式均为负时，可用同样的方法比较其绝对值的大小,即BA >1且B<0⇒A<B. 类题演练2已知a,b∈R +,求证:a a b b ≥a b b a .证明:a b ba b a b a =a a-b ·b b-a =(ba )a-b . ①当a>b>0时,b a >1,a-b>0, ∴(ba )a-b >1; ②当0<a<b 时,0<b a <1,a-b<0, ∴(ba )a-b >1; ③当a=b 时,b a =1,a-b=0,(ba )a-b =1. 总之,a a b b ≥a b b a.变式提升2 若a>b>0,求证: ba b a b a b a +->+-2222. 证明:(作商法) ∵ba b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a +->+-∴>++=++=-+⨯+-=+-+-22222222222222222,121)(三、不等式在实际问题中的应用【例3】 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走.如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点?思路分析:设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2.要回答题中的问题，只要比较t 1、t 2的大小就可以了，谁用时较少谁就先到达指定地点.解:设从出发地点至指定地点的路程是s ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2,依题意得n t m t 2211+=s,ns m s 22+=t 2, ∴t 1=nm s +2,t 2=mn n m s 2)(+, t 1-t 2=mm n m s n m s 2)(2+-+ =mnn m n m s mn n m n m mn s )(2)()(2])(4[22+--=++- ∵s、m 、n 都是正数，且m≠n,∴(m -n)2>0,(m+n)mn>0,即t 1-t 2<0.∴t 1<t 2.从而知甲比乙先到达指定地点.温馨提示实际应用题的特点往往是没有具体数据,给出的一点点数据也是字母.这就需要在求解问题时,设出必要的量,然后用代数式把实际问题表达成纯数学问题.这一过程叫数学建模.数学建模是解答实际应用题的关键.解实际应用问题的困难在于能否顺利地建模.建模的第一步设量是建模的关键.类题演练3有甲、乙两个粮食经销商，各自在同一处购了两次粮食(每次粮价不同).甲每次购粮m kg ，乙每次购m 元粮食.试问甲、乙两个粮食经销商的购粮平均价格哪一个更低？解析:设两次粮价分别为每千克a 元和b 元，甲两次购粮共花去(ma+mb)元，购得2m kg 的粮食，其平均粮价为22b a m mb ma +=+.乙两次购粮共花去2m 元，得到的粮食为(bm a m +)千克，故平均每千克粮价为ba b m a m m 1122+=+. ∵b a b a 1122+>+, ∴乙的平均价格更低一些.变式提升3本节情景导入问题.解析:设信鸽在无风中飞行的速度是V,风速是v(v<V),那么信鸽顶风的速度是V-v,顺风的速度是V+v.设两村间距离为s,那么信鸽在无风时飞行两村来回的时间为V s 2,有风时,飞行两村来回的时间为v V s ++222vV sV v V s -=-. ∴2222222122Vv V v V v V sV V s -=-=-÷<1. 又222222,02v V sV V s vV sV -<∴>- 答:信鸽在甲,乙两村之间飞行一个来回,无风时用的时间比有风时(顶风和顺风)用的时间少.温馨提示先设出必要的量,表达出要比较的两个时间,是数学建模的关键.要学会建模,需要先熟练地列出各种代数式.。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法 用
用比较法证明不等式一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a二、典型例题：例1 设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+。
例2 若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3 已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a ba .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。
甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。
数学归纳法证明不等式的两个技巧
数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。
它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。
技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。
基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。
技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。
然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。
根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。
根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。
综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。
这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
高二数学证明不等式的基本方法
例3 已知a,b,c,d R ,求证
1
a
a b
d
b
b c
a
c
c d
b
d
d a
c
2
证明 : a,b,c,d 0,
a
a a
abcd abd ab
2
2
由于x, y, z不全为零，故上述三式中至少有一 式取不到等号，
所以三式相加得
x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2
(x y) ( y z) (z x) 3(x y z)
2
2
22
放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小 ,寻找一个
中间量 ,如将 A放大成 C ,即A C ,后证 C B.常用的
b a b a 0, 又 a,b, m都是正数 ,
m(b a) 0,b(b m) 0
m(b a) b(b m)
0
即
a b
m m
a b0a bFra bibliotekm m
a b
仙翅枕头链状的项链，随着女省长洛兀德琦珀魔女的转动，仙翅枕头链状的项链像船头一样在双手上出色地开发出片片光环……紧接着女省长洛兀德琦珀魔女又使自 己暗青色破钟样的身材绕动出火橙色的砂锅味，只见她威猛的肩膀中，变态地跳出四十道板斧状的仙翅枕头碗，随着女省长洛兀德琦珀魔女的摇动，板斧状的仙翅枕 头碗像龟妖一样，朝着万貂紫金堆上面悬浮着的旋转物飞勾过去……紧跟着女省长洛兀德琦珀魔女也窜耍着功夫像石塔般的怪影一样朝万貂紫金堆上面悬浮着的旋转 物飞勾过去。……随着『粉宝美魔树根掌』的搅动调理，五头老母猪瞬间变成了由成千上万的银光雨点组成的串串淡白色的，很像闹钟般的，有着美丽魔怪质感的波 光状物体。随着波光状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一串深蓝色的小溪状物体……接着女省长洛兀德琦珀魔女又使自己暗青色破钟样的身材绕动出火橙色的砂 锅味，只见她威猛的肩膀中，变态地跳出四十道板斧状的仙翅枕头碗，随着女省 长洛兀德琦珀魔 女的摇动，板斧状的仙翅枕头碗像龟妖一样游动起来。一道深红色的 闪光，地面变成了天蓝色、景物变成了鲜红色、天空变成了水青色、四周发出了加速的巨响……只听一声飘飘悠悠的声音划过，四只很像蚊祖沙袋般的波光状的串串 闪光物体中，突然同时射出五串密如发丝的淡青色蝌蚪，这些密如发丝的淡青色蝌蚪被雷一闪，立刻变成皎洁辉映的泡泡，不一会儿这些泡泡就摇晃着奔向硕然奇花 的上空，很快在五大地毯之上变成了清晰可见的垃圾废弃的自由体操……这时，波光状的物体，也快速变成了排骨模样的深绿色发光体开始缓缓下降，只见女省长洛 兀德琦珀魔女怪力一甩破旧的深白色熏鹅似的皮肤，缓缓下降的深绿色发光体又被重新晃向青天！就见那个隐约约、滑溜溜的，很像蝌蚪模样的发光体一边蜕变转化 ，一边怪舞升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知 爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯 嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，女省长洛兀悠 了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……接着猥琐的神态顷刻射出海明色的毒歌凄惨味……亮白色海蜇般的泳池云舞肚脐眼穿出椰跳兔笑 声和嗡嗡声……深白色熏鹅似的皮肤变幻莫测跳
高二数学证明不等式的基本方法
例1 已知a,b都是实数, 且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明 : (a3 b3 ) (a2b ab2 ) (a3 a2b) (ab2 b3 )
a2(a b) b2(a b) (a2 b2 )(a b)
(a b)(a b)2
2
2
由于x, y, z不全为零，故上述三式中至少有一 式取不到等号，
所以三式相加得
x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2
(x y) ( y z) (z x) 3(x y z)
2
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放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小 ,寻找一个
中间量 ,如将 A放大成 C ,即A C ,后证 C B.常用的
x 2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x 2 3 ( x y z) 2
证明： x2 xy y2 ( x y )2 3 y2 ( x y )2
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2
x y x y
2
2
同理可得 y 2 yz z 2 y z , z 2 zx x 2 z x
(2)作商比较法
例3 已知a,b是正数,求证aabb abba ,
当且仅当a b时,等号成立.
证明
:
a a
abb bba
aabbba
a ab b
根据要证的不等式的特 点(交换 a, b的位置 , 不等式不变 )
不妨设 a b 0,则 a 1, a b 0, a a b 1
b
b
增加到
a b
m m
, 将这个事实抽象为数学
问题,并给出证明 .
解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
已知 a, b, m都是正数
第2节证明不等式的基本方法
第2节证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法总结如下：一、利用数学分析中的中值定理、极值、单调性等性质进行证明。
1.利用中值定理：利用连续函数介值定理或拉格朗日中值定理，根据函数的一些性质，可以推出不等式的成立。
例如，证明一个凸函数在区间上的函数值不小于端点的函数值。
2.利用极值：通过求导或其他方法，找到函数的极值点，然后证明这些极值点就是不等式的最小（最大）值点。
例如，证明两数之积不大于它们的平方和，可以通过求导得到函数的极值点，然后通过证明这个极值点为最小值点来完成。
3.利用单调性：如果已知函数在一些区间上是严格递增（递减）的，可以通过证明不等式在一些特殊点成立，并通过函数的单调性推出在整个区间上成立。
例如，证明一个正数的倒数小于它自己，则可以先证明在0到1之间成立，然后利用单调性推出在整个正数范围内成立。
二、利用数学归纳法进行证明。
如果不等式中的变量是正整数，可以利用数学归纳法进行证明。
首先证明当n=1时不等式成立，然后假设当n=k时不等式成立，再证明当n=k+1时不等式也成立。
例如，证明n个正数的平均值不小于它们的几何平均值，可以先证明当n=1时成立，然后假设当n=k时成立，再证明当n=k+1时也成立，最后利用数学归纳法推出结论。
三、利用代数方法。
1.利用等价变形：对于一个复杂的不等式，可以通过进行等价变形来简化证明。
通过将不等式的两边同时加上或减去一些式子，或者将不等式两边同时乘以或除以一些式子，可以得到一个等价的不等式，然后证明这个等价的不等式。
例如，证明正数的n次方大于等于它的平方，可以将不等式两边同时开方，然后证明这个等价的不等式。
2. 利用加减法、乘除法不等式：对于一个分式或多项式不等式，可以通过利用加减法、乘除法的不等式性质，将不等式化简为更简单的形式，再进行证明。
例如，证明a+b≤2ab，则可以将两边同时减去a+b再加上2，利用不等式的性质简化后得到ab≥1，再证明这个等价的不等式。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课件 a选修45a高二选修45数学课件
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温馨提示 使用作商比较法证明不等式 a＞b 时，一 定要注意 b＞0 这个前提条件．
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第六页，共三十三页。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
第二讲 证明(zhèngmíng)不等式的，共三十三页。
2．1 比较法
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第二页，共三十三页。
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
第十七页，共三十三页。
[变式训练] 已知 a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ ab2＋bc2＋ca2.
证明：a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋
(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝
(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．
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解析：对于(1)，当 b＞0 时，a＞b，两边同除以 b， 所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当 b＞0 时，a＜b，两 边同除以 b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当 a＞0， b＞0 时，ab＞1，两边同乘以 b，所以 a＞b，所以(3)正确；
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2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字 母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与
2.3.2 放缩法课堂导学三点剖析一,利用增,减项进行放缩【例1】 证明下列不等式: (1)21·43·65·…·10099<101; (2)1<d c a dd c b c c b a b d b a a +++++++++++<2.证明： (1)21<32,43<54,……,10099<101100,令A=21.43.....10099,B=32.54.. (101100),∴A<B,A 2<A·B=1011<1001. ∴21·43·65·…·10099<101. (2)d c a dd c b c c b a b d b a a +++++++++++ <)()(d c dd c cb a bb a a+++++++=2, 又d c a dd c b c c b a b d b a c +++++++++++d c b a dd c b a c d c b a b d c b a c +++++++++++++++>=1,∴原不等式成立.各个击破类题演练1设n 为正整数,求证:21≤n n n 212111+++++Λ<1.证明:∵n∈N *,∴n n n n n n n n n 12121,,12121,11121<≤<+≤<+≤Λ,以上各式相加得n nn n n n n<+++++≤2121112Λ故原不等式成立.变式提升1求证:4712111222<++n Λ. 证明:∵k k k 11112--<,∴ΛΛ+-+-++<++++)4131()3121(21111312111222222n 47147121411)111(<-=-++=--+n n n n 即原不等式成立.二、利用均值不等式或不等式的性质进行放缩【例2】 (1)比较log 23与log 34的大小;(2)求证:log 56·log 54<1;(3)已知f(x)=log x (x+1),①比较f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)与1.1的大小;②求证:f(n)>f(n+1)(n∈N ,n≥2).(1)解析:log 23-log 34=3lg 2lg )]4lg 2(lg 21[3lg 3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 222•+->••-=- 3lg 2lg )9lg 21(3lg 3lg 2lg )8lg 21(3lg 2222•->•-= ∴log 23>log 34.(2)证明:24log 6log 4log 6log 5555+<•=21log 524 <21log 525=1. (3)①解析:f(1 024)·f(1 025)·…·f(2 048)=101110112lg 2lg 2lg )12lg(1024lg 2049lg >+==1.1. ②证明:f(n)>f(n+1)⇐log n (n+1)>log n+1(n+2)log n+1(n+2)·log n+1n<1,仿(2)的证明思路,此式易证.温馨提示1.对于(1),比较大小→作差→平均值不等式→放缩,结果出来了.熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩:log 23=log 827>log 816>log 916=log 34,就更为巧妙!2.放与缩,没有固定的模式,需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度,缩到怎样的范围,必须事先在心中有一个充分的估计.类题演练2a,b,c 为三角形的三边,p=2c b a ++,p 2=2ab,求证: (1)p<2a;(2)a>c.证明:(1)∵a+c>b,∴p=2c b a ++>22b =b. ∴2ab=p·p>p·b,即p<2a.(2)p=ab 2≤22b a +, 即2c b a ++≤22b a +,故a≥c. 当且仅当2a=b 时取等号,此时,由条件p 2=2ab ⇒p=b,再由p=2c b a ++知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾,因此a>c.变式提升2(1)a,b,c 为三角形的三边,证明a 2+b 2+c 2<2(ab+bc+ca);(2)设a,b,c 为三角形的三边,证明cc b b a a +>+++111 证明:(1)a,b,c 为三角形的三边,有a+b>c ⇒c(a+b)>c 2,b+c>a ⇒a(b+c)>a 2,c+a>b ⇒b(c+a)>b 2.三式相加即为2(ab+bc+ca)>a 2+b 2+c 2. (2)cc c b a b a b a b a b b a a b b a a +=+>++=+++=+++++>+++111111111111 ∴原不等式成立.三、利用其他方法进行放缩【例3】 设0<α<β<2π,0<θ<2π,求证: βαβθαθsin sin )sin()sin(>++. 思路分析:α,β,θ为锐角,因此sin(θ+α),sin(θ+β),sinα,sinβ都是正值,当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢?外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.证明：βθβθαθβθβθβθαθαθβθαθsin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin )sin()sin(•+••+•>•+••+•=++ βαβθαθsin sin sin cos sin cos =••> ∴原不等式成立.温馨提示将cosα换成cosβ,值变小了,这里又直接利用了不等式:a,b,m>0且a<b,则b a <m b m a ++.其实,很多时候我们不可能一下子看清问题的实质,那么去尝试一下,尝试的过程中,去伪存真,删繁就简.类题演练3设△ABC 的三边a,b,c 满足关系:a 2+b 2=c 2,当n>2,且n∈N *时,求证:a n +b n <c 2n . 证明:∵a 2+b 2=c 2,∴a<c,b<c.∴a n-2<c n-2,b n-2<c n-2.∴a n +b n =a 2·a n-2+b 2·b n-2<a 2·c n-2+b 2·c n-2=c n-2(a 2+b 2)=c n ,即a n +b n <c 2n .变式提升3在△ABC 中,求证:sin 2A ·sin 2B ·sin 2C ≤81.证明:sin 22A=2cos 1A -ac a bc c b a 44)(222≤--, ∴sin bc a A22≤.同理,sin ac b B 22≤,sin ab cC 22≤.三式相乘,得sin 2A ·sin 2B·sin 2C≤81.。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
高二数学证明不等式的基本方法2
[单选]用于人力起重的钢丝绳安全系数为（）。A、3.5B、4.5C、5～6D、10 [名词解释]旅客 [问答题,简答题]现场钢丝绳采用绳卡固定法连接时的要求是什么？ [单选]操作员判定为无正当理由的超时车，系统默认为（），操作员可根据实际情况输入入口收费站的代码，确认后收取相应通行费。A.最近入口的收费站B.随机选择收费站C.相应路程入口的收费站D.最远入口收费站 [多选,案例分析题]患者，女性，45岁，1981年6月～1990年10月从事油漆工作，作业环境无机械通风排毒设施及自然通风，个人无防毒口罩，穿单位统一着装的工作服工作。患者从1990年离岗以后未再从事过油漆工作。1993年8月20日，患者因自觉头痛、头昏、疲乏无力、眼痛、刷牙出血、月经 [单选]鉴定可溶性抗原纯度的方法有（）A.单向免疫扩散和免疫电泳法B.对流免疫电泳和血凝法C.双向免疫扩散和补体结合法D.聚丙烯酰胺凝胶电泳和免疫电泳E.补体结合法和结晶法 [单选]会计核算中产生权责发生制和收付实现制两种记账基础的前提是（）。A.会计主体B.持续经营C.货币计量D.会计分期 [名词解释]声景观 [单选]鼻腔NHL常见的病理类型是()A.外周T细胞型B.T淋巴母细胞型C.B细胞型D.B免疫母细胞型E.Burkitt淋巴瘤 [单选]小芳的父母均为大学毕业，从小受家庭的影响，很重视学习，初中期间，当她自己在看书学习时，旁边如果有人讲话，就特别反感。进入高中后，小芳成绩优秀，担任了班长，但同学们都认为她自以为是，什么工作都必须顺着她的思路和想法，一些同学很讨厌她，为此她感到十分的苦恼。 [单选]凡保留膀胱的膀胱癌手术后患者，均需严密随诊，其中最重要的内容是（）A.CTB超C.IVPD.尿常规E.定期膀胱镜检查 [多选]eSpaceU19xx支持以下哪几种转VMS的方式？（）A.遇忙转语音邮箱B.无条件转语音邮箱
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.1 综合法课堂导学三点剖析一，利用综合法证明不等式【例1】 (1）若a>0,b 〉0,求证:ab b a 22+≥a+b.思路分析:主要利用不等式2ba +≥ab 和a 2+b 2≥2ab。
证明:由a 2+b 2≥2ab，∴2（a 2+b 2）≥a 2+b 2+2ab,即2（a 2+b 2)≥(a+b)2。
∴ab b a 22+≥b a b a b a b a ++≥++222)()(2=a+b.（2)设a ，b ，c 都是正数,求证:2222222≥+++++a c c b b a (a+b+c ）.思路分析：主要利用不等式2)(2222y x y x +≥+。
证明：由不等式a 2+b 2≥2)(22222b a ab b a +=++. ∴22b a +≥2ba +. 同理，2,22222ac a c cb c b +≥++≥+2)222(2222222=+++++=+++++∴ca cb ba a c cb b a （a+b+c ）各个击破类题演练1已知a,b,c∈（0,+∞)，且a ，b ，c 成等比数列，求证:a 2+b 2+c 2≥(a—b+c)2。
证明:左边-右边=2（ab+bc-ac)。
∵a，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac.又∵a,b,c∈（0,+∞)，∴0〈b=ac ≤2ca +〈a+c 。
∴a+c—b 〉0。
∴2（ab+bc —ac ）=2（ab+bc —b 2）=2b(a+c —b ）〉0,∴a 2+b 2+c 2>（a —b+c ）2.变式提升1若a,b,c 是正数,能确定b a c c a b c b a +++++222与2c b a ++的大小吗? 解析:∵cb a +24+（b+c ）≥4a, ac b +24+（c+a)≥4b, ba c +24+（a+b)≥4c , ∴c b a +24+a c b +24+ba c +24≥2（a+b+c ）, 即b a c a c b c b a +++++222≥2c b a ++. 二、用综合法证明条件不等式【例2】 已知a,b ，c 〉0，且abc=1，求证：c b a ++≤a 1+b 1+c 1。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法练习(含解析)新人教A版选修4-5-新
2.2 综合法与分析法[A 级 基础巩固]一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y ≥0，则()A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞0解析：因为xy ＞1＞0，所以x ，y 同号．又x ＋y ≥0，故x ＞0，y ＞0.答案：A2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤2(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：因为x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，所以(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是()A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)． 答案：D4．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，则( ) A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：因为13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1， 所以0＜a ＜b ＜1，所以a aa b ＝a a －b ＞1，所以a b ＜a a ， a a b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a .因为0＜a b＜1，a ＞0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ＜1，所以a a ＜b a ，所以a b ＜a a ＜b a . 答案：C5．已知a ，b ∈R，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1.反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立．如：a ＝12，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1. 答案：B二、填空题6．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a ＜1b＜0， 所以b ＜a ＜0，故②③错．答案：①④7．若a ＞0，b ＞0，则下列两式的大小关系为：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝12lg[(1＋a )(1＋b )]＝lg[(1＋a )(1＋b )]12， 又lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋22， 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋1＞0，b ＋1＞0，所以[(a ＋1)(1＋b )]12≤a ＋1＋b ＋12＝a ＋b ＋22， 所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥lg[(1＋a )(1＋b )]12. 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≥8．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P ，Q ，R 按从大到小的排列顺序为________．解析：P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，2R ＝1a ＋1b ， 所以R ＝2ab a ＋b ≤Q ＝ab ≤P ＝a ＋b 2， 当且仅当a ＝b 时取等号．答案：P ≥Q ≥R三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a .证明：要证c －c 2－ab ＜a ，只需证明c ＜a ＋c 2－ab ，即证b －a ＜2c 2－ab ，当b －a ＜0时，显然成立；当b －a ≥0时，只需证明b 2＋a 2－2ab ＜4c 2－4ab ，即证(a ＋b )2＜4c 2，由2c ＞a ＋b 知上式成立．所以原不等式成立．10．已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数．求证：aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m. 证明：要证a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m ，只需证a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )·(b ＋m )>0，即证abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2>0， 即证abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0.由于a ，b ，c 是△ABC 的边长，m >0，故有a ＋b >c ，即(a ＋b －c )m 2>0.所以abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0是成立的．因此aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m 成立．B 级 能力提升1．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )A ．S ≥2PB ．P ＜S ＜2PC ．S ＞PD ．P ≤S ＜2P 解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，所以a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2，所以a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca )，即S ＜2P .答案：D2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n 的大小关系是________．解析：要比较2n ＋1与2n ＋1n 的大小，只需比较(2n ＋1)2与⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2的大小，即4n ＋4与4n ＋4＋1n 的大小． 因为n 为正整数，所以4n ＋4＋1n＞4n ＋4. 所以2n ＋1＜2n ＋1n .答案：2n ＋1＜2n ＋1n3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b|<|c－d|，综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。
高二数学证明不等式的基本方法2
例6、已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1< 2 abd bca cd b d ac
例7、已知a, b是实数，求证 ab 1 a b a 1 a b 1 b
六、利用函数的单调性证明不等式
例7、已知a, b是实数，求证 ab 1 a b a 1 a b 1 b
2 2 2 2 2 2
四、反证法
例3、证明a b 0时，a b
n n
(n N ,n 2)成立
*
假设要证的命题不成立，以此为出 发点，结合已知条件，应用公理，定 义，定理，性质等，进行正确的推理， 得到和命题的条件（或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等）矛盾的结 论，以说明假设不正确，从而证明原 命题成立.
小结： 证明不等式的方法： 比较法，综合法， 分析法，反证法，放缩法， 利用函数的单调性.
作业：
P29 1，2，3，4
上海大华仪表厂是中国第一家仪表厂，历经70余年的风风雨雨，大华厂始终走在国内仪表行业的前列。为国家二级企业，获机电工业部质量管理 奖，上海市质量管理奖。上海大华仪表厂记录仪 上海大华仪表厂记录仪 wpd91xry1996年又通过ISO9001－94质量认证。 产品分工业记录仪、实验室仪表、计算机外部设备、节能仪表四大系列产品。广泛应用于冶金、机械、化工、电力、通讯、航空航天、造船、国 防、石油、医疗、轻纺等领域。八十年代中期起，先后从日本专业生产记录仪的千野株式会社引进了E系列记录仪和DR巡检仪及美国ENCAD公司SP 系列绘图仪等，使产品的技术水平上了一个台阶。 起来，真是太丢人了。一定要新账旧账一块算。“话说你来这里不会是为了刷存在感的吧？”“哎呀，慕容凌娢，真是没想到能在这里碰到你。” 韩哲轩的态度突然大转变，要多热情有多热情，一看就是笑里藏刀。“看见你还活着真是太好了„„果然是有光环的人，居然能活蹦乱跳的来到 这里”“那是当然，好说我也是主角嘛。”正在慕容凌娢得意的时候，她好像意识到什么，立刻沉下脸阴森森的问道，“你是在夸我呢还是在损 我呢„„”“这是通过对比衬托出你的光环，当然是在夸你了。”“喂，韩哲轩，别告诉我你真的是来刷存在感的。”夏先生对韩哲轩的行为还 耿耿于怀，自然态度不好，“赶紧干正事去，别当务我的时间。”“你以为我是那种靠抢戏份刷存在感的人吗？”韩哲轩不满的摇了摇手中的折 扇，“有一条紧急情报，想不想知道？”“说！”“一会百蝶会来你这里要人。”韩哲轩用戏虐的笑容看向了慕容凌娢，接着又对夏先生说道， “给不给人随你便，不过我建议你不要惹百蝶。”看着两人神秘兮兮的谈论，慕容凌娢只觉得自己再次被坑了。(古风一言)那时，谁念相伴白头 吟。而今，谁思往昔千里外。第013章 百蝶姐姐看着两人神秘兮兮的交谈，慕容凌娢只觉得自己似乎又被坑了。不过百蝶是谁？自己根本不认识 她，她干嘛要来找我呢？“噢？你有多大是把握她会来？”夏先生对韩哲轩的话并不信任。此时突然响起了敲门声，接着就是甲晓念急匆匆地走 了进来，“夏先生，醉影楼的百蝶大人已经到了。”“什么？这么快？”他脸上充满了不可置信。“你先去让百蝶等一下。”“怎么样，有没有 膜拜我？信我得永生。”韩哲轩再次踩着桌子从窗户中翻了出去，“别告诉百蝶我来过。”“唉，真是麻烦。”夏先生叹了口去，没去在意被踩 了两次的桌子。相比之下，慕容凌娢就不安分了。“这是二楼吧？二楼啊！至少有四米，没事作什么死，万一光环到期了，会出人命 啊„„”“别鬼吼鬼叫了。他来我这里几乎每次都这样。”夏先生淡定的向窗外看去，“看来下次要把桌子换个地方了。”一阵急促的脚步声已 经传到了楼上，接着房间的门直接被踹开了，一个长相妖娆身材高挑的女子直接走进了门，她身后跟着的还有一脸无奈的甲晓念。“晓念，你先 出去吧。”夏先生冲甲晓念说道。看夏先生并没有责罚自己的意思，甲晓念如释重负的退了出去。“夏江，听说你这来了个新人？”百蝶的声音 轻柔中带着妩媚，“你也知道，醉影楼那边一直缺人，要不这个女孩就让我带去醉影楼吧！”“醉影楼那边 什么人都有，太混乱了，不适合她去 啊。”“醉影楼确实人员杂乱，但你觉得还有比它更安全的地方吗？”发现夏先生并没有准备让人，百蝶颦了一下眉，娇滴滴的
高二数学证明不等式的基本方法
1 a b c d 2 abd bca cba dac
例4 已知a,b是实数,求证 a b a b . 1 ab 1 a 1 b
证明: 0 a b a b
ab
1
1
1
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度
增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a bm b
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
a
a a
abcd abd ab
b
b b
abcd bca ab
c
c c
abcd cdb cd
d
d d
abcd dac cd
把 以 上 四 个 不 等 式 相 加得
abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abc 故 a2b2 b2c2 c2a2 abc
abc
三、反证法与放缩法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.
证明: 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数, 不妨先设a 0,下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0,则abc 0,与abc 0矛盾, a 0不可能. (2)如果a 0,那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0,于是ab bc ca a(b c) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0,同理可证b 0,c 0, 所以原命题成立.
高中数学选修4-5第二讲证明不等式的基本方法第2讲2人教版
数，2个偶数，3个偶数共四种情况，恰有一个偶数的否定为至
少有2个偶数或全是奇数． 答案： D
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第二讲 证明不等式的基本方法
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x 1 3．设 x>1，则 ＋ 与 1 的大小关系为________． 1＋x 2
解析： ∵x>1，∴1＋x>2. 1＋x 1 1 x 1 x 1 ∴ < ，∴ ＋ > ＋ ＝ ＝1. 1＋x 2 1＋x 2 1＋x 1＋x 1＋x
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1．比较法 用比较法证明不等式分为两种方法：______________ ， 求差比较法 求商比较法 _________________ ． 2．综合法 已知条件 出发，利用_________________________ 定义、公理、定理、性质 等， 从_________ 经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 顺推证法或由因导果 综合法，又叫____________________________ 法．
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3．分析法 要证的结论 出发，逐步寻求使它成立的___________ 充分条件 ， 从___________ 已知条件或一个明显成立的事实 直至所需条件为___________________________________ ，从 而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种 执果索因 的思考和证明的方法． ____________
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[ 解题过程]
证法一：假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1
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[填空题]SAN干燥系统尾气通过（）分离夹带的粉尘后经过（）洗涤再排放到大气。 [单选]患者恶寒重，发热轻，无汗，头痛，肢体疼痛，鼻塞声重，时流清涕，喉痒，舌苔薄白而润，脉浮。其治法是（）A.散寒解肌B.辛温解表C.调和营卫D.散寒止痛E.发汗解肌 [填空题]泵壳一般设计为（），使得在最高效率点附近较宽的范围内保持较小的磨损量。 [单选]船体外板是由()构成的。①船底板()②舭列板③甲板板()④舷侧列板A.①③B.②③④C.①④D.①②④ [单选]《灵枢.百病始生》认为邪中人出现“洒淅喜惊”，为邪传舍于（）。A.经脉B.络脉C.冲脉D.皮肤E.腧穴 [单选,A2型题]对某社区进行糖尿病健康促进规划的结局评价应评估糖尿病患者（）A.自测血糖技能的变化B.有关糖尿病知识的变化C.饮食行为的变化D.血糖控制率的变化E.饮食态度的改变 [判断题]胎儿在子宫内死亡后，多在2～3周自然娩出。若胎死宫内超过4周，发生DIC的机会明显增多。A.正确B.错误 [多选]拆除桥梁施工不得垂直交叉作业，应采取（）等方法进行，以确保结构安全稳定。A.从上至下B.逐层拆除C.上下同时D.分段拆除E.先拆除非承重结构，再拆除承重结构 [填空题]电容器在刚充电瞬间相当于（），当充电时相当一个等效（）。不过它随着放电而减小。 [单选]以下哪一条不符合喉癌的CT表现（）。A.前联合厚度超过2cm应考虑肿瘤侵犯的可能B.喉癌的诊断主要是临床和病理，CT的作用主要是确定病变的范围C.经声门癌是原发于喉室内的癌，是比较早期的肿瘤D.前联合的喉癌很容易侵犯甲状软骨和环甲膜E.声带固定、增厚，软组织肿块，侵犯、 [单选]下列不属于分娩期保健“五防”内容的是（）。A.防滞产B.防感染C.防新生儿窒息D.防产后出血E.以上都不对 [单选,A2型题,A1/A2型题]鼻中隔脓肿最常见的病因是（）。A.鼻前庭疖B.鼻旁窦炎C.流感D.猩红热E.鼻中隔血肿继发感染 [单选,A2型题,A1/A2型题]王先生，患破伤风，频繁抽搐，呼吸道分泌物较多，有窒息的危险，为保持呼吸道的通畅，应采取的措施是（）A.吸痰、给氧B.超声雾化吸入C.环甲膜穿刺D.气管插管、辅助呼吸E.气管切开 [判断题]轿车空调所需的动力和驱动汽车的动力都来自同一发动机，而采用专用发动机驱动制冷压缩机的一般是大客车空调系统。（）A.正确B.错误 [单选,案例分析题]某新建电厂装有2×300MW机组，选用一组200V动力用铅酸蓄电池容量2000Ah，二组控制用铅酸蓄电池容量600Ah，蓄电池布置在汽机房层，直流屏布置在汽机房，电缆长28m。该厂直流系统有微机监控装置，请说明直流柜上可装设下列哪项测量表计（）？A.直流母线电压表B.蓄 [单选,A1型题]下列各项，不属附子主治病证的是（）A.亡阳欲脱，肢冷脉微B.寒凝血瘀，经闭阴疽C.命门火衰，阳痿早泄D.中寒腹痛，阴寒水肿E.阳虚外感，寒痹刺痛 [单选]大多数花卉喜微酸性环境，无特殊要求时，营养液的pH值一般在（）范围较好。A、4、5—5、5B、7、6—8、0C、6、0—6、5D、7、0—7、4 [单选]调节仪表可分为模拟调节仪表、电动调节仪表、气动调节仪表、（）以及数字调节仪表等。A、过程控制调节仪表B、就地调节仪表C、远传调节仪表D、手动调节仪表 [单选]治疗胃溃疡肝胃不和证应首选（）A.化肝煎合左金丸加减B.贯煎合芍药甘草汤加减C.黄芪建中汤加减D.柴胡疏肝散合五磨饮子加减E.活络效灵丹合丹参饮加减 [判断题]人们常说的动力电电压是220伏。A.正确B.错误 [多选]下列关于行政事业单位会计的说法正确的是()。A.行政事业单位固定资产不计提折旧B.行政事业单位核算其行政事业活动时采用的是收付实现制C.行政事业单位需要编制收入支出表D.行政事业单位不需要编制资产负债表E.行政事业单位核算其行政事业活动时采用的是权责发生制 [单选]在软土地基上建斜坡结构防波堤，堤心抛石有挤淤要求、抛石顺序应（）。A.沿堤横断面从一端向另一端抛B.沿堤纵断面从一段的一端向另一端抛C.沿堤的横断面从中间向两侧抛D.沿堤断面全面平抛 [判断题]银行卡按性质不同可分为准贷记卡和借记卡。A.正确B.错误 [单选]产后72小时内血容量增加（）.A.1％～5％B.5％～10％C.10％～15％D.15％～25％E.25％～30％ [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不符合抗肿瘤药物联合应用的原则（）A.联合用药越多越好B.给药程序和疗程应符合细胞动力学C.药物的毒性尽可能不重复D.原则上选用单独应用也有效的药物E.选择对细胞增殖周期作用不同、影响DNA合成不同时相的药物 [判断题]制图物体选取和形状概括都不能引起数量标志的变化。A.正确B.错误 [单选]染色体畸变分析试验中，光学显微镜就可观察到的体细胞染色体畸变类型为（）。A.无着丝点环B.易位C.倒位D.插入E.重复 [单选]活化的单个核吞噬细胞（）A.杀伤黑色素瘤细胞比杀伤大肠癌细胞更有效B.表达抗原特异性受体C.不能用于过继免疫治疗D.是非特异细胞免疫的一部分E.破坏正常组织 [填空题]A，B两组分等摩尔扩散的代表单元操作是（），A在B中单向扩散的代表单元操作是（）。 [单选]若C1j表示品种的储存成本，C2j表示j品种的订购成本，Aj表示j品种的需求量，则多品种条件下的经济批量模型Qj为：（）。A.B.C.D. [单选]肺结核患者的结核菌检查由阳性转为阴性表示()A．痊愈B．不必休息C．病变吸收D．不必呼吸道隔离E．可停用抗结核药物 [单选,A4型题,A3/A4型题]27岁女性，一直服用复方短效口服避孕药避孕，但因工作原因经常发生漏服，经医生推荐采用长效避孕针避孕。使用避孕针1号注意事项正确的是（）A.发生视物模糊为药物正常反应，可予观察B.需定期做乳腺检查C.首次注射后无异常即可离院D.发现针剂中有固体物时， [单选]行政责任的特点里，法律责任区别的对象是（）。A.内部责任B.行政相对人的责任C.民事、刑事责任D.道义责任 [单选]下消化道出血不包括以下（）A.大便可呈黑便B.大便只能是暗红色或红色C.肛门或肛管疾病出血为不与粪便混合的鲜血D.低位小肠或右半结肠出血，一般为暗红色或果酱色E.便血的颜色、性状与出血的部位、出血量、出血速度及在肠道停留的时间有关 [单选,A1型题]下述不良反应哪项是胰岛素不具有的（）。A.过敏B.低血糖C.急性耐受性D.慢性耐受性E.肝损伤 [单选]妇科体格检查叩诊时，下面哪一项最全面()A．叩诊时注意鼓音B．注意浊音C．有无移动性浊音D．叩浊音分布范围E．前4项相加 [多选]行政补偿的内涵，随着行政管理实践的发展有一个演变、拓展的过程。理论上一般认为行政补偿包括的内涵为（）。A.追加补偿B.特别补偿C.征用补偿D.公务行为附随结果的补偿E.无因管理补偿 [单选]下列公文标题表述准确的是（）。A.××医院关于要求改变拨款方式的报告B.××省财政厅关于同意××大学新建教学楼的批示C.××大学关于举行春季运动会决定的通知D.××市人民政府关于开展财务大检查的通知 [单选]碎屑岩储层的非均质性分成（）类。A、2B、3C、4D、5 [多选]甲与乙签订了一份买卖合同，甲为卖方，乙为买方。合同约定，由甲负责运输，运输方式为火车运输，后双方在合同的履行地点上发生争议。就本题的合同履行地点，表述不正确的有：（）A.甲方所在地的火车站B.乙方所在地的火车站C.乙方的营业所在地D.